圖形認識方法結構視角下(基于編程貓平臺的)正多邊形與正多角星的計算機繪制方法一例

胡蔡劼

【摘要】 本文通過在圖形認識方法結構視角下介紹正多邊形與正多角星的聯系，討論了正多邊形與正多角星的計算機繪制方法，并以編程貓（可視化編程）平臺為例，設計了繪制程序，將正多邊形、正多角星及空心正多角星的繪制方法統一起來，從中體現了數學知識的內在聯系.

【關鍵詞】 圖形認識方法結構;計算機編程;正多邊形;正多角星

“圖形認識方法結構”指的是在認識圖形的教學和學習過程中，采取的結構性的認識方法和策略.以小學階段為例，圖形認識一般包括物體形狀、要素、類型、特征、關系和測量與計算這些內容[1].恰當地構建和運用“圖形認識方法結構”有助于加深對圖形的理解，有助于建構圖形相關的數學知識結構.

運用信息技術將圖形繪制出來，也是認識圖形的一個良好的方法.引導學生從不同角度進行特征認識，有助于完善學生的圖形認識方法結構，一般可以遵循“圖形產生——特征發現——關系梳理”的過程進行學習[2].

一、問題發現與概念界定

（一）問題發現

在教學計算機編程時，發現《LOGO語言競賽教程》（下簡稱《教程》）中在介紹正多邊形的繪制方法時采用的是統一的公式，而在教學正多角星時則只提供奇數角正多角星的公式，且偶數角正多角星只介紹了角數為8，10的，再介紹空心正多角星時卻又采取了統一的公式[3].在教學這一部分的知識時，學生容易產生困惑，也就同時產生了研究的欲望.

（二）概念界定

1.正多邊形

正多邊形是指二維平面內各邊相等，各角也相等的多邊形，也叫正多角形.關于正多邊形還有以下幾個定義與概念：外接圓、內切圓、內角、外角、中心角、中心、半徑、邊心距.

2.正多角星

正多角星沒有在百度百科查到，相似的概念有“芒星”——由幾個完全的等腰三角形（有時是正三角形）和一個正多邊形組成的平面圖形.

3.空心正多角星

百度上也沒有空心正多角星的說法，相似的概念有“正星形多角形”——亦稱等邊半正凹多角形或等邊半正凹多邊形，是一種特殊的凹多角形（最常見的正五角星也就是正星形十角形）.

二、圖形關系與相關知識

（一）圖形關系

學生產生困惑，是因為其在學習時采用的圖形認識方法結構有一定的“割裂”現象，如將奇數角正多角星和偶數角正多角星作為兩種不同的圖形來學習，或是將正多邊形與正多角星作為完全不同的圖形，而忽略了其中的相同與聯系.試著查詢了維基百科，發現在“多邊形”（polygon）詞條下有一幅圖，說明了正多邊形、正多角星之間的聯系.

如上圖，其使用? n d? 的表示方式來描述正多邊形與正多角星.當n=3時，正三邊形（即更通俗說的“等邊三角形”）可以用? 3 1? 來表示;當n=5時，正五角星（pentagram）表示為? 5 2? 而正五邊形（pentagon）則表示為? 5 1? ;當n=7時，兩種正七角星和一種正七邊形分別用? 7 3? 、? 7 2? 、? 7 1? 來表示……

比較圖中的紅線（紅線中的圖形d值相同）可以發現：當d=1時，都是正多邊形，當d=2時，每條邊連接的兩個頂點之間都包含另外1個頂點……也就是每2個頂點連接一次.而觀察比較圖中藍線（藍線中的圖形）都是由某個基本的多角星構成的，如五角星（pentagrams）的藍線，包括n=5時的五角星、n=10時的兩個五角星和n=15時的三個五角星……

因此，k ?n d? 描述系統的表示方式是：將正n邊形（或正n角形）的外接圓用n個點平均分成n份，將每d個點（每隔d-1個點）連接起來形成的圖形，當n與d有除了1以外的公因數時，將公因數約去并提取出來作為k.如? 10 2? =2? 5 1? ，意思是正10邊形（每兩個點連接起來）相當于兩個正5邊形;又如，? 12 4? =4? 3 1? ，意思是正12邊形（每4個點連接起來）相當于4個正三邊形（正三角形）組合而成，? 12 3? =3? 4 1? 中，正12邊形（每3個點連接起來）相當于3個正四邊形（正方形）組合而成.

（二）相關知識

根據以上k? n d? 描述系統的定義，可以將正多邊形與正多角星聯系、統一起來，并且由于正多邊形與正多角星同時是軸對稱與中心對稱圖形，有以下規律來簡化問題（將對稱圖形考慮為同一種圖形）：

1.當n為奇數時，d=1，2，3，…， 1 2 （n-1），如n=9時，d可以為1，2，3，4;

2.當n為偶數時，d=1，2，3，…， 1 2 n-1，如n=8時，d可以為1，2，3——其實當d= 1 2 n時也有相應的圖形，只不過變成d條線段組成的圖形，不是我們討論的多邊形或多角星了.

