巧添輔助線求解非線性元件的實際功率

安徽 邵 永

數形結合百般好，相得益彰顯神通。

1.引言

物理函數圖象是運用數學的“形”載著物理的“質”，是一種形象直觀的“語言”，能直觀地描述物理過程、形象地表達物理規律、鮮明地表示物理量之間的關系，利用圖象解題可使解題過程簡化，思路更清晰，比解析法更巧妙、靈活，在有些情況下運用解析法可能無能為力，但是用圖象法則會豁然開朗，因此物理函數圖象一直是物理學中重要的工具，在中學物理中有著廣泛應用，在《考試大綱》中明確要求“能夠根據具體問題列出物理量之間的關系式進行推導和求解，并根據結果得出物理結論，必要時能運用幾何圖形、函數圖象進行表達、分析”。由于非線性元件的阻值隨外界情況的變化而變化，所以它的實際功率很難用解析式準確確定，因此在非線性元件的I-U圖象中添加輔助線，利用圖象法進行求解是一種行之有效的方式。

2.通過添加電源的特性曲線求非線性元件的實際功率

2.1 電路中只有一個非線性元件

【例1】(2013年天津卷，改編)要測繪一個標有“3 V 0.6 W”小燈泡的伏安特性曲線，燈泡兩端的電壓需要由零逐漸增加到3 V，并便于操作。已選用的器材有：

電池組(電動勢為4.5 V，內阻約1 Ω)；

電流表(量程為0～250 mA，內阻約5 Ω)；

電壓表(量程為0～3 V，內阻約3 kΩ)；

開關一個、導線若干。

①實驗中所用的滑動變阻器應選下列中的________(填字母代號)。

A.滑動變阻器(最大阻值20 Ω，額定電流1 A)

B.滑動變阻器(最大阻值1 750 Ω，額定電流0.3 A)

②實驗得到小燈泡的伏安特性曲線如圖1所示。如果將這個小燈泡接到電動勢為1.5 V、內阻為5 Ω的電源兩端，如圖2所示，則小燈泡消耗的功率是________W。

圖1

圖2

【解析】①測繪小燈泡的伏安特性曲線，要求能較大范圍測量數據，所以控制電路部分應用分壓式接法，滑動變阻器應用最大阻值小、額定電流大的A。

②在燈泡的I-U圖上作出電源的特性曲線，交點即為這個電源給這個燈泡供電時的電流和電壓，如圖3所示，此時P燈=IU=0.1×1 W=0.1 W。

圖3

2.2 電路中有兩個相同的非線性元件串聯

如果把與例1中相同的兩個燈泡串聯后直接接在例1中的電源上，每個燈泡的實際功率會是多大呢？

我們可以設每個燈泡兩端電壓為U，通過的電流為I，那么電源兩端電壓為2U，通過的電流為I，由閉合電路歐姆定律得2U=E-Ir。在燈泡的I-U圖上作出此圖象，交點即為這個電源給這兩個燈泡供電時每個燈泡實際獲得的電流和電壓，如圖4所示，此時P燈=IU=0.065×0.6 W=0.039 W。

圖4

2.3 電路中有兩個相同的非線性元件并聯

如果把與例1中相同的兩個燈泡并聯后直接接在例1中的電源上，每個燈泡的實際功率會是多大呢？

我們可以設每個燈泡兩端電壓為U，通過的電流為I，那么電源兩端電壓為U，通過的電流為2I，由閉合電路歐姆定律得U=E-2Ir。在燈泡的I-U圖上作出此圖象，交點即為這個電源給這兩個燈泡供電時每個燈泡實際獲得的電流和電壓，如圖5所示，此時P燈=IU=0.078×0.72 W=0.056 W。

圖5

2.4 電路中有定值電阻和非線性元件混聯

如圖6所示，定值電阻R1=1 Ω，R2=1 Ω，小燈泡的實際功率又會是多大呢？

圖6

圖7

3.通過擬合不同非線性元件總的伏安特性曲線、結合電源的伏安特性曲線求實際功率

3.1 兩個不同的非線性元件并聯

【例2】如圖8所示，兩個電阻1和2，它們的電流隨所加電壓的變化而改變，它們的伏安特性即電壓和電流不成正比關系(這種電阻稱為非線性電阻)，現先將這兩個電阻并聯，然后接在電動勢E=9.0 V、內電阻r0=2.0 Ω的電源上。試利用題給的數據和圖線在題圖中用作圖法讀得所需的數據，進而分別求出電阻1和電阻2上消耗的功率P1和P2。要求：

