巧用等腰（邊）三角形證全等

蘇中年

一、一條重要的線段——“三線合一”

例1 如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，點D為BC上任意一點，DF⊥AB于點F，DE⊥AC于點E，M為BC的中點，試判斷△MEF是什么三角形，并證明你的結論。

【解析】由于AB=AC，M是BC的中點，可聯想到“三線合一”定理，考慮連接AM，則可證明△BFM≌△AEM，然后證明MF=ME和∠EMF=90°，即可證明△MEF為等腰直角三角形。

證明：連接AM。

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=45°。

∵M為BC的中點，

∴AM⊥BC，∠BAM=∠CAM=[12]∠CAB=45°。

∴△AMB為等腰直角三角形，

∴MA=MB，

∵DF⊥AB，∠B=45°，

∴DF=BF。

∵∠BAC=90°，DF⊥AB，DE⊥AC，

∴DF∥AC，DE∥AB，

∴∠DFE=∠AEF，∠AFE=∠DEF。

在△AEF和△DFE中：[∠DFE=∠AEF，EF=EF，∠AFE=∠DEF，]

∴△AEF≌△DFE。

∴DF=AE，

∴BF=AE。

在△BFM和△AEM中：[BF=AE，∠B=∠EAM，MB=MA，]

∴△BFM≌△AEM，

∴ME=MF，∠BMF=∠AME。

∵∠BMF+∠AMF=90°，

∴∠AME+∠AMF=90°，

∴∠EMF=90°。

∴△MEF是等腰直角三角形。

【點評】等腰三角形“三線合一”的性質既涉及角相等，又涉及線段相等或垂直，為證明線段和角的關系提供了又一個理論根據。同時，同學們還應熟練掌握“三線合一”性質的轉化。

二、在等腰三角形中找條件

例2 如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC的中點，CE⊥AD，垂足為E，BF∥AC，交CE的延長線于點F。求證：DB=BF。

【解析】要證明DB=BF，由于D為BC的中點，所以CD=BD，因此本題可轉證CD=BF，將這兩條線段放置到三角形中，可證明△ACD≌△CBF。

證明：∵BF∥AC，

∴∠CBF+∠ACB=180°。

∵∠ACB=90°，

∴∠CBF=∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠DCE=90°。

∵CE⊥AD，

∴∠CAD+∠ACE=90°，

∴∠CAD=∠DCE=∠BCF。

在△ACD和△CBF中：[∠ACD=∠CBF，AC=CB，∠CAD=∠BCF，]

∴△ACD≌△CBF，

∴CD=BF。

∵D為BC的中點，

∴CD=BD，

∴DB=BF。

【點評】本題證明△ACD≌△CBF需要的3個要素都和△ABC是等腰直角三角形相關。在證明過程中，當圖形中出現等邊三角形、等腰三角形、正方形、菱形等內容時，往往隱含著一對全等三角形，這對全等三角形的一對應邊往往和等邊三角形、等腰三角形、正方形、菱形的邊長相等相關。

三、既是角平分線又是垂線，補成等腰三角形

例3 如圖3，已知在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，且AE垂直BD的延長線于E點。求證：BD=2AE。

【解析】由于BE既是角平分線，又垂直于AE，所以很容易由“三線合一”聯想到延長AE與BC，構造等腰三角形，再結合等腰三角形的性質和全等，證明BD和AE的關系。

證明：延長AE、BC，交于點F。

∵BE平分∠ABF，AE⊥BE，

∴△ABF是等腰三角形，

∴AF=2AE。

∵AE⊥BE，

∴∠F+∠DBC=90°。

∵∠ACB=90°，

∴∠CDB+∠DBC=90°，

∴∠F=∠CDB。

在△FAC和△DBC中：[∠F=∠CDB，∠FCA=∠DCB，AC=BC，]

∴△FAC≌△DBC（AAS），

∴AF=BD，

∴BD=2AE。

【點評】當一條線段具備以下3個條件中的兩個條件時，可考慮構造等腰三角形，運用“三線合一”定理解決問題：（1）平分一個角;（2）垂直一條邊;（3）平分一條線段。

四、等邊三角形中的全等

例4 如圖4，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，DC=AE，AD、BE交于點F，求∠BFD的度數。

【解析】由于∠BFD=∠ABE+∠BAD，可通過證明△ABE≌△CAD，將∠ABE+∠BAD轉化為∠CAD+∠BAD，即∠BAC。

解：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°。

在△ABE和△CAD中：[AB=AC，∠BAE=∠C，AE=CD，]

∴△ABE≌△CAD。

∴∠CAD=∠ABE。

∴∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=60°。

∴∠BFD=60°。

例5 如圖5，△ABD、△AEC都是等邊三角形，BE、CD相交于O。

（1）求證：BE=DC。

（2）求∠BOC的度數。

【解析】（1）BE和DC可分別置于△ACD、△AEB中，通過證明△ACD≌△AEB，來證得BE=DC。證明△ACD≌△AEB需要的條件可從等邊三角形中獲得。（2）根據外角的性質可知∠BOC=∠BDO+∠DBO，可將求的角轉化為求∠BDO+∠DBO。

證明：（1）∵△ABD、△AEC都是等邊三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠ADB=∠ABD=∠BAD=∠CAE=60°。

∴∠DAC=∠BAE。

在△ACD和△AEB中：[AD=AB，∠DAC=∠BAE，AC=AE，]

∴△ACD≌△AEB。

∴BE=DC。

（2）∵△ACD≌△AEB，

∴∠ADC=∠ABE。

∴∠BDO+∠DBO=∠ADB+∠ABD=120°。

∴∠BOC=∠BDO+∠DBO=120°。

【點評】等邊三角形3條邊相等、3個角相等，是判定三角形全等的條件，因此當圖形中出現兩個等邊三角形時，一般會出現全等三角形。

（作者單位：江蘇省海安市紫石中學）