三角函數(shù)及其圖像在物理學(xué)中的應(yīng)用

溫昊翔

（惠州市榕城中學(xué)，廣東 惠州 516000）

前言：三角函數(shù)的知識被廣泛的應(yīng)用在了物理學(xué)當(dāng)中，這是由于物理學(xué)研究的對象大都是矢量，運算矢量使不僅要考慮到其大小，還要考慮到適量的方向，這時就必須使用到三角函數(shù)知識了。較為常見的處理適量的方法就是正交分解或三角形法則，這些法則都需要三角函數(shù)知識理論的支撐。

一、簡述三角函數(shù)及其圖像

較為常見的三角函數(shù)如下：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx。公式中的自變量的單位是弧度[1]。在學(xué)習(xí)物理知識與解析物理題的過程當(dāng)中，經(jīng)常會用到三角函數(shù)的知識，尤其是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)。下面對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和它們的圖像進行解析。

正弦函數(shù)與余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，并且周期都是2π。正弦函數(shù)的圖像如圖一所示，是奇函數(shù)，其在坐標(biāo)系內(nèi)的圖形以原點為對稱。正弦函數(shù)的圖像如圖二所示，是偶函數(shù)，其在坐標(biāo)系內(nèi)的圖像以y軸為對稱。

圖一：物體的動態(tài)平衡

圖二：土塊勻速運動

二、三角函數(shù)及其圖像在物理學(xué)科當(dāng)中的應(yīng)用

三角函數(shù)闡述除了直角三角形當(dāng)中三個邊與各個角存在的關(guān)系，為物理量之間創(chuàng)造了關(guān)聯(lián)[2]。因此我們在解題的過程當(dāng)中，一般都是以函數(shù)具有的特征、變化規(guī)律的知識為基礎(chǔ)進行運算，得出物理量的變化趨勢、求解值等。

以幾道例題作為例子，闡述三角函數(shù)及其圖像在物理學(xué)科當(dāng)中的應(yīng)用[3]。

1、基于函數(shù)的增減性，分析物理量產(chǎn)生的變化

例1一個物體的質(zhì)量為m，m被輕繩AB懸掛在天花板之上。我們此時用水平向左的力F來緩緩地拉動輕繩的中點O，情況如圖三所示。用Y代表繩子OA段受到的拉力大小，在O點在移動的過程當(dāng)中，F(xiàn)于Y產(chǎn)生了怎樣的變化？

習(xí)題解析：把OA段與豎直方向的夾角設(shè)為α，重力加速度是g，則平衡條件如下所示：

角度α隨著O點的移動而不斷增大，tanα是增函數(shù)，F(xiàn)呈增大趨勢；cosα是減函數(shù)，Y呈增大趨勢。

總結(jié)：在解析諸如此類的動態(tài)平衡問題時，要以函數(shù)的增減性為基礎(chǔ)，來判斷力產(chǎn)生了怎樣的變化，是最為基礎(chǔ)的力學(xué)問題之一，并且，也可以使用矢量圖來觀察力的變化。

2、基于函數(shù)的變化規(guī)律計算物理量的最值

例2 如圖四所示，一個質(zhì)量為m的小方塊以靜止?fàn)顟B(tài)在水平面上，以一個大小為F的恒力拉它，讓方塊在水平面上做勻速直線運動。設(shè)F與水平面的夾角為θ，在夾角θ逐漸向90度變化時，F(xiàn)會發(fā)生怎樣的變化？（物體與水平面之間的摩擦系數(shù)已知，為μ）

習(xí)題解析：力的平衡條件如下：

Fcosθ=μ（mg-Fsinθ）

總結(jié)：例如acosθ+bsinθ此類的三角函數(shù)，把a、b作為直角邊構(gòu)造出一個輔助三角形，將其轉(zhuǎn)化為sin（α+θ）或者是cos（α+θ），然后對極值進行運算。

3、根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進行近似計算

圖三：光路圖

例3 如圖所示，一個玻璃球內(nèi)裝滿了水，其厚度可以忽略不計，設(shè)該球體的直徑d為12cm，已知水的折射率求沿著水平方向觀察該球體的直徑數(shù)值。

習(xí)題解析：人的視線沿著球體的直徑方向看去，以肉眼不能夠目測其長度。也就是說，用人眼來對直徑進行測量時，得到的結(jié)果是不準(zhǔn)確的，會與實際數(shù)值發(fā)生一定的偏差。從圖中我們可以看出，P點與B點的距離十分進，從A點射出的光纖，以P點為折射點折射到空氣當(dāng)中，PC這條線是折射到空氣當(dāng)中的光纖，人眼是逆著PC線觀察到的A點，也就是A’點，也就是說A’B的距離就是我們要進行計算的。

該題中的法線也就是OP線，PB長度較短，則角i、r與α的角度都很小。基于幾何知識，α+（i-r）=r，可以得出α=2r-i。PB=ABsinr，因此PB=A’Btanα。基于折射定律，sini=nsinr，在角i、r數(shù)值小時，可以得到i=nr。這樣得出水平方向看球體的直徑公式如下：

在帶入已知的直徑12厘米數(shù)據(jù)等，求得A’B的數(shù)值為18厘米。

總結(jié)：我們在進行物理習(xí)題的解析式，運用三角函數(shù)，要合理的進行近似與取舍。

結(jié)語：綜上所述，我們在進行日常物理習(xí)題的計算當(dāng)中，經(jīng)常會應(yīng)用到數(shù)學(xué)知識點，尤其是三角函數(shù)的知識，在解題過程中能夠得到廣泛的使用。本文主要介紹了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在物理學(xué)當(dāng)中的應(yīng)用。經(jīng)過對例題進行解析和判斷，證明了三角函數(shù)在解析物理習(xí)題時有著重要的作用。