淺析超靜定結構計算中力法與位移法的異同

摘 要：力法和位移法是結構力學中計算超靜定結構的兩種基本方法，這兩種計算方法既有相同之處，又有不同之處，本文從二者的基本原理、基本未知量、基本體系及典型方程等方面對比分析力法與位移法在結構計算中的異同。

關鍵詞：超靜定結構；力法；位移法；異同

在實際工程計算中，大多數結構都是超靜定的，結構力學計算通常包括兩個部分：內力計算和位移計算，力法和位移法在結構力學中是計算超靜定結構的兩種基本方法，二者既有相同的地方也有許多不同之處。相同之處在于二者的分析依據相同，并且最終目的都是為了求解出結構的內力和支座反力；不同之處主要是在于兩者的基本原理、基本未知量、基本體系和典型方程不同。

1 力法與位移法對比分析之同

1.1 分析依據

超靜定結構計算中，力法和位移法是常用的兩種計算方法。所謂的超靜定結構即指具有多余約束的幾何不變體系、基于靜力平衡條件不能唯一確定內力和反力的結構。力法和位移法不僅考慮靜力平衡條件，還考慮了變形協調條件及物理條件，從而對超靜定結構進行求解。

1.2 目的

力法和位移法都是綜合利用靜力平衡條件、變形協調的幾何條件、應力與應變間本構關系的物理條件，根據各自的簡單基本結構和關于基本未知量的基本方程，先求解出基本未知量，再求出剩余未知量，最終求解出實際工程中常見的超靜定結構各截面的內力和支座反力。

力法和位移法都是綜合利用靜力平衡條件、變形協調及物理關系三個方面的條件，使各自基本體系與原結構的受力、變形情況一致，從而應用基本體系建立相應的典型方程以達到分析原結構的目的。

2 力法與位移法對比分析之異

2.1 基本原理

結構在一定的荷載作用下，其內力與位移有一定的關系，簡單來說，在分析超靜定結構時，力法是先求出結構內力，然后計算其相應的位移；而位移法是先確定位移，再根據位移求出結構內力。

力法的基本原理是：通過撤除多余約束把多余未知力作為基本未知量，將分析超靜定結構轉化為分析相應的基本結構，然后根據多余約束處的變形協調條件（位移條件）建立力法基本方程，求出基本未知量后即可通過靜力平衡條件求出結構的全部內力。而位移法的基本思路是：以獨立的結點位移作為基本未知量，通過靜力平衡條件建立位移法方程，求出基本未知量后即可利用桿端位移與內力之間的關系（轉角位移（荷載）方程），再求出結構的全部內力。

對于線彈性體系，只要基本體系與原結構變形一致，則受力自然相同；反之受力一致，則變形自然相同。力法是通過兩者變形一致從而達到受力相同，位移法是通過兩者受力一致從而達到變形相同。

2.2 基本未知量

力法與位移法的基本未知量不同。力法是以多余未知力為基本未知量，基本未知量的數目等于結構的超靜定次數。其基本未知量可作以下三方面理解：①原結構中多余未知力為被動力形式，是固定量。②基本體系中多余未知力為主動力形式，是變量。③通過調節多余未知力的大小，可以使基本體系的變形與受力和原超靜定結構完全相同。

而位移法是以獨立的結點位移（結點角位移與獨立結點線位移）為基本未知量，其基本未知量數目與超靜定次數無關。一般來說，未知位移個數=未知轉角的個數+節點線位移個數，而未知轉角的個數=剛結點的個數，未知線位移的個數=相應鉸結體系的自由度數目=剛架的層數（橫梁豎柱的矩形框架）。

2.3 基本體系

力法和位移有各自的基本體系。力法是以解除超靜定結構的多余約束得到的靜定結構作為基本結構，在基本結構上加上原作用因素和多余未知力的共同作用，就組成力法基本體系（形式非唯一），通過基本體系與原結構變形一致建立力法方程求解多余未知力。

而位移法的基本結構是：在發生獨立位移的結點上施加相應的附加約束，使原結構中每一根桿件都變成單跨超靜定梁（基本結構單元），這樣所得到的單跨超靜定梁的組合體即為原結構的位移法基本結構，位移法基本結構在荷載和各獨立結點位移共同作用下的體系稱為位移法基本體系，其形式唯一。簡言之，基本體系=基本結構+獨立結點位移+原作用因素。

2.4 典型方程

力法：力法的基本方程是根據基本體系在多余約束處的位移與原結構一致的條件建立力法方程，其本質是幾何方程。在線性變形體系中，根據疊加原理，n個變形條件通常可以寫為：

δ11X1+δ12X2+…+δ1iXi+…+δ1nXn+Δ1p=0

δ21X2+δ22X2+…+δ2iXi+…+δ2nXn+Δ2p=0

……

δn1X1+δn2X2+…+δniXi+…+δnnXn+Δnp=0

方程中，系數δij和自由項Δip代表基本結構的位移。δii是基本結構由Xi=1產生的Xi方向上的位移，δik是基本結構由Xk=1產生的Xi方向上的位移，自由項Δip是基本結構由荷載產生的Xi方向上的位移。

位移法：位移法的基本方程是根據基本體系的附加約束上的約束力（矩）與原結構一致的條件建立位移法方程，其本質是靜力平衡方程。對于具有n個基本未知量的問題，位移法的基本方程可寫成如下形式：

K11Δ1+K12Δ2+…+ K1iΔi +…+K1nΔn+F1p=0

K21Δ1+K22Δ2+…+ K2iΔi +…+K2nΔn+F2p=0

……

Kn1Δ1+Kn2Δ2+…+ KniΔi +…+KnnΔn+Fnp=0

方程中，系數Kij是基本結構在Δj=1單獨作用時，在第i個附加約束中產生的約束反力（反力矩），是結構的剛度系數，與外部作用無關。當i=j時，即Kii稱為主系數，恒為正；當i≠j時稱為副系數，可為正值、負值或為零，并且Kij=Kji（反力互等定理）。Fip稱為荷載項或自由項，是基本結構在荷載單獨作用時，在第i個附加約束中產生的約束法力（或反力矩）。剛度系數和自由項與假設的結點位移同向時為正。

建立基本方程時，兩者考慮平衡條件與變形協調條件的先后次序不同。力法是根據基本體系在荷載和多余未知力共同作用下保持平衡，先滿足平衡條件，然后又根據位移條件（變形協調條件）列出典型方程。位移法在確定基本未知量時，認為匯交于剛結點處的各桿端轉角相同以及受彎桿件兩端的間距不變，即先滿足位移條件（變形協調條件），然后在建立位移法基本方程時再滿足平衡條件。

結語：

力法與位移法是分析實際工程中常見的超靜定結構的兩種基本方法。力法與位移法既有相同之處又有區別。在解決實際問題時，應根據實際情況靈活應用，可以單獨使用其中一種解決問題，必要時也可以兩者混合使用。無論利用力法還是位移法，亦或兩者混合使用，只要選擇的基本未知量合理并且能夠簡潔地計算，就可以達到方便快捷的目的。

參考文獻：

[1].樊友景、高洪波主編 結構力學（上冊） 鄭州大學出版社；

[2].單建、呂令毅編著 結構力學 東南大學出版社；

[3].于克萍、胡慶安編著 結構力學 西北工業大學出版社；

[4].鄭有畛主編 結構力學 同濟大學出版社；

作者簡介：

趙浩楠（1997.07.18），男，漢族，河南省洛陽市，本科生，研究方向：城市地下空間工程專業.