由斯圖爾特定理推導的幾則長度公式

張恭潛 張海貝

【摘要】 對斯圖爾特定理中的切氏線進行特定設置，用面積系數建立起以勾股定理為范式適用于任意三角形三邊的度量關系式;豐富了三角形的長度公式，感悟數學美.

【關鍵詞】 切氏線;中線;內等腰線;面積系數;勾股定理

悠久的勾股定理奠定了幾何學基石.譯著《幾何原本》[1]第Ⅰ卷47命題中，歐幾里得用面積法證明了勾股定理（畢達哥拉斯定理）譜寫了直角三角形三邊度量的精美關系式（圖1左）：

a2+b2=c2. （1）

在第Ⅱ卷12，13命題中，又證明了現行余弦定理之原型.余弦定理之原型是四條線段的度量關系式，其數學表達式為（參見圖1右，中）：

余弦定理原型（2）（3）兩式的出現，證明一切三角形均具有三邊間的度量關系式，揭示了同類事物存在共性和個性的哲學原理.

余弦定理原型用“矩形面積修正項”[2]添加在勾股定理等式的一邊，建立了非直角三角形的三邊度量關系.盡管（2）和（3）式均內含了直角三角形（CD=0）的特例，但“±”運算的差異使兩式不能統一.千余年后有了三角函數，才使（2）和（3）式統一.但現行的余弦定理超越了長度定理范疇[3].

回到長度定理范疇來思考，從數學美的視角來看，余弦定理原型由于存在“面積修正項”，使（2）（3）兩式的美感度與二次三項等式的勾股定理之“簡潔美”“對稱美”相比存在明顯的差距，尤其是兩式不能合一的問題對數學追求“統一美”而言是個遺憾.聯想到一個圓錐曲線方程能融合三種相異的圓錐曲線[4]，故從類比思維來考量以上遺憾時，就會讓人萌發出去尋找一個能融合（1）（2）（3）式的嘗試.

具體思路是以勾股定理為范式，選擇合適的第四長度參數，用“面積修正系數”替代“面積修正項”，建立適于任意三角形三邊間的度量關系式.

所幸的是斯圖爾特定理為此提供了現成的平臺.1745年蘇格蘭人斯圖爾特（M.Stewart）推出了斯圖爾特定理[4]：圖2中由三角形頂點C任意引一條切氏線（Cevian）CD交對邊AB于D點，則有下列等式成立：

AD·BC2+BD·AC2=AB·CD2+AB·BD·AD. （4）

此公式可用余弦定理原型推出.它將原三角形線間二維關系升格為三維關系等式，蘊含豐富內容，成為導出多個幾何公式的公用平臺[5].

如圖2中切氏線CD是AB邊的中線，其長記為mc，用AD=BD= c 2 ，代入（4）式，整理后就是中線公式：

a2+b2= c2 2 +2m2c. （5）

現改寫為如下“系數式”：a2+b2=? 1 2 +2? mc C? 2 ·c2. （6）

令β= 1 2 +2? mc C? 2，β是線段商 mc C 的函數，是無因次系數，代入（6）即為：

a2+b2=βc2. （Ⅰ）

這是個以勾股定理為范式的表達式.對照余弦定理原型（2）（3）兩式，（Ⅰ）式取消了“面積修正項”“±2a·CD”，而用“面積修正系數”β來建立一個二次三項等式.式（Ⅰ）的幾何意義是：三角形的任兩條邊的平方和等于第三條邊的平方乘“面積修正系數”β，β= 1 2 +2? mc C? 2，其中C是第三邊邊長，mc為第三邊之中線長.

現對“面積修正系數”β做進一步的分析.見圖3，AB為三個三角形的公共底邊，以AB為直徑（AB=C=2r）作圓O，從各三角形頂點作底邊之中線m1，m2，m3.

1.頂點C1在圓外，所以∠C1是銳角，△AC1B中C邊上中線大于圓半徑r，即m1> C 2 ，故β1= 1 2 +2? m1 C? 2>1.因此，當AC1和BC1兩邊夾角為銳角時，對邊的面積修正系數β1的值域為：（1，+∞），即AC21+BC21>AB2.

2.頂點C2在圓上，所以∠C2是直角，△AC2B中C邊上中線等于圓半徑r，即m2= C 2 ，故β2= 1 2 +2? m2 C? 2=1.因此，當AC2和BC2兩邊夾角為直角時，對邊的面積修正系數β2≡1，即AC22+BC22=AB2.

3.頂點C3在圓內，所以∠C3是鈍角，△AC3B中C邊上中線小于圓半徑r，即m3< C 2 ，故β3= 1 2 +2? m3 C? 2<1.因此，當AC3和BC3兩邊夾角為鈍角時，對邊的面積修正系數β3的值域為：? 1 2 ，1 ，即AC23+BC23

綜合以上三種情況可知，式（Ⅰ）包容了三種三角形的情況，因此，它是適于任意三角形三邊間度量關系的統一表達式，其面積修正系數β的值域為? 1 2 ，+∞ .式（Ⅰ）具有簡潔美，對稱美，并將（1）（2）（3）式融成一式而具有了“統一美”.

