用分形的反向規律認識四色地圖定理

鐘濤

摘 要：分形理論是近代圖論方面新興發展起來的新理論，如果把分形的有限變化與無限的空間組合在一起就能得到一種新的規律，讓復雜的問題變得簡單。文章應用分形及其在無限平面空間中的反向結構討論四色地圖問題，并得出相關結論。

關鍵詞：四色地圖 分形 反向思維

中圖分類號：O157.6 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2019）01（c）-0254-02

如何用反向分形規律認識四色地圖定理？

四色地圖定理是在繪制世界地圖時，總結了一個經驗，只需要4種顏色就可以區分不同國家。這是否是一個普遍規律？在數學領域已經給出嚴格的證明，理解這個證明有相當大的難度。那是否能夠降低難度，簡化證明呢？如果把四色地圖定理看成平面空間的分形分割，涂色是這個分形的反向規律，對四色定理的認識難度就可以大大降低。

1 第一類反向分形規律

先來構造第一類簡單的平面分形，第一步用一根直線分割無限的平面空間。

分形的第二步，繼續用平行的直線在1、2空間繼續分割。

這樣的分割可以一直下去，那么應如何認識其中的填色規律呢？首先可在第一步與第二步之間找到以下規律。

假設平面空間2在第2步分割被成3、4，那么可以找到這樣的規律：平面空間1、2因為相鄰，所以需要兩種顏色區分。當平面空間2變化為3、4時，3繼承了2的性質與1相鄰。4沒有繼承相鄰性質，如果把2看成1的反向不同性，則4因為與2不同而繼承了1的反向不同性，變成與1相同的一類事物，因此可以用同一種顏色。

因此，如果把平行直線看成平面的第一類分形，得到的反向分形規律就是不斷地循環重復1、2的相鄰與不相鄰性質，只要用兩種顏色就可以區分所有分形得到的空間。由此進一步可以推論：無論曲線、折線，只要不出現交點，保持分形空間線相鄰，則這個規律繼續適用。

2 第二類反向分形規律

要在無限的平面空間找到區分不同國家的規律，即要相同屬性的基本形貌是平面。四色地圖問題是平面結構的屬性關系問題，不同的關系需要不同的顏色區分。無限平面有兩種基本結構：開放面和封閉面，它們之間的關系全息分類如下。

（1）在平面上，二屬性共線。如圖1所示（虛線表示開放面，下同）。

從開放面1出發與開放面2共線，相鄰關系需要兩種顏色區分。開放面3是開放面1非共線面，重復開放面1的屬性特征，即重復開放面1的顏色，以此類推，在這種結構下無論數量多少只需要兩種顏色。

（2）在平面上，三屬性共點。從開放面1出發，與開放面2、3共點，需要3種顏色區分，如圖2所示。

隨著量值的增加，開放面4重復開放面1的屬性特征，即重復開放面1的顏色，以此類推，在這種結構下無論數量多少最多需要3種顏色，如圖3所示。

（3）前面一、二兩種結構組合如圖4所示。隨著量值的增加，不共點只共線的開放面2，重復第二種結構第二（或三）開放面的性質。既不共點也不共線的開放面3，重復開放面1的屬性特征，即重復開放面1的顏色，以此類推，在這種結構下無論數量多少則最多需要3種顏色。

同樣新增加的只與開放面1共點的開放面，重復開放面1的屬性特征，即重復開放面1的顏色，以此類推，在這種結構下無論數量多少則最多需要3種顏色。

（4）在屬性范疇把兩點一線的形狀定義為節。封閉面與開放面共線的差異在于共節。因此需要增加一顏色區分開放面1與封閉面一的共節關系。在把開放面1和封閉面一組合為共同體作為一個新的起點后，開放面的演繹就與前面一、二、三的結構相同，如圖5所示。

同樣不考慮外部的開發面，從封閉面一出發，封閉面的變化也與前面一、二、三的結構相同。開放面與封閉面同步變化演繹，與組合體（1、一）非共線、非共點、非節的開放面或封閉面就是1或一屬性特征重復的新起點。以此類推，在這種結構下無論數量多少則最多需要4種顏色。

3 結論

綜上所述，可得出以下結論：在同一平面內，全息結構的屬性關系只有3種，即共線、共節、共點，所以只需要4種顏色區分。并得出推論：把平面進行彎曲，只要不封閉，這個結論同樣適用。

4 結語

道德經說：三十輻同一轂，當其無，有車之用也。分形結構為有，平面空間的反向結構為無，其用超過分形。四色地圖問題中點、線、面的分形結構為有，反向結構區域的相鄰與不相鄰關系、封閉與開放關系為無，其用，成四色定理。

參考文獻

[1] 張士慶，張號.四色問題的直觀幾何論證及單純性地圖四色定理[J].圖學學報，2013（5）：46-50.

[2] 肯尼思·法爾科內，著.分形幾何——數學基礎及應用[M].曾文曲，劉世耀，戴連貴，譯.北京：人民郵電出版社，1991.