弧形槽類連接體模型動量和能量問題探究及分析策略

四川 王 敏

巧用合成分解，突破動量守恒。

教育部考試中心為高考命題“最新定調”，指出物理學科通過將動量和近代物理作為必考內容進行考查，完善學生的知識結構，為學生解決問題提供更多有力工具，有利于學生更好地認識實際現象，理解更深層次問題。動量守恒定律和機械能守恒定律的綜合應用是近年高考的重點，也是學生理解和運用的難點，本文從學生在處理弧形槽類連接體模型時常見的疑惑入手，巧妙運用運動的合成和分解的方法，分析水平方向動量守恒問題，以及從做功和能量的角度分析系統機械能守恒問題，讓學生準確理解和恰當運用。

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圖1

A.小球可能從圓弧軌道上端拋出而不再回到小車

B.小球不可能離開小車水平向左做平拋運動

C.小球不可能離開小車做自由落體運動

D.小球可能離開小車水平向右做平拋運動

【問題探究】1.為什么小車和小球組成的系統動量不守恒，而只是水平方向動量守恒？

3.為什么以小球或小車為研究對象，機械能不守恒？但對二者組成的系統為研究對象，機械能是守恒的？

圖2

圖3

若小球不能拋出，說明小球在豎直方向上的速度為0，那么v1必然為0，因此二者在水平方向應共速，此時兩物體相對速度為0。

3.對小球而言，除重力之外還受到小車對它的支持力FN，其方向與相對速度v1的方向垂直，但與小球的速度v的方向成鈍角(如圖4所示)，則支持力對小球做負功，小球的機械能減少；反作用力FN′(壓力)作用在小車上，其方向與小車速度v2的方向成銳角(如圖5所示)，對小車做正功，小車的機械能增加。所以單獨對小球和小車為研究對象，機械能不守恒。

圖4

圖5

以系統為研究對象，因系統內的彈力在垂直于接觸面方向的相對位移為0，系統內彈力做功代數和為0，故系統機械能守恒?；蛘邚哪芰康霓D化和守恒定律來看，系統沒有其他能量參與，故系統機械能守恒。

【例題解析】由以上分析可知，當小球從圓弧沖出時，小球做斜拋運動(以大地為參考系)，因為水平方向上小球與小車速度相同，于是水平方向上二者在相同的時間內有相同的水平位移，因此小球將會回到小車上，從小車左端離開。

當二者分離時速度分別設為v3、v4，由系統水平方向上動量守恒定律(取水平向右為正方向)可得

mv0=mv3+Mv4①

系統除重力之外沒有其他力做功，故系統機械能守恒

由以上兩式可解得

由③式可知，當m

當m=M時，v3=0，小球做自由落體運動；

當m>M時，v3>0，小球向右做平拋運動。

由以上分析可得，正確答案應為D。

【答案】D

【小試身手】

【重慶巴蜀中學月考試題改編】(多選)如圖6所示，將一光滑的質量為4m、半徑為R的半圓槽置于光滑水平面上，在槽的左側緊挨有一個質量為m的物塊，今讓一質量也為m的小球自左側槽口A的正上方高R處從靜止開始落下，與半圓槽相切自A點進入槽內，則以下結論中正確的是

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圖6

A.小球在半圓槽內第一次由A到最低點B的運動過程中，槽的支持力對小球做負功

B.小球第一次運動到半圓槽的最低點B時，小球與槽的速度大小之比為4∶1

【解析】從A→B的過程中，小球對半圓槽的壓力方向向左下方，所以半圓槽要向左推動物塊一起運動，因此小球參與了兩個運動：一個是沿半圓槽的圓周運動，另一個是與半圓槽一起向左運動，小球所受支持力方向與速度方向并不垂直，而是大于90°，故槽的支持力對小球做負功，A正確；

由小球、半圓槽和物塊組成的系統在水平方向不受外力，故球、半圓槽和物塊在水平方向上動量守恒，取向右為正，則有

mv1-(4m+m)v2=0 ①

解得v1∶v2=5∶1 ②

根據系統機械能守恒得

小球第一次在最低點，由牛頓第二定律得

小球在半圓槽的右側運動時，小球對半圓槽的壓力方向向右下方，半圓槽做減速運動，物塊與半圓槽分離，小球與半圓槽水平方向動量守恒，當小球從右側C點拋出時二者水平方向共速，設為v。取向右為正，有

mv1-4mv2=(m+4m)v⑦

綜合上述分析，正確答案為AD。

【答案】AD

【擴展】小球第一次從半圓槽右端C點拋出時，上升的高度是多少？

【解析】以小球和半圓槽為系統，在從半圓槽B點到小球上升到最高點的過程中，系統機械能守恒，則有

由⑩式可看出h

對以上弧形槽模型的分析方法可擴展到由輕繩連接的連接體機械能守恒和水平方向動量守恒問題，如下：

【模型擴展】如圖7所示，在固定的光滑水平桿(桿足夠長)上，套有一個質量為m=0.5 kg的光滑金屬圓環，輕繩一端拴在環上，另一端系著一個質量為M=1.98 kg的木塊，現有一質量為m0=20 g的子彈以v0=100 m/s的水平速度射入木塊并留在木塊中(不計空氣阻力和子彈與木塊作用的時間，g取10 m/s2)，求：

①圓環、木塊和子彈這個系統損失的機械能；

②木塊所能達到的最大高度。

圖7

【分析】①子彈射穿木塊的過程遵守動量守恒，由動量守恒定律求出子彈穿入木塊后子彈和木塊的共同速度。即可求得系統損失的機械能；

②木塊向右擺動的過程中，圓環向右滑動，此過程中，系統水平方向不受外力，水平方向的動量守恒。當兩者水平速度相同時向右擺到最大高度，由系統的水平方向動量守恒和機械能守恒結合求解木塊向右擺動的最大高度。

【解析】①子彈射入木塊過程，系統的動量守恒，取向右方向為正方向，根據動量守恒定律得

m0v0=(m0+M)v1

機械能只在該過程有損失，損失的機械能為

②木塊(含子彈)在向上擺動過程中，以木塊(含子彈)和圓環組成的系統為研究對象，根據系統水平方向的動量守恒得

(m0+M)v1=(m0+M+m)v2

根據機械能守恒定律有

代入數據可解得h=0.01 m