對折和都是9的循環小數

張明鼎

1 7 =0.142857

1 23 =0.0434782608695652173913

我們考查這兩個數，可以發現循環節中數字個數都比分母少1.而且把它們循環節中數字對折起來，再對應相加和都是9.

例如，

142

+ 857

999

04347826086

+ 95652173913

99999999999

類似這樣的數還很多，例如， 1 17 ， 1 19 ， 1 23 ，…， 1 109 ， 1 113 ， 1 223 ， 1 229 ，……以及其他真分數，十七分之幾，十九分之幾……二百二十九分之幾等等.

象7，23這些數作分母的最簡分數，循環節小數中一節的數字個數比分母少1.且對折起來相加和都是9.這究竟是什么道理呢？可以證明嗎？類似7，23這樣的數究竟有多少？有沒有一個統一的公式呢？

我們既然是研究循環小數的循環節中的一節的數字個數比分母少1.且對折起來再對應相加和都是9.就首先應該考慮循環小數的循環節中的一節的數字個數有哪些特征.因為事物的發展總是起源于事物的內在本質.所以通過觀察很明顯的看出一節的循環節中的數字個數的組合就象一段自然數那樣呈奇、偶位個數（此循環節的位數由做分母的質數確定的）我們要研究的是循環節中一節的數字個數能夠對折，所以這一節的循環節的數字個數的組合就必須是偶數位個數字.

在我們過去學習除法時，大家都知道循環小數的循環節的數字由整數商后的余數確定的.卻忽視了除數的每一個余數與整數商的小數的對應關系.那么在這里介紹一下什么叫余數，在除式中小于除數的數（不計小數點位置）叫余數.在一段余數中的余數小于分母絕對不能重復出現.

什么叫循環余數：一個除數的余數部分在除式當中從某一個數字起一個或幾個數字依次不斷地重復出現，這樣的余數叫循環余數.

什么叫余數段：一個循環余數的余數部分中依次不斷地重復出現的數字叫作這個循環余數的余數段.

什么叫有限余數：余數的個數是有限的叫有限余數.

沒有無限余數.

純循環余數：余數段從余數的第一數字開始的循環余數叫作純循環余數.

混循環余數：余數中第一余數與余數段之間有一個或幾個不循環的余數數字叫作這個循環余數的混循環余數.

我們知道分子與分母兩個數是互質數，不能夠整除.就必須有余數，有了余數才可能有小數，有了循環余數才能有循環小數，有了余數段才能有循環節，所以有循環節小數中，循環節的一節數字個數與循環余數中余數段的一段數字個數一一相對應.它們是一對孿生姊妹，并且根據除法法則，每次除得的余數必須比除數小，所以按以上對應關系循環節小數中一節的數字個數必定要比分母少1個或幾個數，對某個質數來說，究竟少幾個數字是不一定的由做分母的這個質數來決定.

所以象7，23這些數做分母的最簡分數循環節小數中一節的數字個數比分母少1，且能夠對折起來，是屬于循環節中偶位數個數字組合規律.那么把屬于偶位數個數字組合的循環節中一節的數字個數對折起來，再對應相加和都是9又為什么？我們已知道了余數段與循環節之間的對應關系，反過來問，在余數段中的余數對應對折起來相加和又等于什么呢？因為余數小于除數（分母），所以在余數段中一段數字對應對折相加和只能大于、小于或等于分母（除數）注：在計算過程中不去考慮余數中小數點所在位置.只看對應關系.所以我們分別來證明在余數中，一段余數的數字對折相加和大于、小于或等于分母.

例如，

A P 互質，1≤A

A=R6=R（P-1）（注在余數中，一段余數的循環余數與另一段余數的循環余數對應相等，不計算位置，不計算數量，根據除數定義，余數小于除數，分子小于分母，分子是分母中的余數）.

R1=R11，R2=R22，R3=R33，RP-1=R（P-1）1.

以上這段余數為3、2、6、4、5、1（不計余數縮小位置）對應對折.

R1，R2，R3，R4，R5，…，RP-1=ai（ai表示一段余數的集合）.

設有一個最簡分數 A P ，1≤A

求證：① R1+{R2R3R4…RP-1}>P;

② R1+{R2R3R4…RP-1}

③ R1+{R2R3R4…RP-1}=P.

證明? 假設在這段余數段中，對應對折相加和大于分母P.

即R1+R2>P，R1+R3>P，R1+RP-1>P，

要想使等式成立，那么分母最小要減去整數1.

即R1+R2=P-1，

R1+R3=P-1，

R1+RP-1=P-1.

∵R1+R2=P-RP-1，

∴R1+R3=P-RP-1，

∴R1+RP-1=P-RP-1，

∴R1+2（RP-1）=P，

∴在這段余數中會同時出現兩個相同的RP-1與余數定義相矛盾是假命題.

