反電動勢對無擾載荷航天器精確定向的影響*

孔憲仁，武 晨，李海勤，楊震國

(哈爾濱工業大學 衛星技術研究所， 黑龍江 哈爾濱 150080)

超高精度是未來航天器必須具備的性能之一，而高頻微振動將對航天器精度性能提出巨大挑戰。文獻[1]敘述了當前解決高頻微振動問題的主要方法，但所述方法均存在各自的局限性，鑒于此，Pedreiro[2]提出了一種稱為無擾載荷(Disturbance Free Payload，DFP)的新型航天器結構，該結構將載荷模塊(Payload Module，PM)與支持模塊(Support Module，SM)通過DFP接口連接，既可實現PM的六自由度控制又可無機械接觸連接PM與SM，理論上可完全消除振源部件對有效載荷的影響。實際應用中，PM與SM之間存在的連接纜線和非接觸式作動器的反電動勢均會引起耦合，影響PM的性能。

文獻[3-4]通過建立DFP結構形式的下一代空間望遠鏡[5]的二維實驗模型說明了反電動勢是PM與SM之間的主要耦合源，而連接纜線對PM的影響較小。Pedreiro等[6]還將DFP結構應用于敏捷航天器中，將反電動勢考慮為主要耦合源，并分析了連接纜線粗細對PM的影響。Trankle等[7]建立了DFP航天器的仿真模型，考慮反電動勢和DFP接口剛度，設計了DFP航天器的控制系統。Xu等[8]采用牛頓歐拉方法推導了DFP航天器的接口動力學模型，并采用H∞魯棒控制方法設計了姿態控制系統。龐巖等[9]考慮DFP航天器中的柔性連接纜線，建立了其動力學模型，并由此分析對PM性能的影響。Regehr[10]分析了纜線引起的振動從SM到PM的傳遞特性。孔憲仁等[11]建立了PM與SM之間的相對運動動力學模型，分析了PM與SM之間的相對運動。Wu等[12]考慮非接觸式作動器反電動勢和連接纜線剛度，建立了DFP航天器的耦合動力學模型，分析了耦合特性。上述研究結果表明，只要改變連接纜線的剛度避開振源的頻率范圍，即可消除對PM的影響，而非接觸式作動器反電動勢是必須考慮的耦合源。

本文針對具有六支桿立方體構型接口的DFP航天器，考慮非接觸式作動器反電動勢，結合拉格朗日方程和牛頓歐拉方法給出PM與SM之間的耦合動力學模型，將SM上飛輪動靜不平衡引起的諧振考慮為干擾力矩，分析了非接觸式作動器反電動勢對PM精確定向的影響。

1 DFP航天器概述

圖1所示為DFP航天器結構。DFP接口主要包括非接觸式作動器、PM平臺和SM平臺，PM與SM分別安裝于PM平臺和SM平臺上。典型的DFP接口有六桿和八桿構型[13]，針對圖2所示六支桿立方體構型[14]DFP接口展開研究。Li(i=1,2,3,4,5,6)表示接口中的6個支桿，支桿一端與SM平臺連接于點s12，s34和s56，另一端與PM平臺連接于點p61，p23和p45，非接觸式作動器安裝于支桿上，如圖3所示。

圖1 DFP航天器結構Fig.1 Configuration of DFP spacecraft

圖2 DFP接口構型Fig.2 Architecture of DFP-interface

圖3 非接觸式作動器結構Fig.3 Configuration of the non-contact actuator

2 DFP接口動力學模型

針對六支桿立方體構型DFP接口，其動力學建模方法有多種：牛頓歐拉方法[15]、拉格朗日方法[16]、凱恩方法[17-19]、廣義動量法[20]、虛功原理[21]和旋轉理論[22]。同時考慮PM平臺與SM平臺的運動，采用文獻[23]中所述方法建立DFP接口動力學模型。建立DFP接口動力學模型之前，需明確以下坐標系：慣性坐標系、PM平臺坐標系和SM平臺坐標系，分別對應圖4中的O-XYZ，P-XPYPZP和S-XSYSZS。

圖4 位置矢量Fig.4 Position vectors

2.1 單支桿運動學

由圖4可知，pi和si在慣性系下的位置矢量為：

(1)

則pi和si的速度和加速度可分別表示為：

(2)

(3)

(4)

(5)

對式(4)點乘ni可得支桿滑動速度的標量：

(6)

式(6)用矩陣表示為：

(7)

(8)

由式(6)可得支桿滑動速度為：

(9)

對式(4)叉乘ni可得支桿轉動角速度為：

(10)

設上下支桿質心位置矢量分別為rui和rli。

(11)

其中：lli為si指向下支桿質心的矢量；lui為上支桿質心指向pi的矢量。上支桿質心速度為：

(12)

2.2 支桿連接點約束力

設rpi為廣義速度，則支桿i的動能為：

(13)

式中，mui和Iui分別為上支桿的質量和慣量。

(14)

其中，E表示單位矩陣。

拉格朗日方程可表示為：

(15)

式中，Qi表示廣義力。

將式(13)代入式(15)，設：

(16)

(17)

Qi包括在點pi處的約束力fsi和非接觸式作動器輸出力fi。由于非接觸式作動器只提供沿桿方向的作用力，即fi=nifi，則fsi可表示為：

fsi=Qi-nifi

(18)

將式(17)代入式(18)可得：

(19)

2.3 PM平臺動力學模型

PM質心一般不與PM平臺質心重合，其為：

r=rP+rco

(20)

