克里金插值法在氣動導數計算中的應用

摘 要：飛行載荷是飛機載荷設計中的關鍵，在載荷求解過程中快速精確得到氣動導數可以提高載荷計算的準確性。在現有氣動導數數據基礎上，利用克里金二元插值方法，對未知氣動導數進行計算。計算結果表明，該插值法的計算精度遠高于傳統線性插值，為后續氣動導數計算提供了新思路。

關鍵詞：插值法；氣動導數；克里金法；飛機設計

1 引言

在飛機設計中，飛行載荷的計算是是一項基本而重要的工作。而在求解飛行器的氣動力和氣動力矩時，通常需要大量應用相關氣動導數。在一般情況下，氣動導數是以表格形式給出的，它受馬赫數、高度、升降舵、方向舵、襟翼偏角等的影響[1]。氣動導數的值隨上述自變量的變化呈現非線性趨勢[2]。現有的氣動導數的估算方法大致可以分為三類：插值法、擬合法[3]以及參數識別法。

在載荷計算過程中，經常使用插值法進行氣動導數的估算。本文分別采用了克里金插值法，對氣動導數進行計算分析，最終得出該插值法具有更高的計算精度，可以在未來的飛行載荷工程計算中加以應用。

2 克里金插值法

克里金法[4]是建立在變異函數理論分析基礎上，對有限區域內的區域變化變量取值進行無偏最優估計的一種方法。使誤差的方差最小是克里金法的顯著特點。這種方法不僅考慮了待插點與鄰近數據點的空間位置關系，還考慮了各臨近點之間的位置關系，使其估計比傳統方法更精確，更符合實際。

其基本原理為：設研究區域為A，區域化變量為{z（x）∈A} ，x 表示空間位置，z（x） 在采樣點xi（i=1，2，…，n） ，則根據克里金插值原理，待插點x0 處的屬性值z（x0） 插值結果是n 個已知采樣點屬性值的加權和，即：

（1）

式中，λi（i=1，2，…，n ） 為待求權系數。假設z（x） 在整個研究區域內滿足二階平穩假設，且根據無偏性要求， 。

區域化變量在滿足二階平穩的條件下推導，可以得到估計方差的計算公式：

在無偏估計下使方差達到最小，可得權系數 的方程組：

求出諸權系數λi（i=1，2，…，n ） 后，就可以求出插值點x0 處得值z（x0） 。

3 算例

3.1 初始參數

本文以某輕型公務機為例，利用克里金二維插值法對氣動導數進行插值計算。

下面給出在襟翼10°偏度下，由風洞測力試驗得到的副翼操縱導數。將下列數據作為已知點進行后續計算。

3.2 插值計算

將機身迎角α作為空間點的x 坐標，側滑角β作為其y坐標，副翼操縱導數 作為空間點的屬性值z（x， y）。

表2列出了在迎角α=8°條件下，利用克里金插值法計算得到的副翼操縱導數。為了更直觀的對比克里金法與常用的線性插值法在精度上的差異，圖1展示了在在襟翼偏度10°情況下，上述兩種插值法與實測值結果的計算誤差對比。可以看出，克里金法最大計算誤差為0.00024，而線性插值法超過了0.00035。從整體計算誤差來看，與傳統線性插值法相比，克里金法在插值精度方面還是有比較明顯的優勢。

4 結論

本文以副翼操縱導數為例，利用兩種不同的二元插值方法對氣動導數進行了計算對比。結果表明克里金插值法和薄板樣條插值法繪制出的曲面基本上可以反映出副翼操縱導數在某襟翼偏度時，不同迎角和側滑角條件下的真實分布。但是只能保證在內部點上的插值精度，在邊界點上精度較差。

克里金法、TPS法和傳統線性插值法對比后可以看出，克里金插值法在計算氣動導數時，計算誤差最小。二元插值法在氣動導數計算應用中是可行的，這為后續的飛行載荷計算提供了一種新思路。

參考文獻：

[1]王行仁. 飛行實時仿真系統及技術[M]. 北京航空航天大學出版社， 1998.

[2]Stevens B L， Lewis F L. Aircraft Control and Simulation[J]. Aircraft Engineering & Aerospace Technology， 2003， 76（5）.

[3]李世玲， 張富堂， 李治，等. 基于模糊神經網絡的氣動參數擬合[J]. 系統仿真學報， 2001， 13（4）：488-490.

[4]李莉， 胡建平. 克里金插值算法在等高線繪制中的應用[J]. 天津城建大學學報， 2008， 14（1）：68-71.

作者簡介：

趙佶男（1989-），男，籍貫：河南省鄭州市人，民 族：漢 職稱：助理工程師，學歷：碩士研究生。研究方向：飛機強度設計。