丟番圖巧用“平方差公式”

◎唐榮喜

丟番圖是古希臘的重要學者和數學家，是代數學的創始人之一，對算術理論有著深入的研究。丟番圖所著的《算術》完全脫離了幾何形式，在希臘數學中獨樹一幟。《算術》是一本劃時代的著作，它在歷史上影響之大，可以和歐幾里得的《幾何原本》相媲美。

《算術》從純分析的角度處理數論問題，這是希臘算術與代數的較高境界。丟番圖的《算術》是研究數論的，它討論了一次、二次以及個別的三次方程，還有大量的不定方程。現在對于具有整數系數的不定方程，如果只考慮其整數解，這類方程就叫做“丟番圖方程”，它是數論的一個分支。但丟番圖并不要求解是正整數，而是要求解為正有理數。丟番圖在《算術》中已經有意識地運用“平方差公式”解決相關的二次方程和不定方程問題，下面舉例加以說明。

1.已知兩數之和（差）與積，求這兩個數。

公元3世紀，丟番圖在其《算術》第1卷第27題中，運用古巴比倫人的“和差術”，通過“平方差公式”來解答這個問題。

假如已知兩數之和為20、積為96，求這兩個數。其解法用我們現在的數學語言敘述為：假設所求兩數分別為10+x和10-x，則（10+x）·（10-x）=96，根據“平方差公式”得100-x2=96，故x2=4，從而求得x=2（當時人們認識的數還僅限于正有理數）。于是，所求兩數分別為10+2和10-2，即12和8。

類似地，假如已知兩數之差為8、積為65，求這兩個數。其解題方法與上述方法相同，假設所求兩數分別為x+4和x-4，則（x+4）（x-4）=65，根據“平方差公式”得x2-16=65，故x2=81，從而求得x=9。于是，所求兩數分別為9+4和9-4，即13和5。

2.兩個已知數各加上同一個數，使所得的和均為平方數，求所加的數是多少。

丟番圖運用“平方差公式”解決上述不定方程問題，在其《算術》第2卷第11題中對此類問題給出了詳盡的解答。

其解法用我們現在的數學語言敘述為：假如已知兩數為13和24，把13和24分別加上同一個數，使所得的和均為平方數，求所加的數是多少。假設所加的數為x，不妨設13+x=a2①，24+x=b2②，②-①得b2-a2=11。根據“平方差公式”得（b+a）（b-a）=11，如果取b+a=11，b-a=1，由此解得b=6，a=5，將a=5代入①，從而求得x=12，故所加的數可以是12，至此得到問題的一個解。

乘法公式主要用于乘法運算和因式分解，而今天所呈現的簡潔形式則應歸功于數學符號化的進程，直到公元16世紀，法國數學家韋達用字母表示“平方差公式”時，它的對稱美和簡潔美才呈現在我們面前。雖然古人沒有能用今天這么簡潔的形式來表示“平方差公式”，但這并沒有影響古人對“平方差公式”結構和算理上的認識。事實上，早在數學符號引進之前的大約1300年間，數學家們就已經發現了一些整式乘法的運算規律，并在具體問題解決中加以廣泛的應用。