幾何畫板軟件在中學(xué)圓錐曲線教學(xué)中的應(yīng)用探究

沈恬

【摘要】 圓錐曲線在中學(xué)數(shù)學(xué)中占重要地位，該部分的內(nèi)容涉及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.傳統(tǒng)教學(xué)方法不能滿足學(xué)生學(xué)習(xí)的需求，而幾何畫板軟件具有豐富的功能，能將抽象數(shù)學(xué)規(guī)律的探索過程具體化、可視化[1]，以此彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)方法的缺陷，使課堂更具科學(xué)性與趣味性.[2]

【關(guān)鍵詞】 幾何畫板;圓錐曲線;傳統(tǒng)教學(xué)

一、傳統(tǒng)教學(xué)方法的缺陷

中學(xué)圓錐曲線的學(xué)習(xí)涉及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想[4]，學(xué)習(xí)難度較大.在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，在講解圓錐曲線定義及其參數(shù)方程等內(nèi)容時，教師通常繪制簡易圖像，并要求學(xué)生觀察靜止、粗略的圖像，在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行動態(tài)想象，大部分學(xué)生被動地接受教師所講內(nèi)容，不能理解曲線變化規(guī)律，造成學(xué)習(xí)障礙.

二、幾何畫板軟件在圓錐曲線教學(xué)中的優(yōu)勢分析

根據(jù)傳統(tǒng)教學(xué)存在的不足，幾何畫板軟件需改善手繪曲線存在較大誤差、靜止的曲線不能體現(xiàn)其變化過程及難以進(jìn)行深入探究等問題.

（一）圖像精確度分析

圓錐曲線的教學(xué)需要結(jié)合精確的圖像進(jìn)行講解，以此學(xué)生才能準(zhǔn)確地了解焦點(diǎn)、焦距、準(zhǔn)線、漸近線等概念，從而理解圓錐曲線的定義及區(qū)分幾類圓錐曲線.

如，在講解雙曲線漸近線的概念時，手繪圖像不能體現(xiàn)漸近線與雙曲線本身永不相交的性質(zhì)，學(xué)生可能會產(chǎn)生理解誤區(qū)，而通過幾何畫板軟件繪制該圖像（圖1），則能清晰地展示雙曲線漸近線的該性質(zhì).

（二）圖像“動態(tài)性”分析

幾何畫板軟件的特點(diǎn)為“動態(tài)性”，該軟件可以通過繪制軌跡展示曲線變化過程，讓學(xué)生直觀地看到函數(shù)中變量之間的關(guān)系，從而理解圓錐曲線的定義、參數(shù)方程等.

例1?? 以原點(diǎn)為圓心，分別以a，b為半徑作兩個圓（a>b），點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作AN⊥x軸，垂足為N，過點(diǎn)B作BM⊥AN，垂足為M.

（1）求半徑OA繞O旋轉(zhuǎn)時，點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程.

（2）根據(jù)（1）中所求參數(shù)方程，你能說明點(diǎn)M的軌跡是什么圖形嗎？

問題分析? 本題出現(xiàn)在“橢圓的參數(shù)方程”的新知引入部分，題目要求求解參數(shù)方程.解題步驟為繪制圖像（圖2）、選擇參數(shù)及尋找變量關(guān)系，以此求解出參數(shù)方程.在求解出點(diǎn)M軌 跡的參數(shù)方程后，消去參數(shù)，得到點(diǎn)M的軌跡方程，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M的軌跡為橢圓.

若使用手繪曲線，則不能體現(xiàn)軌跡產(chǎn)生的過程及精確的軌跡圖像;若使用幾何畫板軟件，則可以通過追蹤點(diǎn)M展示軌跡產(chǎn)生的過程（圖3）及構(gòu)造點(diǎn)M的軌跡（圖4），使學(xué)生對橢圓參數(shù)方程這一知識點(diǎn)深入理解.

