回歸教材習題 突破“感”“動”共存問題
——以人教版教材3-2第四章第二節課后習題第7題為例

云南 李鑫磊 和永芳

潑墨三千煙火，突破“感”“動”共存。

根據引起磁通量變化的不同方式和不同機理，可以將感應電動勢分為動生電動勢和感生電動勢。能夠正確分析動生電動勢和感生電動勢是正確理解和應用電磁感應定律的重要基礎。當動生電動勢和感生電動勢同時存在時，學生一般都不能夠完全正確地解決問題。筆者根據多年的教學實踐，以人教版3-2第四章(電磁感應)第二節(探究電磁感應的產生條件)的課后習題第7題(課本第9頁)為例來探討動生、感生電動勢共存問題。同一道經典習題可以從多角度進行分析和講解，有助于提高學生理解和解決問題的能力。從不同角度對經典習題深入挖掘來突破高考物理核心考點中的難點問題，從而提高高考復習備考效率。

一、回歸教材習題

【教材課后習題原題】如圖1所示，固定于水平面上的金屬架CDEF處在豎直向下的勻強磁場中，金屬棒MN沿框架以速度v向右做勻速運動。t=0時，磁感應強度為B0，此時MN到達的位置恰好使MDEN構成一個邊長為L的正方形。為使MN棒中不產生感應電流，從t=0開始，磁感應強度B應怎樣隨時間t變化？請推導這種情況下B與t的關系式。

圖1

【解析】要使回路中不產生感應電流，穿過回路的磁通量應保持不變，則有

ΔΦ=0，即Φ1=Φ2①

B0L2=BL(L+vt) ②

【點評】本習題出現在教材3-2第9頁第四章第二節習題第7題，本習題是在探究電磁感應的條件下而設置的，習題中沒有明顯涉及感應電動勢的相關問題，只需要根據磁通量的變化就可以解決問題。本題中磁場隨時間在變化，導體棒也在切割磁感線。是很典型的“感生”“動生”電動勢共存問題。在高考復習備考的時候，我們可以將此題作為感應電動勢問題的母題進行適當的拓展和改編，突破電磁感應中“感生”“動生”共存問題，從而提高復習備考效率。

二、教材習題的拓展和改編

【拓展1】從t=0開始，磁感應強度B隨時間t變化的示意圖為

( )

A

B

C

D

【拓展立意】根據習題的分析解答式可知：B隨t的增大而減小，且減小得越來越慢(斜率是負值，且數值逐漸減小)，可知C正確。目的是培養學生在正確分析物理情景后用數學解決實際物理問題的能力，從而提高學生的核心素養。

【拓展2】(1)若金屬棒的電阻為r，金屬架電阻忽略不計，從t=0時刻起，磁感應強度均勻增加，每秒增加K，同時保持金屬棒靜止，求金屬棒中的感應電流大小和方向。

(2)在(1)情況中，始終保持金屬棒靜止，當t=t1時,需施加的水平方向上垂直于金屬棒的外力F應該為多大？

(3)從t=0時刻起，磁感應強度均勻增加，每秒增加K，金屬棒以速度v向右做勻速直線運動，求t時刻金屬棒中的感應電動勢。

【解析】(1)磁感應強度每秒增加K，則有

B=B0+Kt①

I的方向：N→M(或逆時針方向)。

(2)金屬棒靜止，合力為零。此時安培力等于外力。

F=F安=BIL①

B=B0+Kt1②

根據楞次定律和右手定則可知，磁場變化和金屬棒切割磁感線產生的感應電流方向相同，都是逆時針方向，所以感應電動勢應該是動生電動勢和感生電動勢相加。

=K(L+vt)L+Lv(B0+Kt)

=KL2+B0Lv+2KLvt②

由②可以知道，此時產生的感應電動勢是瞬時感應電動勢，與t時刻對應。

解法二：微元法(在Δt→0時磁通量的變化量ΔΦ=Φ2-Φ1來計算)

Φ1=BS=(B0+Kt)(L+vt)L=B0L2+(B0Lv+KL2)·t+KLvt2①

Φ2=B0L2+(B0Lv+KL2)(t+Δt)+KLv(t+Δt)2②

ΔΦ=Φ2-Φ1=B0L2+(B0Lv+KL2)(t+Δt)+KLv·(t+Δt)2-[B0L2+(B0Lv+KL2)t+KLvt2]=B0LvΔt+2KLvtΔt+KL2Δt+KLvΔt2③

因為Δt→0很小很小，所以可以將KLvΔt項去掉。

Φ=BS=B0L2+(B0Lv+KL2)t+KLvt2①

當時間間隔很短時，t1=t2=t，所以t1+t2=2t

E=B0Lv+KL2+2KLvt④

解法四：求導法(利用數學中的導數知識，磁通量Φ對t求導)

Φ=BS=(B0+Kt)(L+vt)L

【改編后例題】如圖3所示，兩根固定于水平桌面上的光滑平行金屬導軌CD和EF處在豎直向下的勻強磁場中，導軌間距為L，每根導軌每米的電阻為r0，導軌左端用導線連接一阻值為R的電阻，導線部分電阻不計；開始時磁感應強度為B0，從t=0時刻起，磁感應強度均勻增加，每秒增加K。一電阻為r的金屬桿可在導軌上無摩擦地滑動，在滑動的過程中始終保持與導軌垂直并接觸良好，在t=0時刻金屬棒MN的位置恰好使MDEN構成一個邊長為L的正方形。在外力的作用下，金屬桿以恒定的加速度a從靜止開始向右滑動。求：

圖3

(1)在t=t0時刻的感應電流以及此刻金屬棒所受的安培力；

(2)在t=0到t=t0時間間隔內，流過電阻R的電荷量的絕對值。

【解析】(1)根據開始時磁感應強度為B0，從t=0時刻起，磁感應強度每秒均勻增加K。

B=B0+Kt①

t時刻回路中的總電阻為

感應電動勢為

t=t0時刻，金屬棒所受的安培力為

方向：垂直金屬棒向左

從t=0到t=t0磁通量的變化量為

所以從t=0到t=t0通過R的電荷量為

【改編立意】本題是筆者根據2000年上海高考物理第18題，2003年江蘇高考物理第18題，2016年高考新課標3卷第25題改編的。本題解題方法較多，拓展中已經舉例了，在此不再贅述。本題難度比這三份試卷中的高考題要難，旨在讓學生理解和運用規律的同時考查數學計算能力。會用規律的同時也要注意細節問題才能拿到高分，比如本題中的總電阻的求解，磁感應強度隨時間的變化規律，安培力的方向等。本題以金屬棒在變化磁場中的運動為背景，考查學生對法拉第電磁感應定律、楞次定律、右手定則、閉合電路歐姆定律等知識的理解和應用，將多個高考核心考點融合，考查學生理解推理、實際應用和用數學處理物理問題的綜合能力。培養學生建立和應用模型、科學推理和數學應用的科學思維素養。

三、結語