2019年全國高考文科數學模擬試題

鄧軍民

全卷滿分150分. 考試用時120分鐘.

第Ⅰ卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 已知集合A={x|y=■}，B={x|x≥a}，若A∩B=A，則實數a的取值范圍是（? ?）

A. （-∞， -3]? ? ?B. （-∞， -3）? ? ?C. （-∞， 0]? ? D. [3， +∞）

2. 已知變量x和y的統計數據如下表：

根據上表可得回歸直線方程y=0.7x+a，據此可以預報當x=6時，y=（? ?）

A. 8.9? ? ? ? B. 8.6

C. 8.2? ? ? ? D. 8.1

3. 元朝著名數學家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經四處，沒了壺中酒，借問此壺中，當原多少酒？”用程序框圖表達如圖所示，即最終輸出的x=0，則一開始輸入的x的值為（? ?）

A. ■? ? B. ■? ? C. ■? ? D. ■

4. 已知三角形ABC中，AB=AC=2■，■=3■，連接CD并取線段CD的中點F，則 ■·■=（? ?）

A. -5? ? ? ?B. -■? ? ? ?C. -■? ? ? ?D. -2

5. 已知偶函數f（x）在[0， +∞）單調遞減，若f（-2）=0，則滿足x f（x-1）>0的x的取值范圍是（? ?）

A. （-∞， -1）∪（0， 3）? ? ? ?B. （-1， 0）∪（3， +∞）

C. （-∞， -1）∪（1， 3）? ? ? ?D. （-1， 0）∪（1， 3）

6. 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（? ?）

A. ■? ? ? ? B. ■

C. ■? ? ? ? D. 8

7. 已知函數f（x）=sin（2x+？漬） （0≤？漬≤2？仔）的圖像向右平移■個單位長度后，得到函數g（x）=cos2x 的圖像，則下列是函數y=f（x） 的圖像的對稱軸方程的為（? ?）

A. x=■? ? ? ?B. x=■? ? ? ?C. x=■? ? ? ?D. x=0

8. 阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數k（k>0且k≠1）的點的軌跡是圓. 后人將這個圓稱為阿氏圓. 若平面內兩定點A，B間的距離為2，動點P與A，B距離之比為■，當P，A，B不共線時，△PAB面積的最大值是（? ?）

A. 2■? ? ? ?B. ■? ? ? ?C. ■? ? ? ?D. ■

9. 在△ABC中，內角A， B， C的對邊分別為a， b， c，若函數f（x）=■x3+bx2+（a2+c2-ac）x+1無極值點，則角B 的最大值是（? ?）

A. ■? ? ? ? ?B. ■? ? ? ? ?C. ■? ? ? ? ?D. ■

10. 已知點A（4， 0），B（0， 4），點P（x， y）的坐標x，y滿足x≥0，y≥0，3x+4y-12≤0，則 ■·■ 的最小值為（? ?）

A. ■? ? ? ? ?B. 0? ? ? ? ?C. -■? ? ? ? ?D. -8

11. 設F1，F2 是雙曲線C：■-■=1（a>0， b>0） 的兩個焦點，P是C上一點，若 |PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2 的最小內角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是（? ?）

A. x±■y=0? ? B. ■x±y=0? ? C. x±2y=0? ? D. 2x±y=0

12. 已知函數f（x）=ex+x2+（3a+2）x 在區間（-1， 0）有最小值，則實數a的取值范圍是（? ?）

A. （-1， -■）? ? B. （-1， -■）? ? C. （-■， -1）? ? D. （-1， -■）

第Ⅱ卷

本卷包括必考題和選考題兩部分. 第（13）～（21）題為必考題，每個試題考生都必須作答. 第（22）～（23）題為選考題，考生根據要求作答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13. 若■ （a， b∈R）與（2-i）2互為共軛復數，則a-b=__________.

14. 在三棱椎P-ABC中，底面ABC是等邊三角形，側面PAB是直角三角形，且PA=PB=2，PA⊥AC，則該三棱椎外接球的表面積為__________.

15. 已知數列{an}的前n項和是Sn，且an+Sn=3n-1，則數列{an}的通項公式an=__________.

16. 函數y=■與y=3sin■+1的圖像有n個交點，其坐標依次為（x1， y1）， （x2， y2）， …， （xn， yn），則■（xi+yi）=______.

三、解答題：共70分. 解答應寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 第17～21題為必考題，每個試題考生都必須做答.第22、23題為選考題，考生根據要求做答.

17.（本小題滿分12分）

如圖，△ABC中為鈍角，過點A作AD⊥AC，交BC于D，已知AB=2■，AD=2.

