丟番圖巧用“平方差公式”

◎唐榮喜

丟番圖是古希臘的重要學(xué)者和數(shù)學(xué)家，是代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人之一，對(duì)算術(shù)理論有著深入的研究。丟番圖所著的《算術(shù)》完全脫離了幾何形式，在希臘數(shù)學(xué)中獨(dú)樹(shù)一幟?！端阈g(shù)》是一本劃時(shí)代的著作，它在歷史上影響之大，可以和歐幾里得的《幾何原本》相媲美。

《算術(shù)》從純分析的角度處理數(shù)論問(wèn)題，這是希臘算術(shù)與代數(shù)的較高境界。丟番圖的《算術(shù)》是研究數(shù)論的，它討論了一次、二次以及個(gè)別的三次方程，還有大量的不定方程?，F(xiàn)在對(duì)于具有整數(shù)系數(shù)的不定方程，如果只考慮其整數(shù)解，這類(lèi)方程就叫做“丟番圖方程”，它是數(shù)論的一個(gè)分支。但丟番圖并不要求解是正整數(shù)，而是要求解為正有理數(shù)。丟番圖在《算術(shù)》中已經(jīng)有意識(shí)地運(yùn)用“平方差公式”解決相關(guān)的二次方程和不定方程問(wèn)題，下面舉例加以說(shuō)明。

1.已知兩數(shù)之和（差）與積，求這兩個(gè)數(shù)。

公元3世紀(jì)，丟番圖在其《算術(shù)》第1卷第27題中，運(yùn)用古巴比倫人的“和差術(shù)”，通過(guò)“平方差公式”來(lái)解答這個(gè)問(wèn)題。

假如已知兩數(shù)之和為20、積為96，求這兩個(gè)數(shù)。其解法用我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述為：假設(shè)所求兩數(shù)分別為10+x和10-x，則（10+x）·（10-x）=96，根據(jù)“平方差公式”得100-x2=96，故x2=4，從而求得x=2（當(dāng)時(shí)人們認(rèn)識(shí)的數(shù)還僅限于正有理數(shù)）。于是，所求兩數(shù)分別為10+2和10-2，即12和8。

類(lèi)似地，假如已知兩數(shù)之差為8、積為65，求這兩個(gè)數(shù)。其解題方法與上述方法相同，假設(shè)所求兩數(shù)分別為x+4和x-4，則（x+4）（x-4）=65，根據(jù)“平方差公式”得x2-16=65，故x2=81，從而求得x=9。于是，所求兩數(shù)分別為9+4和9-4，即13和5。

2.兩個(gè)已知數(shù)各加上同一個(gè)數(shù)，使所得的和均為平方數(shù)，求所加的數(shù)是多少。

丟番圖運(yùn)用“平方差公式”解決上述不定方程問(wèn)題，在其《算術(shù)》第2卷第11題中對(duì)此類(lèi)問(wèn)題給出了詳盡的解答。

其解法用我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述為：假如已知兩數(shù)為13和24，把13和24分別加上同一個(gè)數(shù)，使所得的和均為平方數(shù)，求所加的數(shù)是多少。假設(shè)所加的數(shù)為x，不妨設(shè)13+x=a2①，24+x=b2②，②-①得b2-a2=11。根據(jù)“平方差公式”得（b+a）（b-a）=11，如果取b+a=11，b-a=1，由此解得b=6，a=5，將a=5代入①，從而求得x=12，故所加的數(shù)可以是12，至此得到問(wèn)題的一個(gè)解。

乘法公式主要用于乘法運(yùn)算和因式分解，而今天所呈現(xiàn)的簡(jiǎn)潔形式則應(yīng)歸功于數(shù)學(xué)符號(hào)化的進(jìn)程，直到公元16世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)用字母表示“平方差公式”時(shí)，它的對(duì)稱(chēng)美和簡(jiǎn)潔美才呈現(xiàn)在我們面前。雖然古人沒(méi)有能用今天這么簡(jiǎn)潔的形式來(lái)表示“平方差公式”，但這并沒(méi)有影響古人對(duì)“平方差公式”結(jié)構(gòu)和算理上的認(rèn)識(shí)。事實(shí)上，早在數(shù)學(xué)符號(hào)引進(jìn)之前的大約1300年間，數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些整式乘法的運(yùn)算規(guī)律，并在具體問(wèn)題解決中加以廣泛的應(yīng)用。