①在題圖上畫出所作的圖線。(只按所畫圖線評分，不要求寫出畫圖的步驟及理由)

②從圖上讀出所需物理量的數據(取兩位有效數字)，分別是：___________。

③求出電阻R1消耗的功率P1=________，電阻R2消耗的功率P2=________。

圖8

【解析】由于并聯電路兩端電壓相等，所以由圖讀出相同電壓時兩電阻的電流，然后求和，根據電壓和總電流重新描點，用平滑曲線擬合，作電源的特性曲線，交點電壓即為并聯電壓，交點電流即為兩電阻的總電流，根據圖象就可以知道此時各自的電流。

①如圖9所示。

圖9

②并聯電阻兩端的電壓U0=2.3 V，通過電阻1的電流I1=1.2 A，通過電阻2的電流I2=2.2 A。

③2.8 W，5.1 W。

3.2 兩個不同的非線性元件串聯

如果兩電阻串聯接入電路呢？

【解析】由于串聯電路通過的電流相等，所以由圖讀出相同電流下兩電阻的電壓，然后求和，根據電流和總電壓重新描點，用平滑曲線擬合，作電源的特性曲線，交點電流即為串聯電流，交點電壓即為兩電阻的總電壓，根據圖象就可以知道此時各自的電壓。

①如圖10所示。

圖10

②通過串聯電阻的電流I0=1.6 A，電阻1的電壓U1=4.3 V，電阻2的電壓U2=1.3 V。

③6.9 W，2.1 W。

4.通過電源的特性曲線、擬合功率—電流圖象分析最大功率問題

4.1 非線性元件消耗的最大功率問題

【例3】(2017年全國卷Ⅰ)某同學研究小燈泡的伏安特性，所使用的器材有：小燈泡L(額定電壓3.8 V，額定電流0.32 A)；電壓表V(量程3 V，內阻3 kΩ)；電流表A(量程0.5 A，內阻0.5 Ω)；固定電阻R0(阻值1 000 Ω)；滑動變阻器R(阻值0～9.0 Ω)；電源E(電動勢5 V，內阻不計)；開關S；導線若干。

(a)

(b)

①實驗測得該小燈泡伏安特性曲線如圖(a)所示。由實驗曲線可知，隨著電流的增加小燈泡的電阻________(填“增大”“不變”或“減小”)，燈絲的電阻率________(填“增大”“不變”或“減小”)。

②用另一電源E0(電動勢4 V，內阻1.00 Ω)和題給器材連接成圖(b)所示的電路，調節滑動變阻器R的阻值，可以改變小燈泡的實際功率。閉合開關S，在R的變化范圍內，小燈泡的最小功率為________W，最大功率為________W。(結果均保留兩位小數)[(1)略]

【解析】①由圖象可知切線的斜率在減小，故燈泡的電阻隨電流的增大而增大，再由電阻定律知電阻率增大。

②設小燈泡兩端電壓為U，通過的電流為I，那么電源兩端電壓為U+IR，由閉合電路歐姆定律得U+IR=E-Ir，整理得U=E-I(R+r)，可見隨著R的變化，圖象與橫軸交點不變，斜率的絕對值在0.1～1范圍內變化，作出兩條臨界的圖象，交點反映小燈泡實際工作的電壓、電流，由圖得實際功率在0.39～1.17 W范圍內變化，所以小燈泡的最小功率為0.39 W，最大功率為1.17 W。

4.2 滑動變阻器上消耗的最大功率問題

由于高考題中短路電流太大不方便畫圖，所以暫且以電動勢為4 V，內阻為10 Ω進行分析。

如圖12所示，在圖(a)的坐標中作出電源的特性曲線，則相同電流時兩橫坐標數值之差就是滑動變阻器兩端電壓，根據電壓與電流的乘積可以計算出滑動變阻器上消耗的功率。在同一坐標紙中以橫軸為滑動變阻器上消耗的功率，縱軸仍是電流，采用描點、連線的方式擬合出其功率隨電流變化而變化的圖形。由圖可得其最大功率約為0.29 W。

圖12

圖13