（1）若B=30°，求∠BAD的大小;

（2）若BC=3BD，求BD的長.

18.（本小題滿分12分）

某餐廳通過查閱了最近5次食品交易會參會人數x（萬人）與餐廳所用原材料數量y（袋），得到如下統計表：

（1）根據所給5組數據，求出y關于x的線性回歸方程y=■x+■.

（2）已知購買原材料的費用C（元）與數量t（袋）的關系為C=400t-20， 0

參考公式：■=■=■，■=■-■■.

參考數據：■xiyi=1343，■xi2=558，■yi2=3237.

19.（本小題滿分12分）

如圖1，已知矩形ABCD中，點E是邊BC上的點，AE與BD相交于點H，且BE=■，AB=2■，BC=4■，現將△ABD沿BD折起，如圖2，點A的位置記為A′，此時A′E=■.

（1）求證：BD⊥面A′HE;

（2）求三棱錐D-A′EH的體積.

20.（本小題滿分12分）

已知橢圓C1的方程為■+■=1，橢圓C2的短軸為C1的長軸且離心率為■.

（1）求橢圓C2的方程;

（2）如圖，M，N分別為直線l與橢圓C1、C2的交點，P為橢圓C2與y軸的交點，△PON面積為△POM面積的2倍，若直線l的方程為y=kx （k>0），求k的值.

21.（本小題滿分12分）

已知函數f（x）=ax-1-ln x （a>0），

（1）求函數f（x）的單調區間;

（2）若函數f（x）在x=1處取得極值，對任意x∈（0， +∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實數b的最大值.

請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為x=t，y=m+t（t為參數，m∈R），以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2=■ （0≤？茲≤？仔）.

（1）寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程;

（2）已知點P是曲線C2上一點，若點P到曲線C1的最小距離為 2■，求m的值.

23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

已知函數f（x）=■| x-a |（a∈R）.

（1）當a=2時，解不等式 | x-■ |+f（x）≥1;

（2）設不等式 | x-■ |+f（x）≤x的解集為M，若[■， ■]？哿M，求實數a的取值范圍.

2019年全國高考文科數學模擬試題參考答案

第Ⅰ卷

一、選擇題.

1.【答案】A

【解析】由已知得A=[-3， 3]，由A∩B=A，則A？哿B，又B=[a， +∞），所以a≤-3. 故選A.

2.【答案】D

【解析】■=■=3，■=■=6，

∴ 6=0.7×3+a， a=3.9， ∴ x=6時， y=0.7×6+3.9=8.1， 故選D.

3.【答案】C

【解析】i=1，

（1）x=2x-1，i=2，

（2）x=2（2x-1）-1=4x-3，i=3，

（3）x=2（4x-3）-1=8x-7，i=4，

（4）x=2（8x-7）-1=16x-15，i=5，

所以輸出16x-15，得x=■，故選C.

4.【答案】B

【解析】方法一：如圖，因為■=3■，線段CD的中點為F，■=■■-■， ■=■■+■■=■■+■（■-■■） =■■+■■ =■（■■+■）， ■·■ =■（■■-■）=■（■×8-8）=-■，故選B.

方法二：（特殊圖形法）取△ABC為等腰直角△ABC，如圖，則有B（2■， 0）， C（0， 2■），因為■=3■，所以D為AB的四分點，所以D（■， 0）. 又因CD的中點為F，所以F（■， ■），所以■=（■， ■）， ■=（■， -2■），所以■·■=■-4=-■. 故選B.

5.【答案】A

【解析】∵偶函數f（x）在[0， +∞）單調遞減，且f（-2）=0，

∴函數f（x）在（-∞， 0）單調遞增，且f（2）=0.

結合圖像可得不等式x f（x-1）>0等價于x>0，f（x-1）>0或

x<0，f（x-1）<0，

即x>0，-1

故x的取值范圍為（-∞， -1）∪（0， 3）. 選A.

6.【答案】B

【解析】由圖可知該幾何體底面積為8，高為2的四棱錐，如圖所示：

∴該幾何體的體積V=■×8×2 =■，故選B.

7.【答案】A

【解析】函數g（x）=cos2x 的圖像的對稱軸方程為x=■ （k∈Z），

故函數y=f（x）的圖像的對稱軸方程為x=■-■（k∈Z），當k=1時，x=■，故選A.

8.【答案】A

【解析】如圖，以經過A，B的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系;則：A（-1， 0），B（1， 0），設P（x， y），∵ ■=■，∴ ■=■，

兩邊平方并整理得：

x2+y2-6x+1=0 ？圯（x-3）2+y2=8. ∴當點P在點C或點D時，△PAB面積的最大值是■×2×2■=2■，故選A.

