CT系統旋轉中心及參數標定

□鐘楊梅 趙 玉 張玉林

CT技術是20世紀50～70年代通過核物理、核醫學等領域的一系列研究和實驗發明的。CT系統的參數標定要求根據模板和接收信息。確定3個參數，分別是CT系統旋轉中心在正方形托盤中的位置、探測器單元的間距和X射線旋轉的180個角度。

圖1 模板示意圖(單位:mm)

一、標定模板的相關信息

在正方形托盤上放置兩個均勻固體介質組成的標定模板，模板的幾何信息如圖1所示，相應的數據文件見2017年數學建模比賽附件1和附件2。根據這一模板及其接收信息，確定CT系統旋轉中心在正方形托盤中的位置、探測器單元之間的距離以及該CT系統使用的X射線的180個方向。

二、特殊位置分析

(一)大小圓分離。只要橢圓和小圓在某個投影方向不重疊，根據X射線穿過物體的厚度不同吸收率不同的原理，先獲得小圓投影后的吸收值的最大值，該最大值對應于小圓的直徑即8mm。因為小圓在任何一個方向上面的投影都是一致的，根據附件2的數據尋找能夠單獨反映小圓的吸收數據，計算小圓的直徑8mm對應的吸收傳感器個數，可以初步獲得結果，再考慮因為在與小圓相切的地方沒有吸收，因此實際的傳感器個數與實際的距離需要進一步計算確定，即可確定探測器單元之間的距離。

(二)垂直射入。當垂直射入時，因為橢圓和小圓是均勻的，所以穿過橢圓長軸吸收的光能量是最多的，根據附件2的數據，找到數據的最大能量數據，并且找到最左邊的那個傳感器序號，最右邊傳感器序號，因此，得到總的傳感器個數，改組數據的接收傳感器陣列在最左邊，并且其法線與x軸的夾角為180°。中心傳于180°的接收位置，根據偏移的傳感器個數就能得到旋轉中心縱坐標。

(三)水平射入。當水平射入時，穿過橢圓短軸吸收的能量是最少的，但疊加了小圓吸收的能量，所以能量吸收會出現突起，根據附件2數據，找到這個突起數據，計算出旋轉中心的橫坐標。

三、相關原理及計算

(一)探測器之間的距離計算。假設整個系統的中心在正方形托盤的中心，設為系統的幾何中心，標記為(x0,y0)，假設探測器之間的距離為d毫米。

圖2 附件2中的第一組數據，包含512個傳感器的數據

圖3 X光線與小圓的關系圖

如圖2所示，這個方向上獲得的512個傳感器數據可以看出，橢圓和小圓是分離開來的，因此可以根據類似于這樣的數據來計算傳感器的間距d。首先計算出X射線照射到小圓上的投影值，本例計數為29個傳感器數據。如圖3所示，但是在這29個傳感器數據中，有一個值最大為14.1769，這個位置剛好對應于小圓的直徑位置，而直徑為8mm，因此，單位長度的數值為14.1769/8,可以根據小圓的第1個傳感器數據和第29個傳感器數據計算出對應小圓的那兩條弦的長度，根據勾股定理，29個傳感器之間的距離為l1+l2，后面通過計算10組數據，求平均獲得為7.7504mm，因此這里面包含有29個探測器，距離有28個，因此28傳感器之間的距離為d=0.2768mm。

(二)CT旋轉中心。首先假定旋轉中心為探測系統的幾何中心O，以橢圓長軸方向與短軸方向建立坐標系。探測器平面上的中心點的點位P0，點位差即探測器數目為ΔP，ΔP的正負代表平移的方向。

當探測器平面水平放置時結合附件1與附件2確定探測器上的具體點位P1，x軸方向平移了ΔP1=P1-P0個探測器。整個發射器和探測系統經過逆時針旋轉90°后，在垂直方向上結合附件1與附件2確定垂直方向上探測器的具體點位P2。y軸方向平移了ΔP2=P2-P0個探測器。

探測器單元之間的距離為d，平移距離l1=P1-Pd，垂直距離l2=P2-Pd，根據水平和垂直方向上探測器平面中心位置的偏移來確定旋轉中心的位置(a,b)。其中a=l1，b=l2。

根據附件2的數據，第61組數據的最大能量數據為67.3529，并且最左邊的那個傳感器序號為90號，最右邊傳感器序號為378，因此，總的傳感器數為289個，而橢圓的y方向的長軸為2b=80mm，約為289*0.2768=79.9952，可以認為第61組數據的接收傳感器陣列在最左邊，并且其法線與x軸的夾角為180°。90號傳感器與378號傳感器的中心是第234個傳感器，而處于180°的接收位置，如果CT系統中心沒有偏移，那么就應該是第255或者第256號傳感器接收到這來自穿射橢圓和小圓中心的X射線過來的能量。因此，傳感器相差256-234=22個，或者255-234=21個，根據圖解，可以獲得這個21或者22就是旋轉中心的縱坐標b，因此b的范圍為5.5360mm～5.8128mm之間，取22個，即b=5.8128mm。

同理，尋找水平射入位置來計算旋轉中心的橫坐標，考慮到附件2中第151組數據，發現，最左的傳感器與最右邊的傳感器跨度為232個，而橢圓的中心差異為32個傳感器距離，這剛好是旋轉中心橫坐標(32-1)*0.2768=8.5808mm，因橢圓中心O對應過去的傳感器序號224比理想的256小，說明旋轉中心的橫坐標在左半平面，因此a=-8.5808mm。

圖4 旋轉角度建模示意圖

(三)CT的180個射線方向。如圖4所示，若α是附件2第i組數據的探測器的法線與x軸正方向的夾角，確定后該角度后X射線入射方向即定了。經過線性擬合得到旋轉次數與旋轉方向的關系θ=1.0060k+118.5302，其θ0=118.5302且每次以1.0060°線性變化。

(1)

N點得坐標為：N(xN,yN)，且xN=a+Lcosα,yN=b+Lsinα；

P點得坐標為：P(xP,yP)，且xP=xN-LPNcosθ,yP=yN-LPNsinθ；

Q點得坐標為：Q(xQ,yQ)，且xQ=xN+LNQcosθ,yQ=xN+LNQ；

其中，LPQ是最左邊與非0值間傳感器之間的距離；LPN是最右邊與非0值傳感器224之間的距離；同理是最右邊的那個非零值傳感器到N點的距離LNQ。設α為所求角，過P點與Q點的切線L1與L2必定與橢圓或小圓相外切。則有，過P點L1的方程：

y-yP=tanα(x-xP)

(2)

過Q點L2的方程：

y-yQ=tanα(x-xQ)

(3)

把附件2第1組數據代入后，計算獲得的結果。計算的誤差設置為0.3mm，也就是2個傳感器距離內。這時獲得的角度為118.4°，顯然旋轉角度為118.4°-90°為28.4°。為了統一方便，這里只求解接收陣列的法線的傾斜角度。計算獲得第61組數據，角度為179.9°，第151組數據的角度為270.4°，以及最后一組數據的結果為298.4°。

(四)總結。本文針對矯正問題建立了實際投影數據與理想投影數據之間的轉化模型，算法表明本文獲得了比較滿意的建模結果。稍微不足之處是，因為圓形出現在了模板上面，它對于尋找旋轉中心和尋找旋轉角度幫助不是非常大，這導致模型的穩定性和準確性難以有高的保障，可采用兩個橢圓的矯正模板來改善模型的精度和穩定性問題。