數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用分析

黃天宇

【摘要】數(shù)列問(wèn)題不僅是高中數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，也是很多現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中經(jīng)常遇到的數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)列問(wèn)題解法的掌握是十分重要的。結(jié)合對(duì)數(shù)列問(wèn)題的理解，提出將數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用于數(shù)列問(wèn)題求解，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的總結(jié)歸納和在數(shù)列通項(xiàng)公式、求和問(wèn)題、不等式證明中的應(yīng)用分析，并深入揭示其內(nèi)在的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，為進(jìn)一步拓展數(shù)列問(wèn)題的解決思路。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)列 求和 通項(xiàng) 不等式證明

一、引言

數(shù)列問(wèn)題是數(shù)學(xué)領(lǐng)域非常重要的一個(gè)分支，也是高中所必修必考內(nèi)容之一，其主要是由于在現(xiàn)實(shí)中應(yīng)用十分廣泛，如人們的儲(chǔ)蓄額度、社會(huì)人口、分期付款等最終都可以抽象為數(shù)列問(wèn)題，甚至有科學(xué)家曾說(shuō)沒(méi)有數(shù)的序列就沒(méi)有數(shù)學(xué)問(wèn)題，可見數(shù)列在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的重要地位。數(shù)列本質(zhì)上是指一列有序的數(shù)，但實(shí)際研究和應(yīng)用中這組數(shù)據(jù)都存在一定的規(guī)律，如典型的有等差數(shù)列、等比數(shù)列、斐波那契數(shù)列等。但遇到不能快速發(fā)掘規(guī)律的數(shù)列，往往有一些特殊的方法得以解決。本文提出的數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用于數(shù)列問(wèn)題求解便是其中的一種，在實(shí)際應(yīng)用中具有特定的優(yōu)勢(shì)。

本文正是基于一些特殊數(shù)列的求解問(wèn)題，采用常規(guī)直接推導(dǎo)時(shí)遇到困難，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法解決這類問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)，從多角度闡述數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列問(wèn)題中的求解，為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)奠定理論基礎(chǔ)。

二、數(shù)學(xué)歸納法

1.數(shù)學(xué)歸納法概念

數(shù)學(xué)歸納法作為一種演繹數(shù)學(xué)證明方法是有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^(guò)程的，通過(guò)被用于從局部正確到全部正確的推理應(yīng)用，也就是一種科學(xué)合理的由特殊到一般的推導(dǎo)證明歸納，借助這種有限步驟實(shí)現(xiàn)無(wú)限問(wèn)題的解決，其思路來(lái)源于數(shù)論的理解，即如果一個(gè)自然數(shù)集合中，如果包含自然數(shù)1，在假設(shè)也包含自然數(shù)n的情況下，則可以證明一定包含自然數(shù)n+1，所以該集合是一個(gè)自然數(shù)集合。歷史上經(jīng)典的有骨牌現(xiàn)象等都可以用數(shù)學(xué)歸納法給予解釋。

2.數(shù)學(xué)歸納法的解題步驟

經(jīng)過(guò)高中對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解、應(yīng)用，對(duì)于一般的數(shù)學(xué)歸納法可以應(yīng)用經(jīng)典的數(shù)學(xué)歸納法步驟進(jìn)行解答，其一般的解題步驟如圖1所示。通過(guò)上述三步的合理推導(dǎo)，只需要簡(jiǎn)單的陳述即可完成結(jié)論的證明。可見，該方法的思路清晰明了，原理簡(jiǎn)單可行，在數(shù)學(xué)理論中具有十分重要的作用。

三、數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列問(wèn)題有時(shí)求解非常困難，有的甚至一眼知道結(jié)果，但是往往卻很難用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)給予證明，而數(shù)學(xué)歸納法卻是很好的方法，對(duì)這類問(wèn)題有著很好的應(yīng)用背景。

1.數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列通項(xiàng)或求和中的應(yīng)用

數(shù)列中的通項(xiàng)公式和求和公式往往都是借助現(xiàn)成等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行得到，但現(xiàn)實(shí)求解過(guò)程中又會(huì)遇到一起無(wú)法用經(jīng)典結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)的，則需要特殊問(wèn)題特殊解決。例如：

2.數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列不等式證明中的應(yīng)用

數(shù)列解答題中的不等式證明，往往難度系數(shù)較大，通常難以得分，最為常用的方法是放縮法，即當(dāng)要證明不等式AA，去證明CB，尋找中間量C

數(shù)列問(wèn)題中一些未知參數(shù)的求解往往較難，但有時(shí)候如果思路變通，即可以采用一些特殊的方法進(jìn)行處理，進(jìn)而達(dá)到解題的目的。

四、結(jié)論

綜上，借助對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解和掌握，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的思想和解題步驟的總結(jié)歸納，加深對(duì)其應(yīng)用的掌握程度。同時(shí)借助幾個(gè)典型的應(yīng)用案例，開辟性地闡述了應(yīng)用思路的來(lái)源、應(yīng)用過(guò)程的分析和應(yīng)該結(jié)果的分享。從使用結(jié)果來(lái)看，數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列問(wèn)題中具有兩點(diǎn)優(yōu)勢(shì)：（1）理解和掌握數(shù)學(xué)歸納法有助于對(duì)復(fù)雜問(wèn)題有快速且有條理的去解決問(wèn)題，尤其是數(shù)列的證明問(wèn)題;（2）借助數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，可以對(duì)思考問(wèn)題的思維進(jìn)行有效鍛煉，提高對(duì)內(nèi)在邏輯的推演，提高綜合分析能力。

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