解? （1） 設(shè)以O(shè)x為始邊，OA為終邊的角為θ，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則x=ON=|OA|·cosθ=acosθ，y=NM=|OB|·sinθ=bsinθ，故點(diǎn)M軌跡的參數(shù)方程為 x=acosθ，y=bsinθ，? θ為參數(shù).

（2）將（1）中所得的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為 cosθ= x a ，sinθ= y b ，? 又sin2θ+cos2θ=1，故點(diǎn)M軌跡方程為 x2 a2 + y2 b2 =1，故點(diǎn)M的軌跡為橢圓.

（三）“探究性”學(xué)習(xí)渠道

幾何畫板軟件不僅是課堂上的演示工具，更是學(xué)生的探究工具.傳統(tǒng)課堂中，教師一般使用Power Point軟件制作課件，在講解圓錐曲線等幾何知識點(diǎn)時，一般使用靜態(tài)的圖片進(jìn)行講解.而幾何畫板軟件具有顯示（隱藏）、構(gòu)造、度量、數(shù)據(jù)計算、繪圖等功能，通過此類功能制作動態(tài)圖像，能讓 學(xué)生了解曲線產(chǎn)生的過程及其變化規(guī)律，增強(qiáng)課堂的趣味性，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.同時，幾何畫板軟件豐富的功能能滿足學(xué)生深入探索所學(xué)內(nèi)容的高精度要求，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時也學(xué)會使用信息技術(shù)解決問題.總之，幾何畫板軟件在中學(xué)圓錐曲線的教學(xué)與學(xué)習(xí)中都起著重要的作用.[5]

三、幾何畫板軟件在教學(xué)中的運(yùn)用原則

（一）平衡性原則分析

信息技術(shù)的發(fā)展使現(xiàn)代技術(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用成為教育改革的熱點(diǎn)，充分利用現(xiàn)代技術(shù)不僅能充實課堂內(nèi)容、優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)，也能調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.但是，信息技術(shù)不能完全替代基本的數(shù)學(xué)活動，如基本運(yùn)算、數(shù)學(xué)證明等，課堂教學(xué)中的講授法仍是必不可少的.因此，現(xiàn)代化課堂教學(xué)應(yīng)在現(xiàn)代技術(shù)的應(yīng)用與傳統(tǒng)教學(xué)方法之間達(dá)到平衡.

（二）實踐性原則分析

現(xiàn)代化課堂是以學(xué)生為中心的課堂，學(xué)生的實踐是課堂的必要內(nèi)容.在教學(xué)設(shè)計中增加運(yùn)用幾何畫板軟件進(jìn)行驗證命題的環(huán)節(jié)，不僅能使學(xué)生獲得對知識點(diǎn)的深刻理解，而且能培養(yǎng)學(xué)生“歸納—假設(shè)—檢驗”的能力.

四、結(jié) 論

從以上幾方面得到，幾何畫板軟件在中學(xué)圓錐曲線教學(xué)中起著重要的作用.幾何畫板軟件彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)中手繪圖像存在較大誤差、靜止的曲線不能體現(xiàn)其變化過程及難以進(jìn)行深入探究等問題，同時符合教育改革中實現(xiàn)現(xiàn)代技術(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用的要求.因此，幾何畫板軟件應(yīng)在中學(xué)圓錐曲線等內(nèi)容的教學(xué)中得以充分、有效地運(yùn)用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]袁健.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中利用幾何畫板軟件的實踐思考[J].中國現(xiàn)代教育裝備，2016（12）：9-10.

[2]亞庫甫·吾不力卡司木.圓錐曲線教學(xué)的分析與研究[J].考試周刊，2018（28）：104.

[3]陶維林.幾何畫板實用范例教程（第2版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008（7）.

[4]錢珮玲，邵華.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版，2005.

[5]李細(xì)軍.“幾何畫板”在數(shù)學(xué)課堂中的運(yùn)用[J].湖南教育（D版），2018（2）：40-41.