基于波數有限元-邊界元法的無砟軌道聲輻射特性分析

馮青松， 辛 偉， 羅賢能， 劉全民， 雷曉燕

(華東交通大學 鐵路環境振動與噪聲教育部工程研究中心， 江西 南昌 330013)

我國高速鐵路主要采用無砟軌道，與有砟軌道的情況相比，高速動車組在無砟軌道上運行，輪軌振動激發的噪聲污染比在有砟軌道上運行有明顯增加。因此，國內外許多學者對軌道結構的聲輻射性能進行了廣泛而深入的研究。徐志勝等[1]利用Timoshenko梁的原理模擬并建立鋼軌仿真模型，然后采用半解析的方法計算出結構表面的振動響應，最后運用聲輻射效率的計算公式分析了軌道結構系統的聲輻射特性，探討了軌下膠墊剛度與阻尼、軌道板的質量等結構參數對輪軌噪聲的影響；方銳等[2]采用有限元的方法建立了三維實體有砟軌道模型，計算出了軌道結構表面的振動速度響應，然后以此作為激勵輸入，通過三維聲學邊界元的方法，計算了有砟軌道結構的聲輻射特性；劉林芽等[3-4]利用Ansys軟件建立三維有限元軌道模型，結合聲學軟件分析了輪軌力作用下鋼軌及軌道板聲輻射貢獻的主要頻率范圍；楊新文等[5]通過建立軌道板的振動方程得到軌道板在穩態荷載作用下的振動響應，再用邊界元法建立軌道板的聲學邊界元模型，分析并對比了各種板式軌道的聲輻射特性；魏偉等[6]利用有限元與邊界元相結合的方法計算了鋼軌垂向和橫向的聲輻射效率特性；萬淑敏等[7]利用Ansys建立三維實體離散有砟軌道模型，再結合聲學軟件Sysnoise分析了鋼軌的聲輻射效率。國外學者Thompson等[8-10]利用二維邊界元法預測了鋼軌的聲輻射,同時研究了有砟軌道的軌枕對軌道整體結構聲輻射特性的影響；Nilsson等[11]通過波數有限元-聲學邊界元法分析了有軌電車行駛鋼軌的聲輻射特性；Prasetiyo等[12]通過波數有限元-聲學邊界元法軟件[13]分析了夾心板的聲輻射特性及聲傳遞損失量；Zhang等[14]通過波數有限元-聲學邊界元法分析了有砟軌道整體結構聲輻射特性，并且包括了軌枕的聲輻射特性。

目前對軌道整體結構聲輻射特性研究通常是借助二維、三維的有砟軌道模型進行分析。運用解析法或者數值分析法分析的二維模型，具有良好的計算效率，但模型建立過程中對許多部分作了過多假設，導致其不能很好地反映結構實際情況，對模型的適用性和計算的準確性等產生了一定的影響。建立三維模型分析頻率域內的聲輻射特性時，由于輪軌噪聲的頻率較高，為滿足較高的計算頻率，需要將模型的單元尺寸劃分的足夠小，這在很大程度上增加了模型的自由度，相對應的工作量也大幅度增加，進而大大增加的計算所用的時間。所以，建立的三維模型一般較短，不能很好地反應鋼軌、軌道板等軌道結構無限延伸的實際情況，增大了邊界對振動聲輻射的影響，從而降低了計算結果的準確性。

一般情況下，無砟軌道的鋼軌、軌道板以及軌道的整體結構可以看成沿行駛方向無限延長，則沿軌道行駛方向上的結構可以劃分為一系列的平面波，所以本文采用波數有限元-聲學波數邊界元方法。當前，CRTSⅠ型板式無砟軌道是我國高速鐵路采用的主要軌道形式之一，建立其波數有限元模型，能夠很好地反應實際情況，又可以快速計算出軌道結構在諧荷載作用后的振動響應。軌道整體結構的外部輻射聲場則采用聲學波數邊界元法模擬，邊界條件是軌道結構表面的振動速度，以此得到頻率域內軌道整體結構及主要部分的聲輻射特性，并分析了CA砂漿層彈性模量和鋼軌扣件剛度對CRTSⅠ型無砟軌道結構聲輻射特性的影響。

1 波數有限元-聲學邊界元法基本原理及驗證

1.1 波數有限元-聲學邊界元法基本原理

假設所建的彈性體在某一方向無限沿長，并且定義無限沿長方向為x軸方向，則頻率-波數域內三維彈性體的動力微分方程為[12]

[KS2(-iκ)2+KS1(-iκ)+

( 1 )

聲學邊界元基本方程為[12-15]

( 2 )