求證：R1+R2

證明? 假設在這段余數段中對應對折相加余數和小于分母P.

即R1+R2

R1+R3

R1+RP-1

那么要使公式成立分母最小要加上整數1.

即R1+R2

R1+R3

R1+RP-1

∵ A P 互質，1≤A

∴R1+R2=P+RP-1，

R1+R3=P+RP-1，

R1+RP-1=P+RP-1，

∴R1+RP-1-RP-1=P，

∴R1=P.

∵R1

通過以上證明在余數段中，兩個余數對應對折相加和不能大于或小于分母.

求證：R1+R2=P，R1+RP-1=P.

證明? ∵在計算余數段余數對應對折時，不考慮余數位置.

∵R1÷P=M1…R11，

R2÷P=M2…R22，

RP-1÷P=MP-1…R（P-1）1.

∵R1=R11，R2=R22，RP-1=R（P-1）1，

所以，符合循環余數的定義.

∴R1+R2=P，R1+RP-1=P，

所以，在一段余數中，對折對應相加的兩個余數和等于分母.

1 7 =0.142857

326

+ 451

777

我們經過證明既然得出在循環余數的余數段中能夠對應對折相加的余數和等于分母，那么為什么它的循環節小數的循環節中一節的數字個數對應對折相加是9呢？

設：最簡分數 A P ，A與P互質，R1，R2，…，RP-1是循環余數，如果在循環余數的余數段中一段數字對應對折相加的余數為R1，RP-1且R1+RP-1=P.

那么循環小數的循環節中一節的數字個數中對應對折相加的一對小數為M1M2（在計算過程中余數與循環小數都不考慮小數點位置，只看對應關系）.

求證：10（M1+M2）=9.

證明? ∵R1+RP-1=P，

∴R1+RP-1=M1…… R11 10? R11是第二段余數中余數，

∴RP-1÷P=M1…… R（P-1） 10 R（P-1） 1是第二段余數中余數.（R（P-1）1是R（P-1）1），

∴R1=Rm1+ R11 10 = 10Pm1+R11 10 （注10Pm1是10Pm1），

∴RP-1=Pm2+ R（P-1）1 10 = 10Pm2+R（P-1）1 10 （注10Pm2是10Pm2），

∴ 10Pm1+R11 10 + 10Pm2+R（P-1）1 10 =P，

∴10Pm1+R11+10m2+R（P-1）1=10P，

∴10P（m1+m2）+R11+R（P-1）1=10P.

又∵R11，R（P-1）1是下段余數段中的兩個對應對折的余數，且它們的和也等于分母.（在計算時中只看對應關系）.

∴R11+R（P-1）1=P，

∴10P（M1+M2）+P=10P，

∴10P（M1+M2）=10P+P，

∴10P（M1+M2）=9P，

∴10P（M1+M2）=9.

（為什么是10倍的和呢？因為M1+M2的和是小數，也就是說循環小數的循環節中對應對折和是9，是小數部分的9.）

像7，23這樣的數究竟有多少個？

我們知道偶數位個9（1-10-2nn是自然數）組成的數能被某個質數整除，它的循環節就是偶數位數字，也就是偶數位個9組成的數能被這個質數整除的商的個數等于這個質數做分母的一節循環節的個數，根據循環節與余數段的一一對應關系，余數就有偶數位數字，以前證明了偶數位個余數對折應相加和等于分母，所以偶數位個9組成的數（1-10-2nn是自然數）能被某個質數整除，它的循環對折對應和一定是9.

統一公式可以看作 1-10-2n P .

結論：像7，23這些數作分母的最簡分數，循環節小數中一節數字個數比分母少1，且對折起來對應相加和是9，是循環小數的一種特征.是由做分母的質數來確定的（分子與分母兩個數是互質數，不能整除，就必須有余數），實際上在除式中，余數決定小數有了循環余數，才能有循環小數，有了余數段才能有循環節，所以循環節小數中，循環節的一節數字個數，與循環余數中余數段的一段數字個數一一相對應，它們是一對孿生姊妹，并且根據除法法則，每次除得的余數必須比除數小（余數小于除數）除數是分母，分子是分母中的余數，按照循環余數與循環節的對應關系，所以余數的個數就比分母這個數少1個或幾個數，究竟少幾個數是由做分母的質數來確定的，那么循環節小數中一節的數字個數就要比分母少1或幾，經過證明只要把余數段，余數中一段的數字個數對折起來，再對應相加和等于分母.它的循環節小數中一節的數字個數對折起來再對應相加和一定是9（在計算過程中不考慮余數縮小的倍數及小數點所在位置只看對應關系）象號23這樣的數有很多個，只要由偶數位個9組成的數能被這個質數整除.那么不管這個質數做分母時，是真分數還是假分數，它的循環節一節數字對折對應相加的和一定是9，即 1-10-2n P .