基于理性思維 透析數學運算

朱婷婷

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等.本文試圖以圓錐曲線為例，透析學生數學運算中存在的常見問題，有不妥之處請大家批評指正.

問題一? 缺少對運算方法的選擇

例1?? 如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的離心率為? 2? 2 ，點（2，1）在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程;（2）設直線l與圓O：x2+y2=2相切，與橢圓C相交于P，Q兩點，若直線l過橢圓C的右焦點F，求△OPQ的面積;

評析? 這里主要討論第（2）問.學生解決此題典型的算法是計算出P，Q兩點坐標，但是它對學生的運算能力要求很高.如果能用其他方法避開直接求出點P，Q兩點的坐標，就會簡化運算過程.我們可以在課堂上提出如下問題，引起學生的聯想：求三角形面積，你有哪些方法？不求出PQ的長度，本題能否求出△OPQ的面積？經過審題辨析后，此題應該用哪種方法求解三角形的面積？讓學生展開討論，最后優化求線段PQ的長度的方法.優化解法1：因為PQ過焦點，PQ=PF+FQ，即可利用焦半徑公式結合韋達定理求解;優化解法2：利用兩點之間距離公式，結合韋達定理求解.至于求△OPQ的面積，則可以將△OPQ切分為兩個小三角形△OPF和△OQF的面積之和進行求解，這樣就可以避開直接求出P，Q兩點的坐標.

問題二? 缺少對運算對象思路的探究與總結

例2?? 已知橢圓C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的離心率為? 2? 2 ，一條準線方程為x=2.過橢圓的上頂點A作一條與x軸y軸都不垂直的直線交橢圓于另一點P，P關于x軸的對稱點為Q.

（1）求橢圓的方程.（2）若直線AP，AQ與x軸交點的橫坐標分別是m，n，求證：mn為常數，并求出此常數.

正確解答? 這里主要討論第（2）問.

方法一：由題意知直線AP的斜率k存在且k≠0，所以直線AP的方程為y=kx+1，則令y=0，得m=- 1 k ，聯立 直線AP與橢圓方程，得出P - 4k 1+2k2 ， 1-2k2 1+2k2? ，即Q - 4k2 1+2k2? ，?? 2k2-1 1+2k2? ，又因為A，Q，N三點共線，所以 yQ-yN xQ-xN = yA-yN xA-xN ，即n=-2k，所以mn= - 1 k? ×（-2k）=2.

方法二：設P（xP，yP），易知xP≠0，yP≠±1，則Q（xP，-yP），所以直線AP的方程為y-1= yP-1 xP （x-0），令y=0，得m= xP 1-yP .同理利用直線AQ方程得出n= xP 1+yP ，所以mn= xP 1-yP × xP 1+yP = x2P 1-y2P ，又因為 x2P 2 +y2P=1，所以mn= x2P 2 =2.

評析? 定點、定值問題既可以凸顯出圓錐曲線的代數特征及圖像特點，又具有較強的探究性.解決此類題的基本策略為先要分析題目中的定量與不定量是哪些;然后選擇合適的變量表示題目中的定量，最后根據已知條件消去變量，得出定點或定值.這里值得關注的是：在選擇合適的變量表示題目中要證明的定量時，一般有設斜率和設點兩大方向，本題方法一選擇設直線AP的斜率k，然后結合圖像，用k將m，n表達式寫出，最后化簡mn的表達式，求出定值.方法二就是選擇設點P（xP，yP），引入xP，yP兩個參數，然后利用P在橢圓上，消元，即所求mn的表達式只剩xP一個參數，化簡求出定值.