解析法的獨到之處

劉仁道

首先思考教材上一個習題：如果四邊形一組對邊的平方和等于另一組對邊的平方和，那么這個四邊形的兩條對角線互相垂直.我們發現這個命題的逆命題是真命題，而且容易證明，但要證明這個命題用常規方法難于下手，不妨設想用解析法證明.

建立直角坐標系，以一條對角線BD所在的直線為x軸，過一個頂點C與BD垂直所在直線為y軸.只需證明滿足條件的四邊形ABCD的頂點A在y軸上即可（原點除外）.可設B（-b，0），C（0，-c），D（d，0），A（x，y）.∵AB2+CD2=BC2+AD2，

∴（x+b）2+y2+d2+c2=（x-d）2+y2+b2+c2，整理得x（b+d）=0，∴x=0，

頂點A在y軸上，即AC⊥BD.用平面幾何知識比較難于證明，而用解析法證明簡潔明了.在高中數學中有些用常規方法難于解決的問題有時可從解析法的角度去思考.

解析法是用代數方法研究幾何問題（包括空間的立體圖形），通過建立適當的坐標系把幾何問題轉化為代數問題，通過適當的代數運算，最后回到幾何問題.解析法的考查在高考中都保持較高比例，并達到必要的深度，舉幾例，拋磚引玉.

一、遇動點，求最值問題

遇動點，通過建系得出動點的軌跡方程，進而建立函數式求最值.

例1?? 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c且c=10， cosA cosB = b a = 4 3 ，P為△ABC內切圓上的動點，求P到頂點A，B，C的距離平方和的最大值和最小值.

解? 由 cosA cosB = b a 及正弦定理有 cosA cosB = sinB sinA 進而推出A+B= π 2 ，∴△ABC是直角三角形.

可知a=6，b=8，c=10，△ABC內切圓的半徑為r= 1 2 （6+8-10）=2.

建立如圖坐標系，則圓的方程為（x-2）2+（y-2）2=4，設圓上 動點P（x，y），

則Z=|PA|2+|PB|2+ |PC|2=（x-8）2+y2+x2+（y-6）2+x2+y2=3x2+3y2-16x-12y+100=3[（x-2）2+（y-2）2]-4x+76=3×4-4x+76=88-4x.

∵P在內切圓上，∴0≤x≤4，則Zmax=88-0=88，Zmin=88-42=72.

另解? 還可以利用圓的參數方程求解，設內切圓的參數方程為 x=2+2cosα，y=2+2sinα （0≤α≤2π）.

圓上動點P的坐標為（2+2cosα，2+2sinα）.

Z=|PA|2+|PB|2+|PC|2=[（2cosα-6）2+（2+ 2sinα）2]+[（2+2cosα）2+（2sinα-4）2]+[（2+2cosα）2+ （2+2sinα）2]=80-8cosα，由0≤α≤2π，∴Zmax=80+8=88，Zmin=80-8=72.

二、涉及向量的運算

可以考慮通過選擇適當位置建立直角坐標系后，找出關鍵點坐標，把向量用坐標表示，向量的運算化為坐標運算，能使問題的解決達到化繁為簡的目的.

例2?? 已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點E，F分別在邊BC，CD上，BE=λBC，DF=μDC，若AE ·AF =1，CE ·CF =- 2 3 ，則λ+μ= .

解? 建立如圖直角坐標系，故A（0，1），B（- 3 ，0），C（0，-1）， D（ 3 ，0），∴BC =（ 3 ，-1），∴BE = （ 3 λ，-λ），BA =（ 3 ，1），

∴AE =BE -BA =（ 3 λ- 3 ，-λ-1），同理CE =AE -AC =（ 3 λ- 3 ，-λ+1），

DC =（- 3 ，-1），∴DF =（- 3 μ，-μ），則AF =DF -DA =（- 3 μ+ 3 ，-μ- 1），

CF =（- 3 μ+ 3 ，-μ+1）.由題意AE ·AF =1，CE ·CF = - 2 3 ，解得λ= 1 2 ，μ= 1 3 或λ= 1 3 ，μ= 1 2 ，∴λ+μ= 5 6 .

三、空間中求角

兩個二面角的平面角不容易構造出來時，通過建系分別求出兩二面角的法向量，兩法向量的夾角或補角的大小即為二面角的平面角.還可以求直線與平面所成的角等問題.

例3?? 在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱SD⊥底面ABCD，E，F分別為AB，SC的中點.（1）證明EF∥平面SAD;（2）設SD=2DC，求二面角A-EF-D的大小.

證? （1）略.（2）設DC=a，SD=2a，建立如圖空間直角坐標系.A（a，0，0），E a， a 2 ，0 ，D（0，0，0），F 0， a 2 ，a .設平面AEF的法向量 n =（x，y，z），AE = 0， a 2 ，0 ，AF = -a， a 2 ，a .

由AE · n =0，AF · n =0，∴ a 2 y=0，-ax+ a 2 +az=0，

取z=1，∴ n =（1，0，1）.設平面DEF的法向量 m =（x，y，z）.設DF = 0， a 2 ，a ，DE = a， a 2 ，0 .由 m ·DF =0， m ·DE =0，∴ a 2 y+az=0，ax+ a 2 z=0，∴y=-2z，y=2x取y=-2，∴ m =（1，-2，1）， m · n 的夾角即為兩平面所成的角cosθ= 1×1+1×1? 2 · 6? =? 3? 3 ，θ=arccos? 3? 3 .從以上幾例可以看出解析法能使解題思路清晰，流暢，運算過程簡單.解析法屬方法的范疇，更多的帶有思想、觀點的屬性，表現為數學觀念.在教學中一般比較關注教材中具體的知識內容（陳述性知識），而忽略教材中那些無形的，沒有文字描述的東西，即知識之間內在聯系和思維過程，亦即所謂“程序性知識”的教授.闡述那些無形的東西比闡述有形的東西更重要，也更能體現教師對學生的價值.如果過于強調各個知識之間的相對獨立性，過于強調對已有結論的記憶，不能將教材有關內容視為一個發展的過程和有機的整體，抓不住知識之間的內在聯系，就會導致相關知識之間相互割裂，從而影響學生思維過程和思維能力的培養和訓練，學生也就很難舉一反三、融會貫通.