不完全信道統計信息反饋下的MIMO系統容量

杜 維，羅敬原，周 雯

(南京林業大學 信息科技學院，江蘇 南京 210018)

0 引言

MIMO系統在發射端和接收端均配備了多個天線，可以充分利用空間資源，將通信鏈路分解成許多并行的子信道，大幅度提高了系統的數據傳輸速率，已經成為第四代(4G)和第五代(5G)無線通信系統的核心技術[1-2]。而5G在4G研究的基礎上，提出了大規模MIMO的概念，進一步提升系統容量和增加小區覆蓋范圍。

MIMO系統的容量問題一直是國內外的研究熱點，其中基于信道狀態信息(Channel State Information，CSI)反饋的系統容量是該類問題研究的重要內容。基于CSI反饋的系統中，發送端利用接收端反饋的CSI，可以進行波束成形、功率控制與自適應調制等操作，有效地提升系統數據傳輸速率或改善誤碼率性能[3-11]。一般CSI反饋分為2種：即時CSI反饋和統計CSI反饋。若信道變化緩慢，采用即時CSI反饋較為合適，文獻[3]采用即時CSI信息，針對放大轉發MIMO中繼系統設計了收發器。若信道變化迅速，采用即時CSI反饋不再合適，因為頻繁的信道信息反饋將增加系統的負荷，此時采用統計CSI反饋方式較為合適。例如，文獻[4]研究了基于信道均值和協方差反饋的MIMO中繼系統最優發送策略，文獻[5]在假設發送端具備信道協方差信息的情況下，給出了最優發送協方差矩陣的結構。

考慮到反饋信道存在噪聲干擾和導頻長度有限等因素的影響，即時反饋的CSI通常是有誤差的，有些文獻研究了不完全即時CSI反饋的MIMO系統容量[6-9]。例如，文獻[6]研究了基于有誤即時CSI反饋的MIMO網絡中干擾對齊策略。文獻[9]基于不完全信道信息反饋推導系統的成對誤差概率，研究了認知多天線系統的正交空域調制技術。另一方面，信道統計信息通常由系統接收端經過一段時間測量得到，然而接收端測量使用的信道樣本數目有限，反饋信道通常也存在噪聲，因此反饋的信道統計信息是有誤的。如果無線信道是非平穩的，其統計特性隨時間緩慢變化，則反饋的信道統計信息可能存在延時誤差。目前，基于有誤統計CSI反饋的MIMO容量分析較少見，大多數考慮有誤即時CSI反饋對系統的影響。

本文針對反饋信道中受多種因素影響而產生的有誤CSI反饋，建立閉環MIMO系統模型，推導相應的閉環系統容量公式，定義反饋信噪比和相應的門限。仿真實驗對比了若干典型信道反饋方式下的MIMO系統容量，分析反饋信噪比對于系統容量的影響，在若干系統配置下，給出了反饋信噪比門限，這對系統的設計有指導意義。

1 系統模型

閉環MIMO系統模型如圖1所示。

圖1 閉環MIMO系統模型

發送端和接收端均配備多根天線，數目分別為NT和NR。利用反饋的信道統計信息，發送端計算預編碼矩陣W，將用戶數據X與之相乘發送出去。信號經過無線信道H到達接收端，假設信道H是平坦衰落的，則接收信號y可以表示為：

y=HWx+n，

(1)

(2)

式中，ΘR和ΘT分別表示接收端和發送端的信道相關矩陣，均是正定的Hermite矩陣，且滿足Tr(ΘR)=NR和Tr(ΘT)=NT，Tr(· )代表矩陣求跡。

(3)

(4)

為了對系統進行整體性能評估，定義閉環MIMO系統的信噪比為：

SNR?P/σ2，

(5)

式中，P為發送總功率。

2 閉環MIMO系統容量和反饋信噪比下限

2.1 開環容量

如果發送端不知道信道狀態信息，則最優的預編碼矩陣是單位陣，每根天線的數據子流應采用等功率分配，此時系統的開環容量為：

(6)

式中，符號E(·)代表數學期望，(·)H為矩陣的Hermitian轉置運算。

2.2 基于完全統計CSI反饋的閉環容量

如果發送端得到的統計CSI是完全的，即得到的2個信道相關矩陣沒有誤差，則最優發送信號協方差矩陣Q的特征向量構成的矩陣UQ滿足[18]：

UQ=UΘT，

(7)

Q=E[(Wx)(Wx)H]=WWH。

(8)

利用ΘT和ΘR，最優功率分配矩陣ΛQ可以通過遍歷搜索法[16]或文獻[17]提出的接近最優功率分配方法得出。這樣最優發送協方差矩陣Q可以由式(8)求出，系統的閉環容量為：

(9)

式中，ΛΘR是ΘR特征分解中的對角陣。

2.3 基于不完全統計CSI反饋的閉環容量

如圖1所示，當發送端得到的統計CSI是不完全的，即反饋的2個信道相關矩陣存在誤差，為了減小誤差的影響，首先做如下操作：

(10)

式中，符號=：代表賦值運算，這樣可以保證信道相關矩陣是Hermite矩陣，然后做歸一化操作：

(11)

