關于用留數定理計算實積分問題的教學研究

汪文帥

[摘 要]正確運用留數定理計算實積分就是要理解它的實質并且在計算實積分的過程中構造能夠求解的適當的積分路徑， 然而大量教材或者相關文獻長期有意無意地按照既定思維對某類問題選擇基本固定不變的積分路徑進行求解， 大多數教師在教學中也沒有注意從思想上加以啟迪，這在一定程度上給學生以思維定式.該研究用例證的方法討論了用留數定理計算實積分過程中積分曲線的選擇方法， 從不同的角度體現了求解時選擇積分路徑的核心思想， 對進一步開拓學生思維，使其能夠更為深刻地理解留數定理有積極的意義.

[關鍵詞]實積分;留數定理;積分曲線

[中圖分類號] O175.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）04-0106-03

留數定理是復變函數論的重要組成部分，其在理論物理、流體力學等領域有著廣泛的應用. 其中一個重要的應用是計算某些實函數的積分，如在研究阻尼振動時的積分[1][0+∞sinxxdx]、研究光的衍射時的菲涅爾積分[2][0+∞sinx2dx]等，這些積分用實積分的方法計算幾乎是不可能的，但是轉化為復積分，利用留數定理計算就相對簡單了. 轉化最關鍵的是設法把實變函數的積分與復變函數的封閉曲線積分聯系起來，一般的做法是將定積分的積分區間作為復積分的封閉曲線（積分路徑）的一部分，利用留數定理計算復函數在圍線內的奇點的留數，且要求在除定積分區間的其他積分曲線上，復函數的積分能夠求出.但是在具體的教學過程中，往往構造容易求解的積分路徑， 然而大量教材[3-5]或者相關文獻[6-10]長期有意無意地在選擇相應的積分路徑的過程中都大同小異，按照既定思維對某類問題選擇基本固定不變的積分路徑進行求解.誠然， 在具體求解某些積分值時， 一種方法已經足夠了.事實上， 我們知道， 用留數定理計算實積分的過程中，積分曲線的選取不會影響積分值， 這只是我們通過柯西積分公式以及留數定理所得出的結論， 然而對本部分的認識如果能夠通過課本中的實例加以拓展驗證，則會達到事半功倍的效果. 但是在教學過程中，大多數教師也沒有注意從思想上加以啟迪，這在一定程度上給學生以思維定式. 這樣的教學情境必然會對學生掌握留數定理造成錯誤的認識，讓學生誤認為在用留數定理計算實積分的時候只能選取包含實軸的此類封閉曲線.

我們的要點是讓學生理解留數定理求解題目的本質，單一的求解方法難以拓寬學生的思維， 達到培養其創新思維的目的. 為此， 本文用例證的方法討論了用留數定理計算實積分過程中積分曲線的選擇方法， 從不同的角度體現了求解過程中選擇積分路徑的核心思想， 對進一步開拓學生思維，使其能夠更為深刻理解留數定理有積極的意義.