四種數學思想在解題中的應用

蔡華龍

數學家波利亞說過：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路.”盡管數學題千變萬化、層出不窮，其實當我們著手去解決時，都會有一定的方向、一定的道路，而給我們引領方向、帶領道路的正是數學思想.

在高中數學學習中，常見的數學思想有四類：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、化歸與轉化思想.

一、函數與方程思想

函數與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯系，方程f（x）=0的解就是函數y=f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標，函數y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0通過方程進行研究.

1.函數的思想是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決.函數思想是對函數概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用函數知識或函數觀點觀察、分析和解決問題.

2.方程的思想就是分析數學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決.方程的數學是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題.方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系.

3.（1）函數和方程是密切相關的，對函數y=f（x），當y=0時，就轉化為方程f（x）=0，也可以把函數式y=f（x）看作二元方程y-f（x）=0.函數問題（例如，求反函數，求函數的值域等）可以轉化為方程問題來求解，方程問題也可以轉化為函數問題來求解，如解方程f（x）=0，就是求函數y=f（x）的零點.

（2）函數與不等式也可以相互轉化，對函數y=f（x），當y>0時，就轉化為不等式f（x）>0，借助于函數圖像與性質解決有關問題，而研究函數的性質，也離不開解不等式.

（3）數列的通項或前n項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點處理數列問題十分重要.

（4）函數f（x）=（ax+b）2（n∈ N *）與二項式定理是密切相關的，利用這個函數用賦值法和比例系數法可以解決很多二項定理的問題.

（5）解析幾何中的許多問題，例如，直線和二次曲線的位置關系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及二次方程與二次函數的有關理論.

（6）立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用列方程或建立函數表達式的方法加以解決.

例1?? f（x）和g（x）的定義域都是非零實數集，f（x）是偶函數，g（x）是奇函數，且f（x）+g（x）= 1 x2-x+1 ，求 f（x） g（x） 的取值范圍.

分析? 已知兩個函數的和，求商，好像從未見過.許多同學就是這樣的慣性思維，只看符號，不注重文字，其實這一題的關鍵在于“f（x）是偶函數，g（x）是奇函數”.看到這點，便馬上反應過來，有f（x）=f（-x），g（x）=-g（x），又有f（-x）-g（-x）= 1 x2-x+1 再把-x換成x.到這里不能再把f（x），g（x）當函數解析式來看了，知道了f（x）+g（x），f（x）-g（x）不就可以把它們當成兩個未知數，去解一個二元一次方程組.

解? ∵f（x）為偶函數，g（x）是函數，

∴f（x）=f（-x），g（x）=-g（-x），

∴f（x）+g（x）=f（-x）-g（-x）= 1 x2-x+1 ，

∴f（x）-g（x）= 1 x2+x+1 . ①

又f（x）+g（x）= 1 x2-x+1 ， ②

∴ f（x）= x2+1 （x2+x+1）（x2-x+1） ，g（x）= x （x2+x+1）（x2-x+1） ，

∴ f（x） g（x） = x2+1 x =x+ 1 x .

① 當x<0時，

f（x） g（x） =- -x- 1 x? ≤-2 （-x） 1 （-x）? =-2，

② 當x>0時， f（x） g（x） =x+ 1 x ≥2 x· 1 x? =2.

綜上所述， f（x） g（x） 的取值范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞）.

函數與方程的思想是高中數學解題中用得比較多的思想，我們在平時的學習中也會深有體會.

二、數形結合思想

1.數形結合是數學解題中常用的思想方法，使用數形結合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷.所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法.數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合.

2.實現數形結合，常與以下內容有關：①實數與數軸上的點的對應關系;②函數與圖像的對應關系;③曲線與方程的對應關系;④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復數、三角函數等;⑤所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義.

3.縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果，數形結合的重點是研究“以形助數”.

4.數形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數的值域，最值問題中，在求復數和三角函數問題中，運用數形結合思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.這在解選擇題、填空題中更顯得優越，注意培養這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維視野.

例2?? 設a，b分別是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b的值.