當波數有限元與聲學邊界元耦合時，由于邊界單元表面壓力的存在，使得邊界單元壓力將產生虛功，這樣波數有限元-聲學邊界元耦合方程為[12-15]

( 3 )

( 4 )

除了上述所列方程外，還要考慮邊界條件。通過狄利克雷邊界條件可知，在流體與結構有限元單元的表面必須滿足結構的振動速度與流體的速度匹配。因此，邊界條件為[12-15]

( 5 )

式中:I2為單位單元剛度矩陣；CA、CB為系數矩陣；CC為邊界壓力矢量矩陣；C2為轉換矩陣。

聯立求解方程( 2 )～式( 5 )，考慮波數有限元與聲學邊界元耦合，系統結構的全局方程為[12-15]

( 6 )

式中:Mf為耦合處流體質量矩陣。

聲輻射功率及聲輻射效率方程為[12-15]

( 7 )

( 8 )

1.2 波數有限元-邊界元方法的驗證

根據波數有限元-聲學邊界元法基本原理，英國南安普頓大學編制了波數域內有限元-邊界元結構和流體分析程序Wands[13]，作者參與了其中程序編制、調試、校核等工作。利用自編的前后分析處理程序與Wands程序結合，可分析得到諧荷載作用下波數域內振動和聲學響應。

為驗證建立的模型和程序編制的正確性，參照文獻[12]建立諧荷載作用下薄板的有限元-聲學邊界元模型。所建模型中，薄板只約束兩端，只考慮上板面的聲輻射。以各向同性材料模擬薄板，并以八節點單元劃分。激勵是薄板板中正上方施加的垂向單位諧荷載，薄板上表面接觸的大氣以三節點邊界元單元劃分，薄板的參數與文獻[12]相同，具體參數見表1，薄板模型見圖1。文獻[12]的解析模型計算結果與本文波數有限元-邊界元法計算結果對比見圖2。

表1 薄板參數[12]

由圖2可見，文獻[12]計算結果與本文波數有限元-邊界元模型計算結果吻合很好，證明了本文所建立的薄板模型的正確性。

2 鋼軌聲輻射特性

通過建立的鋼軌波數有限元-聲學邊界元模型，研究鋼軌在諧荷載激勵下的聲輻射特性，鋼軌模型見圖3。模型考慮了普通60 kg/m鋼軌及其下部的扣件結構，鋼軌模擬為各向同性材料的八節點單元；參考文獻[15],將扣件同樣定義為八節點單元，扣件底部進行全約束。激勵為鋼軌軌頭中心表面施加的單位豎向諧荷載，大氣仍采用三節點邊界單元模擬。在研究鋼軌的聲輻射特性時，只分析鋼軌表面與大氣接觸的聲輻射，不考慮軌道板和路基等對鋼軌聲輻射的干擾作用。

在計算鋼軌的聲輻射功率時，波數范圍取為-55～55 rad/m，離散波數為N=2 048，以1、500、3 000 Hz為代表，分別計算出諧荷載作用下波數域內鋼軌的聲輻射功率幅值，見圖4。計算得到的不同扣件剛度下鋼軌輻射聲功率和聲輻射效率見圖5。

將輻射聲功率級第一次出現峰值時的頻率定義為一階峰值頻率。

3種工況下輻射聲功率級的一階峰值頻率分別為397.35、511.28、625.21 Hz，此時相應的鋼軌輻射聲功率級分別為40.99、40.46、38.42 dB，見圖5(a)。由圖5(a)可見，鋼軌輻射聲功率級變化與扣件剛度的改變有非常緊密的聯系，鋼軌的一階峰值頻率隨扣件剛度的增大而明顯變大，而一階峰值頻率處所對應的鋼軌輻射聲功率級減少了2.57 dB。在一階峰值頻率之前，鋼軌輻射聲功率隨著頻率的增大而線性增加；在一階峰值頻率之后，輻射聲功率級有一定波動，但總體呈上升趨勢，在4 200 Hz左右達到最大值。

在頻率為4 600 Hz左右處，3種工況下的鋼軌聲輻射效率都達到27.65、28.7、30.21 dB的峰值，見圖5(b)。3種工況下聲輻射效率曲線只在高頻處有些許變化，由此可知，扣件剛度的改變對鋼軌聲輻射效率的變化基本沒有影響。

3 CRTSⅠ型無砟軌道板聲輻射特性

針對CRTSⅠ型無砟軌道板，建立波數有限元-聲學邊界元模型，研究頻率域內的軌道板聲輻射特性，模型見圖6。

模型中，軌道板和CA砂漿層以各向同性材料模擬，利用八節點單元進行劃分。CA砂漿下部進行全約束，激勵是將垂向單位諧荷載分別作用在軌道板距左側和右側0.85 m處上部。軌道板表面接觸的大氣考慮為三節點邊界元單元。不考慮路基對軌道板聲輻射的影響以及上部鋼軌和扣件的作用。軌道板結構具體參數見表2。

