不確定環境下的致命沖擊模型

劉 穎，劉冬雪，馬 瑤

(天津科技大學計算機科學與信息工程學院，天津 300457)

沖擊模型是可靠性數學理論中的主要研究內容之一，其研究的中心問題是系統失效時間或系統壽命[1]．它在交通[2]、保險[3]、維修[4]、自然保護[5]等領域有著廣泛的應用．例如，在飛機設計和驗證定理過程中，沖擊模型可用于預測飛機結構件的疲勞壽命和可靠性；在環境保護領域，沖擊模型可用于分析自然保護區的壽命行為和失效規律；在對金屬化膜脈沖電容器“自愈”的失效機理進行研究時，選取合適的沖擊模型對金屬化膜沖擊電容器可靠性進行評估；在保險問題上，也可利用沖擊模型對保險風險系統進行建模并給出破產概率估計等．

人們對沖擊模型的研究已久，如，Esary等[6]在基礎過程是齊次Poisson過程的情況下研究了系統的壽命分布，給出了生存函數的IFR、IFRA與NBU等性質．隨后 A-Hameed等[7]將基礎過程推廣至非齊次Poisson過程的情形．Shanthikumar等[8-9]提出了一般沖擊模型．Anderson[10]研究沖擊之間的時間間隔具有無限期望的一般沖擊模型．Gut[11]建立了混合沖擊模型．Lam 等[12]研究了可修系統維修問題的沖擊模型．馬明等[13]主要研究截斷δ沖擊模型的參數估計問題，利用極大似然估計法得到截斷δ沖擊模型的參數估計量，并分析了其無偏性．Cha提出并分析了基于廣義波利亞新法的新沖擊模型[14]．姜培華[15]建立了一類簇生離散沖擊模型，每個周期的沖擊次數服從獨立同分布的二項隨機變量，在累積沖擊和極端沖擊兩種情形下，研究了系統壽命的生存函數和平均壽命.

在研究沖擊模型的過程中不得不面對各種非確定性因素．隨機性是一種客觀非確定性，概率論是研究這種非確定性的有效數學工具．但是使用概率論處理工程問題需要滿足 3個前提：事件需明確定義；有大量樣本存在；樣本之間具有概率重復性．當不同時滿足以上的條件時，將不能運用概率論解決問題．這時，一些學者開始運用模糊理論處理此類問題．但 Liu[16]提出的貨車過橋問題，分析得出模糊變量并不是適合于不確定量建模的工具這一結論，說明模糊理論處理問題同樣存在局限性．

2007年，清華大學的劉寶碇教授提出了不確定理論[17]．近年來，不確定理論被廣泛應用在不確定微分方程[18]、不確定統計[19]、不確定規劃[20]、不確定金融[21]、不確定控制[22]等眾多研究領域．本文將不確定理論引入致命沖擊模型的研究中，可對樣本規模較小的一類問題進行建模和分析，解決使用概率論建模及可靠性分析不精準的問題．

1 不確定理論

劉寶碇教授提出了不確定理論之后，又對該理論進行了細化和補充，下面給出與本文相關的定義和定理[17, 23]．

假設Γ是非空集合，L是Γ上的子集構成的σ-代數，L中的每一個元素Λ稱之為事件．那么，為了進一步介紹不確定理論的公理化定義，對每個事件Λ發生的信度指定一個數值M{}Λ，其中信度M需要滿足Liu[17]提出的4條公理：

公理1(規范性) 對于全集Γ，有 M{Γ}=1．

公理2(單調性) 對于任意事件，當 Λ1?Λ2時有

公理3(自對偶性) 對于任何事件Λ和cΛ，有

公理 4(次可加性) 對于任意可列可數事件列Λ1, Λ2,… ,都有

定義 1 若集函數M滿足規范性、單調性、自對偶性和次可加性，則稱M是非空集合Γ上的不確定測度．

定義 2 設Γ為非空集合，L是由Γ的子集構成的σ-代數，M是不確定測度，則稱三元組(Γ,L, M)為不確定空間．

定義 3 不確定變量ξ定義為從不確定空間(Γ, L, M)到實數集的可測函數，即對任意 Borel集B，集合為一個事件．

定義 4 不確定變量ξ的不確定分布Φ定義為實數集上的函數，對于任意實數x，

注：由公理3可知

定義5 不確定變量ξ為線性不確定變量，若其不確定分布

記作L( a, b)，對于任何的實數a和b都有a＜b．

定義 6 設ξ為不確定變量，Φ為其分布函數，那么Φ的反函數Φ-1稱為不確定變量ξ的逆分布．

定義 7 線性不確定變量L( a, b)的逆不確定分布為

定義 8 若ξ為不確定變量，M為不確定測度，那么ξ的期望值定義為

只要以上兩個積分中至少有一個是有限的．

定理 1 若不確定變量ξ的不確定分布函數為Φ，且ξ的期望存在，則

2 建立模型

假設系統由2個部件組成(圖1)，這些部件在受到外界沖擊后會失效，沖擊到達的時間為不確定變量．系統中有3個相互獨立的沖擊源，當沖擊1發生時，僅引起部件 1失效，沖擊發生的時間用U1表示，其不確定分布為Φ1(x)；當沖擊2發生時，僅引起部件2失效，沖擊發生的時間用U2表示，其不確定分布為Φ2(x)；當沖擊3發生時，同時引起2個部件失效，沖擊發生的時間用U12來表示，其不確定分布為Φ12(x)．因此，可知部件1和部件2的不確定壽命X1和X2分別為

圖1 沖擊模型Fig. 1 A shock model

定理4 X1與X2的聯合生存不確定分布為

證明：當 0≤t1≤t2時，由式(1)、式(2)、式(8)和式(9)可知

當0≤t2≤t1時，由式(1)、式(2)、式(8)和式(9)可知

綜合式(11)和式(12)，有

證畢．

定理5 X1和X2的邊緣生存不確定分布分別為

證明：由式(1)、式(2)、式(8)和式(9)可得該致命沖擊模型的邊緣生存不確定分布分別為

證畢.

定理6 X1和X2的平均壽命分別為

證明：由式(1)、式(2)和式(5)可得

證畢．

定理7 若X1和X2為不確定壽命，則有

證明：由式(7)、式(8)和式(9)可得

證畢．

定理8 若X1和X2為不確定壽命，則有

證明：由式(7)、式(8)和式(9)可得

證畢．

定理9 X1和X2的矩母函數為

證明：由式(7)、式(8)和式(9)，可得 X1和 X2的矩母函數為

證畢．

3 算 例

由式(4)可知其逆不確定分布函數分別為

由定理4可求X1與X2的聯合不確定分布

由定理5可得 X1, X2的邊緣生存不確定分布為

由定理6可知，各部件壽命分別為

由定理7，有

由定理8，有

由定理9可得，X1,X2的矩母函數為

4 結 語

不確定理論是建立在規范性、自對偶性、次可加性和乘積測度公理化體系之上的數學分支．當樣本規模較小時，概率論將不再有效，此時，采用不確定理論可解決此類問題．本文研究不確定環境下的致命沖擊模型，將沖擊源引起部件失效的時間視作不確定變量，進行建模和分析，給出了沖擊模型的聯合生存不確定分布及相關定理．為計算簡便，給出了不確定變量服從線性分布時的數值算例，但該方法同樣適用于任意不確定分布．

致謝：本文研究得到“2018年中國輕工業重點實驗室開放課題(KFKT2018C09)”的資助，特此致謝！