9.【答案】C

【解析】函數f（x）=■x3+bx2+（a2+c2-ac）x+1無極值點，則導函數無變號零點，f′（x）=x2+2bx+a2+c2-ac，？駐=b2-a2-c2+ac≤0？圯cosB=■≥■.

∵ B∈（0， ？仔），∴ B∈（0， ■] 故最大值為■. 故答案為：C.

10.【答案】C

【解析】由題意可得： ■·■=x（x-4）+y（y-4）=（x-2）2+（y-2）2-8，（x-2）2+（y-2）2 即為點P（x， y）與點M（2， 2）的距離的平方，結合圖形知，最小值即為點M（2， 2）到直線的距離的平方d=■=■，故最小值為（■）2-8=-■. 本題選擇C選項.

11.【答案】B

【解析】假設點P在雙曲線的右支上，由題得

|PF1|+|PF2|=6a，|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵ |F1F2|=2c>2a，所以最短邊是PF2，最小角為∠PF1F2 . 由余弦定理得4a2=16a2+4c2-2×4a×2c×cos30°，∴ c2-2■ac+3a2=0. ∴ e2-2■e+3=0，e=■，∴ ■=■，∴ c2=3a2，∴ a2+b2=3a2，∴ b2=2a2. ∴ ■=■，所以雙曲線的漸近線方程為■x±y=0. 故選B.

12.【答案】D

【解析】由f（x）= ex+x2+（3a+2）x，可得f′（x）=ex+2x+3a+2，∵ 函數f（x）=ex+x2+（3a+2）x在區間（-1， 0）上有最小值，∴ 函數f（x） =ex+x2+（3a+2）x 在區間（-1， 0）上有極小值，而f′（x）=ex+2x+3a+2=0在區間（-1， 0）上單調遞增，∴ f′（x）=ex+2x+3a+2=0在區間（-1， 0）上必有唯一解，由零點存在定理可得

f′（-1）=e-1-2+3a+2<0，f′（0）=1+3a+2>0，解得-1

∴ 實數a 的取值范圍是（-1， -■），故選D.

第Ⅱ卷

二、填空題.

13.【答案】-7

【解析】∵ ■=■=b-ai， （2-i）2=4-4i-1=3-4i，又■（a， b∈R）與（2-i）2 互為共軛復數， ∴ b=3， a=4，則a-b=-7，故答案為-7.

14.【答案】12？仔

【解析】由于PA=PB，CA=CB，PA⊥AC，則PB⊥CB，因此PC取中點O，則有OP=OC=OA=OB，即O為三棱錐P-ABC外接球球心，又由PA=PB=2，得AC=AB=2■，所以PC=■=2■，所以S=4？仔×（■）2=12？仔.

15.【答案】3-（■）n-2

【解析】由題得an+Sn=3n-1…①，an-1+Sn-1=3n-4…②，

兩式相減得an=■an-1+■，∴ an-3=■（an-1-3），∴ {an-3} 是一個等比數列，

所以an-3=（a1-3）（■）n-1 =（1-3）（■）n-1，∴ an=3-（■）n-2，故填3-（■）n-2.

16.【答案】4

【解析】因為y=■=x+■+1，y=3sin■+1兩個函數對稱中心均為（0， 1）;畫出y=■=x+■+1，y=3sin■+1的圖像，由圖可知共有四個交點，且關于（0， 1）對稱，x1+x4=x2+x3=0，y1+y4=y2+y3=0，

故■（xi+yi）=4，故答案為4.

三、解答題.

17.（本小題滿分12分）

【解析】（1）在△ABD中，由正弦定理得■=■，■=■，解得sin∠ADB=■， ……3分

又∠ADB為鈍角，則∠ADB=120°，故∠BAD=30°.…………5分

（2）設BD=x，則DC=2x.

∵ AD⊥AC，∴ cos∠ADC=■=■，∴ cos∠ADB=-■.…………8分

在△ABD中由余弦定理得，cos∠ADB=■=■，…………10分

∴ ■=-■，解得x=2，故BD=2. ……………12分

18.（本小題滿分12分）

【解析】（1）由所給數據可得：■=■=10.4，

■=■=25，…………2分

■=■=■=2.5，■=■-■■=25-2.5×10.4=-1，……5分

則y關于x的線性回歸方程為y=2.5x-1. …………6分

（2）由（1）中求出的線性回歸方程知，當x=15時，y=36.5，即預計需要原材料36.5袋，

因為C=400t-20， 0

當t=35時，利潤L=700×35-（400×35-20）=10520;

當t=36時，利潤L=700×36-380×36=11520，

當t=37時，利潤L=700×36.5-380×37=11490.