分析? 很自然，當我們看到題目，總迫不急待地把a，b代入原方程： log2a+a-3=0，2b+b-3=0，? 一看，兩式相加不就能構造（log2a+2b）+（a+b）-6=0嗎？可是再也走不下去了.怎么辦？先觀察，兩方程只有log2x與2x不同，但不同中也有相近，log2x不是與2x互為反函數嗎？好！把log2x，2x放到一邊： log2x=3-x，2x=3-x，

這不是可以看成三個函數y1=log2x，y2=2x，y3=3-x，把它們放于圖像上，不就一目了然了嗎？

設y3與y1，y2，y=x圖像的交點分別為A，B，M;再看y3不也關于y=x對稱嗎？那么，A，B就都關于y=x對稱了，求點M的坐標為? 3 2 ， 3 2? ，不是有 a+b=2× 3 2 =3，log2a+2b=2× 3 2 =3? 嗎？大功告成！

三、分類討論思想

1.分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數學思想，這種思想對簡化研究對象，發展人的思維有著重要幫助，因此，有關分類討論的數學命題在高考試題中占有重要位置.

2.所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答.實質上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數學策略.

3.分類原則：分類對象確定，標準統一，不重復，不遺漏，分層次，不越級討論.

4.分類方法：明確討論對象，確定對象的全體，確定分類標準，正確進行分類;逐類進行討論，獲取階段性成果;歸納小結，得出結論.

5.含參數問題的分類討論是常見題型.

6.注意簡化或避免分類討論.

例3?? 設a為實數，函數f（x）=x2+|x-a|+1，x∈ R ，求f（x）的最小值.

分析? 題目中有絕對值，將其去掉，先要分x≥a，x≤a兩種，配方后，又要比較a與- 1 2 ， 1 2 的關系，分類中又要再分類.

解? （1）當x≥a，則f（x）=x2+x-a+1= x+ 1 2? 2-a+ 3 4 .

① 若a≤- 1 2 ，則f（x）在 a， 1 2? 上遞減，在? 1 2 ，+∞ 上單調遞增，f（x）min=f - 1 2? = 3 4 -a;

② 若a>- 1 2 ，則f（x）在[a，+∞）上單調遞增，f（x）min=f（a）=a2+1.

（2）當x≤a，則f（x）=x2-x+a+1= x- 1 2? 2+a+ 3 4 .

① 若a≤ 1 2 ，則f（x）在[-∞，a）上單調遞減，f（x）min=f? 1 2? = 3 4 +a;

② 若a> 1 2 ，則f（x）在 -∞， 1 2? 上遞減，在? 1 2 ，a 上遞增，f（x）min=f（a）=a2+1.

綜上所述，當x≥a時，若a≤- 1 2 ，則f（x）min= 3 4 -a，

若a>- 1 2 ，則f（x）min=a2+1;

當x≤a時，若a≤ 1 2 ，則f（x）min= 3 4 +a，

若a> 1 2 ，則f（x）min=a2+1.

分類討論難免會有點煩瑣，看似一道題，卻相當于幾道題的工作量.但當目標不明確時，分類討論就是開門鑰匙了！

四、化歸與轉化思想

1.解決數學問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇運用恰當的數學方法進行交換，將原問題轉化為一個新問題（相對來 說，對自己較熟悉的問題），通過新問題的求解，達到解決問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉化的思想方法”.

2.轉化有等價轉化和非等價轉化.等價轉化前后是充要條件，所以盡可能使轉化具有等價性;在不得已的情況下，進行不等價轉化，應附加限制條件，以保持等價性，或對所得結論進行必要的驗證.

3.化歸與轉化應遵循的基本原則：

（1）熟悉化原則：將陌生的問題轉化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經驗和問題來解決.

（2）簡單化原則：將復雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據.

（3）和諧化原則：化歸問題的條件或結論，使其表現形式更符合數與形內部所表示的和諧形式，或者轉化命題，使其推演有利于運用某種數學方法或其方法符合人們的思維規律.

（4）直觀化原則：將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題解決.

（5）正難則反原則：當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解.

在我們平時做題時，不能滿足于把題目求解出來，“知識誠可貴，思想價更高”，我們應當學會從題目中總結歸納，清楚什么樣的題型用什么數學思想.這樣從宏觀上了解掌握幾種數學思想.還要從微觀上記住幾道運用某種或某幾種數學思想的典型例題，從宏觀上把握幾種題型.平時多練多記（筆記，腦記），那么學起數學，做起題目來，便能得心應手了.