三角形有三條中線，由式（5）可寫出三個等式，進而可得到下式：

3（a2+b2+c2）=4（m2a+m2b+m2c）. （7）

這是三角形三邊與三中線間的度量關系式，也是個美而有趣的長度公式.

有了（Ⅰ）式之后，就會誘使人們去尋找下面的表達式，如，

a2+b2=c2 （Ⅱ）

和a2+δb2=c2， （Ⅲ）

（c≥a，b）

以上兩式也是以勾股定理為范式的二次三項式.γ和δ均是面積修正系數，與式（Ⅰ）不同的是在等號左邊僅對某邊面積進行修正，這樣從等式結構上看，c邊不應該比a，b短，故設條件c≥a，b，這與勾股定理中三邊長度關系是相近的.現關鍵是要尋找合適的第四長度參數，才能得到γ和δ系數.現再次讓斯圖爾特定理中的切氏線擔當此任.見圖2，設切氏線的D點是BC邊之垂直平分線與AB邊的交點.這樣△BCD是個等腰三角形，切氏線CD是等腰三角形的一條等腰，它位于三角形內，故命其“內等腰”.將CD=BD=d，AD=c-d代入斯圖爾特公式（4），整理后有

c-d d? a2+b2=c2. （8）

令γ=? c-d d? ，γ是個線段商、無因次系數，其中d= ca2 c2+a2-b2 .所以上式就可寫成：

γa2+b2=c2. （Ⅱ）

該式的幾何意義是：三角形一短邊a的平方乘面積修正系數γ后與另一短邊的平方之和等于長邊的平方;面積修正系數γ=? c-d d? ，其中c是長邊，d是以a邊為底的等腰三角形的內等腰.

現對面積修正系數γ做進一步分析，參見圖2：

1.當內等腰d< c 2 時，γ>1，由（Ⅱ）式可知此時三角形三邊有不等式a2+b2

2.當內等腰d= c 2 時，γ=1，由（Ⅱ）式可知此時三角形三邊有等式a2+b2=c2，所以此時a，b兩邊所夾的角為直角，γ≡1.

3.當內等腰d> c 2 時，γ<1，由（Ⅱ）式可知此時三角形三邊有不等式a2+b2>c2成立，所以此時a，b兩邊所夾的角為銳角，對應γ的值域為[0，1）.其中γ=0是當d=c=b時的特例，此時D點與A點重合，△ABC是以BC為底的等腰三角形.

通過對面積修正系數γ的分析可知，（Ⅱ）式與（Ⅰ）式一樣均適用于各種三角形.

同理按（Ⅱ）式可推導（Ⅲ）式.見圖4，讓切氏線CE成為以AC為底的等腰三角形的內等腰，以CE=AE=e，BE=c-e代入（4）式就得：

a2+? c-e e ?b2=c2. （9）

令δ=? c-e e? ，其中e= cb2 c2-a2+b2 .

于是就有a2+δb2=c2. （Ⅲ）

從圖4可見，在一個三角形中可同時作兩條“內等腰”線d和e，故（Ⅱ）（Ⅲ）式同時成立，再兩式兩邊相加，就得

γ+1 2? a2+? δ+1 2? b2=c2. （Ⅳ）

此式也是以勾股定理為范式的，其意義是分別對兩短邊的面積進行修正，其和與長邊的面積相等.其表達式具“和諧美”.從圖4還可見當c>d+e時，c邊的對角為鈍角;當d=e= c 2 ，c=d+e時，c邊的對角為直角;當c

當用（8）（9）兩式兩邊相加并簡化為一次式后可得下式;

a? a 2d? +b? b 2e? =c. （10）

它就是三角形射影定理（圖4）：a·cosB+b·cosA=c的純長度表達式.

由（10）式還可得到一個由兩內等腰線和三邊共五元素組成的三維等式：

ea2+db2=2cde. （11）

此式顯然帶有斯圖爾特定理的三維等式基因，它具有“神奇美”.

至此，本文在長度定理范疇內，用斯圖爾特定理為平臺以勾股定理為范式，找到了幾則適于任意三角形的三邊度量關系式，為豐富三角形長度定理作了嘗試，感悟數學美.

【參考文獻】

[1]歐幾里得.幾何原本[J].蘭紀正，朱恩寬，譯.梁宗巨，等，校訂.南京：譯林出版社，2011.

[2]馬奧爾.勾股定理：悠悠4000年的故事[M].馮速，譯.北京：人民郵電出版社，2006.

[3]李海東.陳省生先生訪談錄[J].數學通報，2005（3）：1-3.

[4]吳振奎，吳旻.數學中的美[M].上海：上海教育出版社，2002.

[5]吳振奎，吳旻.數學的創造[J].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2011.