綜上所述，餐廳應該購買36袋原材料，才能使利潤獲得最大，最大利潤為11520元. ………12分

19.（本小題滿分12分）

【解析】（1）證明： ∵ ABCD為矩形， BE=■， AB=2■， BC=4■，

∴ AE⊥BD，因此，圖2中，BD⊥A′H，BD⊥EH. 又∵ A′H交于HE點H，

∴ BD⊥面A′HE. …………6分

（2）∵矩形ABCD中，點E是邊BC上的點，AE與BD相交于點H，且BE=■，AB=2■，BC=4■.

∴ AE=■=5，BD=■=10，△BEH∽△DAH，

∴ ■=■=■=■，∴ AH=A′H=4，EH=1，DH=8，

∵ A′E=■，∴ A′H⊥EH，∴ S△A′HE =■×4×1=2.

∴三棱錐D-A′EH的體積VD-A′EH =■. …………12分

20.（本小題滿分12分）

【解析】（1）橢圓C1的長軸在x軸上，且長軸長為4，∴橢圓C2的短軸在x軸上，且短軸長為4.

設橢圓C2的方程為■+■=1（a>b>0），則有

2b=4，■=■=■，…………2分

∴ a=4，b=2，∴橢圓C2的方程為■+■=1. ………5分

（2）設M（x1 ， y1）， N（x2 ， y2），由△PON面積為△POM面積的2倍得 |ON|=2|OM|，

∴ |x2|=2|x1|. 聯立方程y=kx，■+■=1，消y得x=±■，…………8分

∴ |x1|=■. 同樣可求得|x2|=■. …………10分

∴ ■=2■，解得k=±3，∵ k>0，∴ k=3.…12分

21.（本小題滿分12分）

【解析】（1） f（x）的定義域為（0， +∞）， f′（x）=a-■=■，

當a>0時， 由f′（x）<0， 得 00， 得x>■，

∴ f（x）在（0， ■）上遞減，在（■， +∞）上遞增. …………4分

（2）∵函數 f（x） 在x=1處取得極值，

∴ f′（1）=a-1=0， 則a=1，從而 f（x） = x-1-ln x， x∈（0， +∞）. …………5分

因此，對任意x∈（0， +∞），f（x）≥bx-2恒成立

？圳對任意x∈（0， +∞），1+■-■≥b恒成立，………7分

令g（x）=1+■-■，則g′（x）=■，·…………9分

令g′（x）=0，得x=e2，則g（x）在（0， e2）上遞減，在（e2， +∞）上遞增，

∴ g（x）min=g（e2）=1-■，即b≤1-■，故實數b的最大值是1-■. …………12分

請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程

【答案】（1）x-y+m=0， ■+y2=1 （0≤y≤1）? （2）m=-4-■或 m=6.

【解析】（1）由曲線C1的參數方程，消去參數t，

可得C1的普通方程為：x-y+m=0.

由曲線C2的極坐標方程得3ρ2-2ρ2cos 2 ？茲=3，？茲∈[0， ？仔]，

∴曲線C2的直角坐標方程為■+y2=1 （0≤y≤1）. ……5分

（2）設曲線C2上任意一點P為（■cos？琢， sin？琢），？琢∈[0， ？仔]， 則點P到曲線C1的距離為d=■=

■.

∵ ？琢∈[0， ？仔]， ∴ cos（？琢+■）∈[-1， ■]， 2cos（？琢+■）∈[-2， ■]，

當m+■<0時，m+■=-4，即m=-4-■;

當m-2>0時，m-2=4，即m=6. ∴ m=-4-■或m=6. …10分

23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

【答案】（1）{x|x≤0或x≥1};（2）[-■， ■].

【解析】（1）當a=2時，原不等式可化為 |3x-1|+|x-2|≥3.

①當x≤■時，原不等式可化為-3x+1+2-x≥3，解得x≤0，所以x≤0;

②當■

③當x≥2時，原不等式可化為3x-1-2+x≥3，解得x≥■，所以x≥2.

綜上所述，當a=2時，不等式的解集為{x|x≤0或x≥1}.…………5分

（2）不等式 |x-■|+f（x）≤x可化為 |3x-1|+|x-a|≤3x，

依題意不等式 |3x-1|+|x-a|≤3x 在[■， ■]恒成立，

所以 3x-1+|x-a|≤3x，即|x-a|≤1，即a-1≤x≤a+1，

所以a-1≤■，a+1≥■，解得-■≤a≤■，故所求實數a 的取值范圍是[-■， ■]. ……10分