表2 軌道板及CA砂漿層參數

參考TB 10621—2009《高速鐵路設計規范》[16]，在合理范圍內取為100、200、300 MPa，在頻率域內，研究不同的CA砂漿層彈性模量對軌道板聲輻射的影響。計算得到不同CA砂漿彈性模量下的軌道板輻射聲功率級和聲輻射效率見圖7。

由圖7(a)可見，3種工況下軌道板輻射聲功率級的一階峰值頻率分別為397.35、481.20、625.21 Hz，對應的輻射聲功率級分別為37.56、35.60、34.42 dB；可見隨著CA砂漿彈性模量的增加，軌道板一階峰值頻率明顯增大，在一階峰值頻率處輻射聲功率級峰值降低了3 dB。

在一階峰值頻率之前，軌道板輻射聲功率幅值隨著頻率的增大而近似線性增加，在一階峰值頻率處軌道板輻射聲功率級達到最大值；在一階峰值頻率后，軌道板輻射聲功率級有一定波動，但其總體趨勢為隨頻率增大逐漸減小，并出現二階、三階峰值頻率。隨著CA砂漿層彈性模量的增大，軌道板輻射聲功率級的二、三階峰值頻率分別由744.35、1433.6 Hz增加到894.73、1 546.4 Hz。

由圖7(b)可見，隨著頻率的增加，軌道板聲輻射效率也增加，并且聲輻射效率在頻率1 000 Hz左右達到峰值；但聲輻射效率幾乎不受CA砂漿層彈性模量增加的影響。

4 CRTSⅠ型無砟軌道整體結構聲輻射特性

針對CRTSⅠ型無砟軌道整體結構，建立其整體結構波數有限元-聲學邊界元模型，研究頻率域內的無砟軌道整體結構的聲輻射特性，見圖8。

根據軌道整體結構的對稱性，取一半的結構進行研究。以三節點邊界元單元劃分與結構表面接觸的大氣，CA砂漿底部進行全約束，最右側軌道中心處僅對橫向及縱向位移進行約束。聲輻射只考慮整體結構的上表面和軌道板的左半部分，不考慮大地表面對軌道結構聲輻射的作用。探討軌道結構各部分聲輻射貢獻量，以及軌道整體結構輻射聲功率級與扣件剛度、CA砂漿層彈性模量的關系。

4.1 軌道整體結構各部分聲輻射貢獻量分析

利用建立的CRTSⅠ型無砟軌道分析鋼軌及軌道板對軌道整體結構的聲輻射貢獻。扣件剛度為43.2 kN/mm，CA砂漿層彈性模量為200 MPa,其余參數與第2、3節相同。

計算得到的CRTSⅠ型無砟軌道整體結構輻射聲功率級見圖9，其中軌道板聲輻射貢獻量還包括了軌道板上扣件單元的聲輻射。由圖9可見，鋼軌、軌道板、軌道整體結構的一階峰值頻率分別為475.81、315.62、338.36 Hz時，其相應的峰值為31.06、34.03、42.34 dB。在一階峰值頻率之前，鋼軌、軌道板和軌道整體結構輻射聲功率級隨著頻率的增大上升較快，近似成線性關系；在一階峰值頻率之后，鋼軌輻射聲功率級曲線波動較大且出現多個峰值，而軌道整體結構聲功率級曲線穩定波動且整體走勢升高。軌道整體結構輻射聲功率級分別在338.36、1861.90、3153.30、4128.90 Hz出現4次峰值頻率，其對應的軌道整體結構聲功率級最大值分別為42.34、47.27、44.90、53.25 dB。

鋼軌、軌道板對軌道整體結構的聲輻射貢獻量在不同頻段內表現不同。在軌道整體結構一階峰值頻率338.36 Hz前頻段內，對軌道整體結構輻射聲功率級貢獻量，軌道板為89%，鋼軌為11%，顯然，在該頻段內，整體結構聲輻射特性起最重要作用的是軌道板。在鋼軌一階峰值頻率475.81 Hz之后頻段內，鋼軌對軌道整體結構輻射聲功率逐漸占主導作用，軌道整體結構二階、三階峰值基本都對應鋼軌的峰值；在二階、三階峰值頻率處，鋼軌對軌道整體結構輻射聲功率級貢獻量分別為54%、75%。

