對一道高考題的多解性探討及教學啟示

山東 范青林

圖解法在一題多解中的妙用。

2017年全國卷Ⅰ第21題是物理的壓軸選擇題，對考生分析和解決問題的能力要求較高，是一道有較高區分度的試題。從考試完反饋的結果來看，大部分學生在緊張的考場上并沒有很好的解題思路，最后只能靠“猜”來選擇答案。下面用作圖法針對該題做深入的解析和比較，以期找到最簡潔的解題方法。同時，該題對高中物理教師的教學具有很好的導向作用，那就是在平時的教學中要注重基本知識與基本方法的理解及應用，要使學生具備用數學方法解決物理問題的能力，還應開闊學生的思維，提升解決問題的能力。

一、原題及解法

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圖1

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先增大后減小

【方法一】以重物為研究對象，受重力mg、OM繩上拉力F2、MN上拉力F1，由題意知，三個力的合力始終為零，矢量三角形如圖2所示，F1、F2的夾角為α不變，據此可以想到幾何上一段確定的弦長所對應的圓周角不變，從而在F2轉至水平的過程中，可以畫出矢量三角形在同一外接圓上。由圖可知，MN上的張力F1逐漸增大，OM上的張力F2先增大后減小，所以AD正確，BC錯誤。

圖2

【方法二】以重物為研究對象，受重力mg、OM繩上拉力F2、MN繩上拉力F1，由題意知，兩繩拉力的合力始終與重力mg等大反向。初始狀態時繩MN上拉力大小為零，OM繩上拉力大小為mg。保持兩繩的夾角α不變，兩繩分別逆時針轉動相同的角度，畫出力的平行四邊形，重復上述過程，得到多個力的平行四邊形。由圖3知，繩MN上拉力F1逐漸增大，繩OM上的拉力F2先增大后減小。

圖3

【方法三】以重物為研究對象，受重力mg、OM繩上拉力F2、MN上拉力F1，初始狀態時繩MN上拉力大小為零，OM繩上拉力大小為mg。保持兩繩的夾角α不變，兩繩分別逆時針轉動相同角度的效果，與兩繩不動重力順時針轉動相同的角度一樣，即采用逆向思維。以M點為圓心，重力大小mg為半徑畫圓，畫出轉動過程中多個力的平行四邊形，如圖4所示。由圖可知，繩MN上拉力F1逐漸增大，繩OM上的拉力F2先增大后減小。

圖4

二、分析與評價

在以上三種解法中，方法一利用了數學知識“等弧所對的圓周角相等”，再根據矢量三角形得到兩段繩子拉力的大小變化。此法為大部分教輔資料所采用的參考答案，但從考試反饋的情況來看，大部分學生都沒有采用此方法求解該題，原因在于大部分學生在求解物理試題中很難想到利用相關的數學知識來解決物理問題。方法二為動態平衡中的“圖解法”，此法為高中階段的學生所熟知，并且在解題中經常使用，在解決這道高考試題中也是學生使用最多的方法。方法三采用了“逆向思維法”，對解決該題最為簡潔，但需要學生具備較高的思維能力，一般只有少數尖子生能夠想到此法。

綜上三種方法，教輔資料上廣為流傳的方法一明顯在思維能力的培養和常規方法的訓練上都不是最佳的選擇。對于基礎一般的學生，適合采用常規的“圖解法”，即方法二；對于能力較強的學生，適合采用“逆向思維法”，即方法三。

三、對教學的啟示

從近年的高考物理試題分析來看，試題考查的內容回歸基礎、回歸經典的趨勢非常明顯。本題是一道典型的“動態平衡”問題，但情景比較新穎，與平時訓練的題目相比有所變化，大部分學生都能聯想到方法二(圖解法)去解，但此法對作圖的規范程度要求較高，由于大部分學生平時不注重解題規范，導致該題的正確率并不高。好在本題的解法比較開放，學生可以從不同的角度去思考和解答，在解答該題的過程中，考查了學生的模型構建、數理結合、逆向思維等科學思維的應用能力，另外也培養了學生另辟蹊徑的發散思維，是一道很好的高考題。綜上，該題對我們后期二輪復習的啟示有：

1.注重基本方法的理解與應用

本題主要涉及的物理知識為動態平衡問題、力的矢量三角形法則，很好地體現了基礎性，對物理的基本方法考查要求較高。在對新情景問題的解決過程中，突出學生的理解能力、作圖能力、分析綜合能力等，這就要求我們即使在二輪復習中也要回歸到物理基本知識與基本方法上來，把常規題型和方法弄透、練熟，加強對基本方法的理解與應用的基礎上再進一步提升能力。

2.注重知識的拓展，培養思維能力

本題雖然可以用常規方法(方法二)求解，但作圖較難、用時較多，在高考的考場上此法并不是一個最佳的選擇。最理想的方法應該是方法三，它可以讓考生又快又簡潔地做出正確答案來。但“逆向思維”的應用，需要學生另辟蹊徑地發散思維，對學生的能力要求較高。因此，培養學生多向的、開放的發散性思維能力和創新能力，才是物理課堂的核心任務。在二輪復習中，始終要以“基礎為載體，提升能力為主線”的復習思路。通過對典型例題的多角度分析，然后再進行變式訓練，最終達到一題多解、多題一解的效果。

3.注重數學知識與物理方法的結合，提高核心能力