關(guān)注向量在解題中的“妙”用

嚴俊

有不少數(shù)學問題貌似與向量無關(guān)，其實不然，細細探究之，你會發(fā)現(xiàn)其中的緊密聯(lián)系，往往巧妙之極，真的令人拍案叫絕！請結(jié)合以下歸類解析，認真體會平面向量在具體解題中是怎樣靈活運用的.

類型一? 處理有關(guān)解三角形問題

例1 ??如圖1所示，正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE=1，連接EC，ED，則sin∠CED=（? ）.

A. 3 10? 10

B.? 10? 10

C.? 5? 10

D.? 5? 15

解析? 如圖2所示，建立平面直角坐標系xEy，則易知點E（0，0），D（1，1），C（2，1），所以ED =（1，1），EC =（2，1）.又因為向量ED 與EC 的夾角為∠CED，所以cos∠CED= ED ·EC? |ED ||EC | = 1×2+1×1? 2 × 5? = 3? 10? ，故sin∠CED=? 10? 10 .故選B.

評注? 本題設(shè)計較好，有利于充分發(fā)揮各類考生各自的思維優(yōu)勢與數(shù)學潛能，求解思路較多，但通過建系，利用向量法處理最為簡單明了.

類型二? 給定函數(shù)的最值，求參數(shù)的值

例2?? （2018·南通高三二模）已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）= x? a-x2 - 1-x2? 的最小值為- 2 3 ，則a的所有值為 .

解析? 易知a>0且a≠1.分母有理化變形得f（x）= x a-x2 +x 1-x2? a-1 ，所以可知函數(shù)f（x）為奇函數(shù).又函數(shù)f（x）的最小值為- 2 3 ，所以函數(shù)f（x）的最大值為 2 3 ，從而|f（x）|max= 2 3 .

設(shè)向量 m =（x， 1-x2 ）， n =（ a-x2 ，x），

則 m · n =x a-x2 +x 1-x2 .

于是，根據(jù)| m · n |≤| m || n |可得

|x a-x2 +x 1-x2 |≤ a ，

所以? x a-x2 +x 1-x2? a-1? ≤? a? |a-1| ，

即|f（x）|≤? a? |a-1| .從而，可得? a ?|a-1| = 2 3 ，

解得a= 1 4 或a=4.

評注? 本題具有一定的難度，求解關(guān)鍵在于通過兩種不同的方式探求函數(shù)|f（x）|的最大值：一是借助函數(shù)的奇偶性，根據(jù)函數(shù)f（x）的最小值加以分析;二是靈活構(gòu)造向量，根據(jù)向量不等式加以分析.

類型三? 求解有關(guān)代數(shù)式的最小值

例3?? （2017·杭州五校第四次聯(lián)考）設(shè)a1，a2，a3，a4∈ R ，且a1a4-a2a3=1，記f（a1，a2，a3，a4）=a21+a22+a23+a24+a1a3+a2a4，則f（a1，a2，a3，a4）的最小值為（? ）.

A.1

B. 3

C.2

D.2 3

解析? 設(shè)向量OA =（a1，a2），OB =（a3，a4），其中O為坐標原點，則f（a1，a2，a3，a4）=|OA |2+|OB |2+OA ·OB .

因為a1a4-a2a3=1，

所以S△AOB= 1 2 |a1a4-a2a3|= 1 2 .

又S△AOB= 1 2 |OA ||OB |sinθ（其中θ為向量OA ，OB 的夾角），所以|OA ||OB |sinθ=1.

于是，可得f（a1，a2，a3，a4）≥2|OA ||OB |+|OA ||OB |cosθ= |OA ||OB |（2+cosθ）= 2+cosθ sinθ .

令 2+cosθ sinθ =y，則ysinθ-cosθ=2，所以2≤ 1+y2 ，

又y>0，解得y≥ 3 .

綜上，f（a1，a2，a3，a4）≥ 3 .故選B.

評注? 本題設(shè)計較好，具有一定的難度，對考生綜合運用能力的考查較強.上述求解的關(guān)鍵在于三點：一是將f（a1，a2，a3，a4）利用向量的形式加以表示;二是將f（a1，a2，a3，a4）放縮為關(guān)于θ的表達式;三是巧求 2+cosθ sinθ 的最小值.

綜上，平面向量在解題中的“妙”用主要包括以下兩類：一是遇到與平面圖形有關(guān)的數(shù)學問題，可考慮建系，利用向量的坐標運算加以求解;二是遇到“平方和”“之積之和”形式的代數(shù)式，可考慮向量的模與數(shù)量積的坐標運算公式，靈活構(gòu)造向量加以求解.