(12)

預編碼矩陣可以表示為：

(13)

(14)

整個系統的運作流程歸納如下：

④ 根據式(13)求出預編碼矩陣W，與用戶數據x相乘發送出去。

3 反饋信噪比門限

Copen(NT，NR，SNR)]。

(15)

4 仿真結果

采用數值仿真方法研究了不完全統計CSI下的MIMO系統容量。信道采用MIMO Kronecker模型，其中的信道收發相關矩陣采用指數模型[19-20]，矩陣的第(i，j)個元素是ρ|i-j|，0<ρ<1是常數。對于收發相關矩陣，均設定ρ=0.5。MIMO系統的開環容量采用式(6)計算，理想統計CSI反饋的系統容量采用式(11)計算，非理想統計CSI反饋的容量采用式(16)計算。

4.1 反饋信噪比對系統容量的影響

圖2描述了不同反饋信噪比下的系統容量，系統的天線數目NT=NR=2。考慮了2種系統信噪比情況，分別對比了有誤統計CSI反饋、無誤統計CSI反饋和開環3種情況下的系統容量。

圖2 不同反饋信噪比下的系統容量

由圖2可以看到，隨著反饋信噪比SNRfeed的增加，有誤統計CSI反饋下的系統容量也隨著增加；在反饋信噪較小時，系統容量可能小于開環容量。例如，對于SNR=5 dB，當反饋信噪比大約低于9.3 dB時，有誤統計CSI反饋下系統容量小于開環容量3.06 bit；隨著反饋信噪比的增加，系統容量逐漸增加并接近上限3.15 bit，這也是理想統計CSI反饋的容量。當SNR=10 dB時，也出現類似現象。

圖2表明，在系統設計時，當反饋信噪比門限高于某個值的時候，閉環系統容量相對開環容量才有正增益，此時的反饋才有意義。

4.2 不同反饋方式的系統容量

圖3對比了不同系統配置下若干反饋方式的容量，其中圖3(a)為3×3系統，圖3(b)為4×4系統。考慮了4種反饋方式，包括有誤統計CSI反饋、無誤統計CSI反饋、無誤即時CSI反饋和開環(不反饋)方式。

圖3 不同反饋方式的系統容量對比

整體而言，可以發現無誤即時CSI反饋容量遠高于其他幾種方法，這是因為發送端知道每一時刻的信道狀態信息；相比其他方式，該反饋方式的反饋信息量最大。對于有誤統計CSI反饋，隨著反饋信噪比的增加，曲線整體上移，即給定系統信噪比，系統容量隨反饋信噪比增加而增加。如圖3(a)所示，當系統信噪比是2 dB時，反饋信噪比5，8，10 dB對應的系統容量分別是3.11，3.16，3.19 bit。而且，隨著反饋信噪比的增加，有誤統計CSI的系統容量逐漸逼近其上限——無誤統計CSI反饋的容量。還發現，在低系統信噪比時，有誤統計CSI反饋的容量大于開環容量，但是隨著系統信噪比的增加，情況會逐漸相反。如圖3(b)所示，當系統信噪比SNR=4 dB時，反饋信噪比為5 dB的容量是5.2 bit，約等于開環容量；但是在SNR=6 dB時，該容量是6.5 bit，小于此時的開環容量。

總之，無誤即時CSI反饋容量高于其他方法；有誤統計CSI的反饋容量隨著SNRfeed的增加而增加；在低SNR時，相對于開環方式，有誤統計CSI反饋的系統更容易產生正容量增益。

4.3 反饋信噪比門限

圖4描述了不同系統配置下的反饋信噪比門限SNRTh，該門限按照式(17)求出。考慮了3種天線對配置下的系統，包括2×2，3×3，4×4系統。可以發現，SNRTh隨著系統信噪比的增加而增加，在低SNR時門限增加較快，在高SNR時SNRTh增加較為緩慢。在低系統信噪比時，低天線對配置系統的SNRTh比高天線對配置的系統高。例如，對于SNR=4 dB，2×2系統的SNRTh是6.6 dB，高于3×3系統的5.13 dB。但是隨著SNR的增加，情況逐漸變的相反。例如，在SNR=12 dB時，2×2，3×3，4×4系統對應的SNRTh分別為12.4，12.6，13.5 dB。總之，該結果給出了若干參數對反饋信噪比門限的影響，對于系統設計有一定參考作用。

圖4 不同系統配置下的反饋信噪比門限

5 結束語

研究了基于統計CSI的閉環MIMO系統容量，分析了反饋信噪比對系統容量的影響，對比了若干典型反饋方式下的系統容量。結果表明，當反饋信噪比門限高于某個值的時候，閉環系統容量相對開環容量才有正增益，在低SNR時，基于有誤統計CSI反饋的系統更容易產生正容量增益；反饋信噪比門限隨著系統信噪比SNR的增加而增加；在低系統信噪比時，低天線對配置系統的反饋信噪比門限比高天線對配置的系統高，但是在高系統信噪比時，情況相反。研究結果將對MIMO系統的工程實踐應用有一定的參考作用。