式中，rco為PM平臺質心到PM質心的位置矢量在慣性系下的表示。

式(20)的二階導數為：

(21)

考慮6支桿作用，PM的牛頓歐拉方程為：

(22)

式中，fext和Text為額外力與額外力矩，m和I分別為PM的質量和轉動慣量。 將式(19)～(21)代入式(22)可得PM平臺的動力學模型：

(23)

F=[f1f2f3f4f5f6]T

3 耦合動力學模型

3.1 非接觸式作動器作用力模型

非接觸式作動器為音圈電機，其輸出力為：

fi=keiit

(24)

式中，kei為音圈電機的電磁力常數，it為線圈中的電流。

由基爾霍夫電壓定律可得：

(25)

式中，u為電壓，L為電感，R為電阻，kbi為反電動勢，vi為線圈相對于鐵磁體的相對運動速度。

將式(24)和式(25)進行拉氏變換可得：

(26)

式中，s表示拉普拉斯算子，Fci(s)和Fmi(s)分別為控制力和反電動勢力的拉氏變換。

由于L一般較小，Fmi(s)可簡化為：

(27)

將式(27)代入式(26)并進行拉氏反變換可得：

fi=fci+fmi

(28)

其中，fci為控制力，fmi為反電動勢力，kmi為反電動勢系數。

(29)

由于非接觸式作動器的線圈和鐵磁體分別與點si和pi剛性連接，fmi又可表示為：

(30)

則整個DFP接口非接觸式作動器輸出力為：

(31)

F=[f1f2f3f4f5f6]T

Fc=[fc1fc2fc3fc4fc5fc6]T

Km=diag(km1km2km3km4km5km6)

3.2 耦合動力學方程

將式(31)代入式(23)，不考慮額外力，可得PM平臺與SM平臺之間的耦合動力學模型：

(32)

4 PM精確定向性能

通過數值仿真分析非接觸式作動器的反電動勢對PM的性能影響。DFP航天器結構參數如表1 所示。

表1 DFP航天器結構參數

SM上飛輪三正交安裝，則動靜不平衡引起的振動干擾力矩數學模型如式(33)[24]所示。式中：Ck表示飛輪動靜不平衡系數；ωx，ωy和ωz表示三個飛輪的轉速；K表示諧波數；hk表示第k個諧波頻率與飛輪轉速之比；TIDx，TIDy和TIDz表示飛輪產生的振動干擾力矩，模型參數如表2所示。

(33)

4.1 飛輪動靜不平衡干擾力矩

在定向過程中，飛輪轉速會一直增大直到飛輪飽和，之后通過卸載，轉速減小。根據式(33)可知，在該過程中，動靜不平衡引起的干擾力矩也先逐漸增大后逐漸減小。整個過程動靜不平衡引起的干擾力矩如圖5所示。

圖5 干擾力矩Fig.5 Disturbance torque

4.2 SM姿態

SM姿態動力學為：

(34)

其中：[φS,θS,ψS]T=ζS為姿態角；ω0為軌道角速度；[TSx,TSy,TSz]T=TS為所受力矩，hx、hy和hz分別為對應方向上飛輪的角動量。

采用比例微分控制設計SM的姿態控制律。

(35)

圖6所示為在DFP航天器定向狀態下SM的姿態角。由圖可知，飛輪動靜不平衡引起的干擾力矩與飛輪轉速成正比例關系，飛輪轉速越大，干擾力矩越大，對SM的指向精度影響越大。

圖6 SM姿態角Fig.6 Attitude angular of SM

4.3 PM姿態

根據PM平臺與SM平臺的耦合動力學，由SM的姿態角可計算獲得PM的姿態角。反電動勢系數分別為1 N·s·m-1，5 N·s·m-1，15 N·s·m-1時PM的姿態角如圖7～9所示。

圖7 反電動勢系數為1 N·s·m-1時PM的姿態角Fig.7 Attitude angular of PM with the back-EMF coefficient 1 N·s·m-1

圖8 反電動勢系數為5 N·s·m-1時PM的姿態角Fig.8 Attitude angular of PM with the back-EMF coefficient 5 N·s·m-1

圖9 反電動勢系數為15 N·s·m-1時PM的姿態角Fig.9 Attitude angular of PM with the back-EMF coefficient 15 N·s·m-1

由圖7～9可知，反電動勢系數越大，PM的定向精度越差，這說明非接觸式作動器反電動勢對PM的影響隨反電動勢系數的增大而增大。此外，對于六支桿立方體構型的DFP接口，反電動勢對偏航角ψP的影響不明顯，而對滾轉角φP和俯仰角θP的影響較為明顯。

5 結論

本文針對DFP航天器，考慮六支桿立方體構型DFP接口，結合拉格朗日方程和牛頓歐拉方法建立了PM平臺動力學模型。給出了非接觸式作動器輸出力模型，并將其引入PM平臺動力學模型，給出了考慮非接觸式作動器反電動勢的耦合動力學模型。將飛輪動靜不平衡引起的諧振作為干擾力矩，建立了DFP航天器在軌定向狀態的Simulink仿真模型，給出了定向狀態下飛輪動靜不平衡引起的干擾力矩以及SM的姿態角，并分析了反電動勢系數分別為1 N·s·m-1，5 N·s·m-1和15 N·s·m-1時PM的定向精度。仿真結果表明，反電動勢系數越大，干擾力矩對PM的影響越大，PM精確定向精度越低，對DFP航天器實際應用中非接觸式作動器選型具有理論指導意義。此外，耦合動力學模型可考慮用于PM精確定向控制器的設計。