關注數列求和的常用角度

陸黎宇

本文擬通過歸類舉例的形式，具體說明數列求和的常用角度，以幫助讀者理清常用解題技巧，進一步提升解題技能.

常用角度一? 利用“公式法”探求數列求和

遇到等差或等比型數列求和，可直接利用等差、等比數列的求和公式加以求解.破解此類題的關鍵點：① 理清公式;② 靈活選用.

例1?? 若等比數列{an}的公比q≠1，且滿足a1+a2+a3+a4+a5=6，a21+a22+a23+a24+a25=18，則a1-a2+a3-a4+a5的值是 .

解析? 由題設得 a21（1-q10） 1-q2 =18 a1（1+q5） 1+q ·? a1（1-q5） 1-q =18，又 a1（1-q5） 1-q =6，所以化簡得 a1（1+q5） 1+q =3.

故所求a1-a2+a3-a4+a5= a1[1-（-q）5] 1-（-q） = a1（1+q5） 1+q =3.

評注? 一般地，若{an}是公比為q的等比數列，則{a2n}是公比為q2的等比數列，{（-1）n+1an}是公比為-q的等比數列.

常用角度二? 利用“倒序相加法”探求數列求和

如果一個數列{an}滿足：與首末兩項“等距離”的兩項之和為同一結果，則可采用把正著寫和倒著寫的兩個式子相加，由此化簡即可求出該數列的前n項和.破解此類題的關鍵點：① 理清適用條件;② 對應相加化簡.

例2?? 已知函數f x+ 1 2? 為奇函數，g（x）=f（x）+1，an=g? n 2019? ，則數列{an}的前2018項的和為（? ）.

A.2016

B.2017

C.2018

D.2019

解析? 因為f x+ 1 2? 為奇函數，所以函數f（x）的圖像關于點? 1 2 ，0 對稱，則函數g（x）=f（x）+1的圖像關于點? 1 2 ，1 對稱，故有g（x）+g（1-x）=2.

令x= 1 2019 ， 2 2019 ，…， 2018 2019 ，則有g? 1 2019? +g? 2018 2019? =g? 2 2019? +g? 2017 2019? =…=g? 2018 2019? +g? 1 2019? =2.

設S=g? 1 2019? +g? 2 2019? +…+g? 2018 2019? ，

則倒序后得S=g? 2018 2019? +g? 2017 2019? +…+g? 1 2019? ，

于是將以上兩式相加可得

2S= g? 1 2019? +g? 2018 2019?? + g? 2 2019? +g? 2017 2019?? + …+ g? 2018 2019? +g? 1 2019?? =2018×2，化簡得S=2018.故選C.

評注? 本題實際上是數列求和問題，解題切入點是根據題設得到化簡式中各項滿足的規律、特點——g（x）+g（1-x）=2;然后再靈活運用“倒序相加法”即可順利獲解.

常用角度三? 利用“裂項法”探求數列求和

如果一個數列的通項能夠拆成兩項之差的形式，那么利用一些正負項相互抵消，可求出該數列的前n項和.破解此類題的關鍵點：① 理清適用條件;② 關注抵消規律.

例3?? 已知an=4n2-1，bn= 1 an ，求數列{bn}的前n項和Sn.

解析? 因為bn= 1 4n2-1 = 1 （2n-1）（2n+1） = 1 2?? 1 2n-1 - 1 2n+1? ，

故所求Sn= 1 2?? 1- 1 3? +? 1 3 - 1 5? +…+? 1 2n-1 - 1 2n+1?? = 1 2? 1- 1 2n+1? = n 2n+1 .

評注? 本題求解的關鍵在于，靈活運用平方差公式對通項bn= 1 4n2-1 進行裂項變形.常見裂項形式還有：

1 n（n+1） = 1 n - 1 n+1 ，

1 （3n-1）（3n+2） = 1 3?? 1 3n-1 - 1 3n+2? ，

1? n+1 + n? = n+1 - n .

常用角度四? 利用“錯位相減法”探求數列求和

若數列{an}是等差數列（公差為d，且d≠0），數列{bn}是等比數列（公比為q，且q≠1），則求數列{an·bn}的前n項和Sn時，可利用“錯位相減法”.破解此類題的關鍵點：① 理清適用條件;② 錯位作差化簡.

例4?? 已知an=2n，bn=3n-1，cn= bn an ，求數列{cn}的前n項和為Sn.

解析? 由題設知，cn= 3n-1 2n ，

所以Sn= 2 21 + 5 22 + 8 23 +…+ 3n-1 2n ， ①

2Sn=2+ 5 21 + 8 22 +…+ 3n-1 2n-1 . ②

于是，由②-①得Sn=2+ 3 21 + 3 22 +…+ 3 2n-1 - 3n-1 2n .

故所求Sn=2+? 3 2? 1- 1 2n-1?? 1- 1 2? - 3n-1 2n =5- 3n+5 2n .

評注? 此類問題學生極易出錯，請注意兩點：一是錯位相減后所得等式的準確書寫;二是化簡運算時一定要認真、細心（必要時，可對求和結果加以驗證）.

綜上，數列求和具有較強的規律可遵循，需要我們在做題中加以認真領會，逐步加強對知識的靈活運用能力，感悟解題思維的精妙處.