高中數學解三角形問題的研究

阮建 高建

【摘要】 解三角形問題是高中數學必考內容，這一部分內容難度適中，要求大部分同學都能熟練掌握.在教學過程中，只要讓同學們記住公式，培養學生找尋解題思路，讓學生利用數學思想來思考和解決問題，并配合適當的變式訓練，一定能夠攻克難關.

【關鍵詞】 解三角形;高中數學

解三角形問題是高中數學必修五第一章的內容，是高考必考知識點.由于這一部分內容難度適中，是比較容易的得分點，要求大部分學生都能夠熟練掌握.解三角形的問題還可以融合三角函數、兩角和差、二倍角、方程等知識點，所以題目相對綜合，考查了學生多方面能力.所以，解三角形是高中數學里面非常重要的教學內容.

在解題的過程中，一些學生總是感覺無從入手，找不到解題的思路，數學成績一降再降，挫敗感越來越強，逐漸失去了學習數學的熱情，喪失了自信心.通過調查分析和對個別學生的訪談，我們發現，有的同學記不住公式，常常試卷都是空白的，根本不知道如何下筆.有的同學公式記憶不熟，容易記混，題目做了一部分，就寫不下去了.還有的同學雖然能記住公式，但是找不到解題思路.針對以上的問題我們提出以下四點，幫助學生抓住重點，突破難點.

一、記憶公式

對數學分數比較低的學生來說，最關鍵的問題是公式的記憶，如果連公式都記不住，何談解決數學問題.教師應該督促那些學習主動性差的學生，特別是藝術生，經常聽寫公式，檢查公式的記憶情況，做到心中有數，否則會影響后面的教學效果.只要扎扎實實的落實，步步為營，一定能夠提高成績.要拿出一定的課時講解數學公式的由來，讓學生欣然接受公式，最好不要死記硬背.

解三角形這部分內容的數學公式，教師要強調公式的特點和規律.正弦定理當然是和角的正弦值有關，余弦定理當然是和角的余弦值有關.正弦定理要注意邊和角是一一對應的，a對應sinA，b對應sinB，c對應sinC.余弦定理和面積公式要注意兩邊夾一角，以角C為例，夾角C的兩條邊長分別是a和b，cosC= a2+b2-c2 2ab ，上面是a2+b2，下面出現2ab，面積公式S= 1 2 absinC，學生很快就能記住公式了.

二、解題思路

每次做題的時候，總是有一部分學生一直盯著題目看，遲遲不能書寫答案.在普通高中，這樣的情況還是普遍存在的.特別是在藝術班的教學過程中，這樣的學生人數更加龐大.當你問他原因的時候，大部分學生都會說沒有思路，不知如何入手，不知道該怎么辦才好.我們就以“解三角形”這部分內容為例，講講如何培養學生的解題思路.

例題：已知a=1，b=2，cosC= 1 4 ，求△ABC的周長.

通過問題驅動課堂，利用問題引導學生思考，例如，1.我們這一章講了幾部分內容？（學生答：講了三部分內容，正弦定理，余弦定理和面積公式）2.這個題目和面積有關系嗎？（沒有關系）3.如果和面積沒有關系，那是用正弦定理還是用余弦定理？（用余弦定理）4.為什么用余弦定理呢？（因為題目當中給了余弦值）5.已知了兩條邊的長度，只要求出誰就可以求出三角形的周長？（知道第三條邊的長度就能求出周長，利用cosC= 1 4 ，解出c=2）.

在做題的時候，經常進行這樣的問答，讓學生形成思考的習慣，自己能夠主動地去分析題目，去尋找解題的思路，而不是望題興嘆.一旦形成習慣，就不會出現找不到突破口的問題，大部分題目都能快速解決.你會發現，學生試卷中解答題空白的情況會越來越少.

三、數學思想

在教學過程中，教師要注重對學生數學思想的培養，這樣學生的數學能力才會有一個大幅的提高，掌握了數學思想，就掌握了數學的精髓.數學思想比數學技巧更加高級，如果把數學比喻成一門武功，數學技巧可謂是武功當中的一招一式，而數學思想可謂是武功心法.“心法”才是上層武功.要想所向披靡就要熟練應用數學思想.

例題：在△ABC中，邊長a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且滿足bcosC=（3a-c）cosB，求cosB.

現在有三條邊長a，b，c，還有角度B，C，未知量比較多.首先利用化繁為簡的數學思想，把未知量的個數減少，未知量越少越好.也就是說要么把角度轉化成邊長，要么把邊長轉化為角度.一般情況下，我們采用轉化的數學思想，利用正弦定理，把邊長轉化為角度，得到sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB.通過觀察我們發現角B和角C似乎有關系.移項得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB.利用兩角和差公式得sin（B+C）=3sinAcosB.因為三角形的內角和為π，利用轉化的數學思想，我們把B+C轉化為π-A.sinA=3sinAcosB，接下來利用分類討論的數學思想，得到sinA的值不能為0，兩邊同時約去sinA得：1=3cosB，所以cosB= 1 3 .

四、變式訓練

在教學過程中，要應用變式訓練，鍛煉學生的觀察問題、分析問題的能力，通過對一個題目的變式，能夠很好地培養學生的數學思維，而且在變式的過程中，學生的積極性特別高，對題目的變式抱有極大的興趣.通過對題目的修改，最好讓難度逐漸增加，學生慢慢適應，最后發現自己能夠攻克這么難的題目，非常有成就感.通過變式訓練還能加深學生對公式、定理的理解，通過改變條件或者結論，讓學生面對一個新的問題，培養和訓練了學生的聯想、推理、歸納、轉化等數學能力.讓學生思考多個條件和結論的關系，學會舉一反三，觸類旁通，學會發散思維，能夠靈活處理數學問題.

只要做到以上四點，學生一定能牢牢記住公式，并且能熟練應用公式解決問題.計算碰到難度較大的問題，學生也會積極進行思考，利用所學的數學思想和技巧尋找已知和結論之間的關系，找出解題思路，順利得出答案.