了解了這個定義后，就明白《教程》中及網上對偶數角多角星的LOGO語言繪制方法避而不談的真正原因了——當n和d存在1以外的公因數時，會變成由k個 n k 邊形組成的圖形，使用重復執行命令完成繪制就比較麻煩了.

為了便于敘述和理解，筆者再引入一個值來描述、統一n為奇數或偶數時d的最大值，稱為a.即當n為奇數時，有n=2a+1，當n為偶數時，有n=2（a+1）.《教程》中對奇數角正多角星的統一公式，都是按照d=a的情況來設計的（當n為奇數時n與a必然互質），這樣也就省去了變成多邊形組合的麻煩了.同樣的，其中對8，10角形的程序，是按照d=3來設計的（8，10都與3互質，《教程》后面介紹的幾種方法也是針對n，d互質的情況），而對空心正多角星的統一公式，也都是按照d=2的情況來設計的，都是特殊的情況.若需要按照不同的n，d來實現統一繪圖則要進行整體的設計.

三、繪制方法與程序實現

（一）繪制方法

根據k? n d? 描述系統的定義，可以采用記錄外接圓n等分點絕對位置的方法，然后按照不同的d值直接進行連接.但是由于程序與命令特點，使用記錄絕對位置的方法比較煩瑣（特別是當n很大的時候，需要利用列表來記錄很多位置，很不方便），因此，尋求直接繪制的方法.

先不考慮n與d有除1外其他公因數的情況.觀察? n 1? （即正多邊形）的情況，每次前進至下一頂點后，需要向右旋轉 360° n （以下都以順時針繪制為例），因為正多邊形外角和是360°;而? n 2? 的情況中，需要旋轉兩周，即每次需要向右旋轉360°× 2 n ……以? n d? 描述系統來看，每次需要向右旋轉360°× d n .再看前進長度，? n 1? 中每邊對應的中心角都是 360° n ，而? n 2? 中每邊對應的中心角包含原來? n 1? 中的2倍……因此，每邊對應的中心角也是360°× d n ，前進的長度為2r·sin 180°× d n? （過程略，如下圖）.

以正7角星? 7 3? 為例，每邊所對應的中心角是原來的? 7 1? 中心角的3倍，每邊長度是sin（360°×3÷7÷2）×r的兩倍.

圖中，∠1為邊AB所對應中心角的一半，有sin∠1= 1 2 AB÷r

再考慮n與d有除1外其他公因數的情況.觀察k=3的藍線，有? 6 2? =2? 3 1? 、有? 9 3? =3? 3 1? 、有? 12 4? =4? 3 1? ……由k個正三角形組成，即每次繪制完一個正三角形后，要移到下一個相鄰頂點，如此重復k次.對最大公因數為合數的情況，還有多種觀察的角度，如? 36 12? =12? 3 1? =6? 6 2? ，既可以看成是12個正三角形組成，也可以看成是由6個6角星組成（每次畫完前行至下一頂點所對應的圓心角為 360°? 3 12? = 360°? 6 6? =10°，都相當于 360° n ）.

同樣地，將正多邊形和正多角星統一起來后，再試圖把空心正多角星加入進來.空心多角星既可以看作小邊長（如下圖中的線段AC）重復2N次得到的，更可以看成是原來正多角星的一部分——只不過每邊中間的一段不畫而已！

空心正多角星邊長：

AB為邊（弦），OD為邊（弦）心距，∠AOB大小為360°÷邊數N×間隔數D（此圖是360°÷7×3），而∠1=360°÷邊數N÷2（此圖為360°÷7÷2），可以得出∠2，再在△OCD中用三角函數算出CD長，從而得到AC長.

（二）程序實現

確定了繪制方法，用程序實現就比較簡單了，這里不贅述，直接列出以外接圓圓心為起始點的繪制方法的邏輯流程圖——程序使用同樣的函數來實現正多邊形、正多角星和空心正多角星的繪制，區別在于間隔的數量和每邊的長度.

（二）總結

筆者在學習《教程》的過程中發現了這個問題，并運用“圖形認知方法結構”重新將三類“公式不同的”圖形進行分析與統整，最終確定了三類圖形的統一繪制方法.由于對LOGO語言的不夠熟悉，使用更直觀的編程貓平臺制作了程序.

通過這次研究，發現對“圖形認知方法結構”的正確理解和使用可以幫助我們打開視野，重新分析已知圖形，尋找它們之間的異同點，從而從更高的角度認識到圖形之間的聯系.通過從看似不相同的圖形繪制到統一的繪制方法，也應用了化繁為簡的數學思想，體現了數學知識之間的互相聯系.

【參考文獻】

[1]吳亞萍.“新基礎教育”數學教學改革指導綱要[M].桂林：廣西師范大學出版社，2009.

[2]周志華.小學數學教學整體綜合設計的實踐探索[M].南京：江蘇人民出版社，2012.

[3]林正山，黃兆津.LOGO語言競賽教程[M].福州：福建科學技術出版社，2009.