4.2 鋼軌扣件剛度的變化對軌道整體結構聲輻射特性的影響

鋼軌與軌道板連接的一個重要組成部分是扣件，同時也是影響軌道整體結構聲輻射特性的一個重要部件。參考文獻[16],在合理的范圍內，其它參數保持不變，扣件剛度依次為43.2、79.2、129.6 kN/mm。不同扣件剛度下軌道結構聲輻射特性見圖10。

由圖10(a)可見，3種扣件剛度下，軌道整體結構輻射聲功率級的峰值為42.34、39.77、36.89 dB，所對應的頻率是338.36、407.44、430.23 Hz；隨著扣件剛度的增加，軌道整體結構輻射聲功率級有所降低，一階峰值頻率峰值降低了5.45 dB。在軌道整體結構一階峰值頻率之前，扣件剛度對軌道整體輻射聲功率影響較大，在一階峰值頻率后，扣件剛度的影響較小。結合2節中扣件只對鋼軌輻射聲功率級的影響分析結果，可知扣件剛度對鋼軌和軌道整體結構的輻射聲功率級影響都較大，故從降低軌道結構輻射噪聲角度看，應在合理范圍內盡量選取較大剛度的扣件。

由圖10(b)可見，隨著頻率的增加，軌道整體結構的聲輻射效率逐漸增大，在1 907.4 Hz處達到最大值。在1 000 Hz前頻段，軌道結構聲輻射效率隨著扣件剛度的增加，在1 000 Hz后頻段，扣件剛度對聲輻射效率基本無影響。

4.3 CA砂漿層彈性模量的變化對軌道整體結構聲輻射特性的影響

CA砂漿層是無砟軌道重要的組成部分。參考文獻[16],在合理的范圍內，其彈性模量值可分別取為100、200、300 MPa。不同CA砂漿彈性模量下軌道整體結構聲輻射特性見圖11。

由圖11(a)可見，CA砂漿層彈性模量從100 MPa變化200 MPa時，軌道整體結構輻射聲功率級在一階峰值頻率之前頻段內有一定的下降，但變化微小。3種工況下軌道整體結構輻射聲功率級在一階峰值頻率338.36、361.86、384.65 Hz處，相應的峰值為42.34、41.52、40.92 dB。對比分析第3節中CA砂漿層彈性模量變化對軌道板輻射聲功率級的影響，砂漿層彈性模量變化對軌道板輻射聲功率級影響較大，但對軌道整體結構輻射聲功率級影響較小。

由圖11(b)可見，隨著CA砂漿層彈性模量的增加，在1 000 Hz前頻段軌道整體結構聲輻射效率有一定影響，但在1 000 Hz頻段后聲輻射效率曲線無明顯變化。

5 結論

本文采用波數有限元-聲學邊界元法建立了路基上CRTSⅠ型無砟軌道整體結構模型，計算出了鋼軌、軌道板以及軌道整體結構聲輻射特性，并通過選取不同扣件剛度和CA砂漿彈性模量對軌道整體結構的聲輻射特性影響進行研究，總結如下：

(1) 在各自的一階峰值頻率之前，鋼軌、軌道板及軌道整體結構的聲功率級隨著頻率的增大而近似線性增加；在一階峰值頻率之后，聲功率級曲線波動較大且出現多個峰值，其中鋼軌和軌道整體結構聲功率級曲線隨頻率增大呈整體上升趨勢，而軌道板聲功率級曲線隨頻率增大呈整體下降趨勢。

(2) 鋼軌、軌道板對軌道整體結構的聲輻射貢獻量在不同頻段內表現不同。在軌道整體結構一階峰值頻率之前頻段內，軌道板的聲輻射貢獻量占主導，約占89%；在鋼軌一階峰值頻率之后頻段內，鋼軌聲輻射的貢獻量逐漸占主導作用。軌道整體結構二階、三階峰值基本都對應鋼軌的峰值，此時鋼軌聲輻射貢獻量約占54%、75%。

(3) 隨著扣件剛度的增加，鋼軌、軌道整體結構聲功率級的一階峰值頻率明顯增大，但聲功率幅值明顯降低,分別降低了2.57、5.45 dB。扣件剛度主要影響一階峰值頻率之前頻段內軌道整體輻射聲功率。因此，在合理范圍內采用較大剛度的扣件，可以更有效地降低軌道結構輻射噪聲。

(4) 改變CA砂漿層的彈性模量對軌道板輻射聲功率級影響較大，但對軌道整體結構輻射聲功率級影響較小；對軌道板和軌道整體結構聲輻射效率幾乎沒影響。

(5) 本文建立的無砟軌道波數有限元-邊界元振動聲輻射模型，具有良好的計算效率，對分析頻率域內軌道整體及各部分的振動特性與聲輻射特性也有良好的適用性。