氣動肌肉機械腿擺動動力學建模與控制

黃繼清,金英連,陳迪劍,王斌銳

(中國計量大學 機電工程學院,浙江 杭州 310018)

腿足式機器人適應自然界的非結構化環境,具有多地形適應能力。研究發現,機械腿建模與關節力矩控制是腿足式機器人研究的重點。在Raibert M[1]對機械腿研究基礎上,波士頓動力公司研制出的軍用BigDog[2]可以勝任多地形的運輸任務,吸引一大批學者參與到腿足式機器人的研究中。意大利理工學院的Focchi M[3]在液壓四足HyQ上實現了‘V’字形斜坡上的行走。Semini C[4]在HyQ基礎上設計了液壓、力矩驅動的HyQ2Max,增加了負載能力,賦予更靈活的運動能力。國防科技大學張太輝[5]對液壓四足機器人機械腿關節計算力矩控制進行研究,再現關節位置控制下的關節力矩。麻省理工學院Seok S[6]團隊設計的MIT Cheetah,使用本體感知的(proprioceptive)、高扭矩密度的直驅永磁同步電機驅動,具有反向驅動能力(backdrivability),降低觸地碰撞力。使用力矩控制的關節,可以提高機器人的運動能力。

相比以上機械腿,氣動肌肉機械腿結構簡單,質量輕,類似動物的肌肉-骨骼系統[7]。美國凱斯西儲大學Hunt A[8]在氣動肌肉四足Puppy上訓練神經網絡控制器,在跑步機上完成了后腿行走實驗。韓國Kaneko T[9]控制氣動肌肉雙足機器人的足底力,實現了雙足的彈跳運動。日本的東京工業大學[10]、大阪大學[11]和東京大學[12]的氣動肌肉足式機器人在仿生機構上取得進展,均無關節力矩控制方面的研究。由于氣動肌肉驅動的關節力矩難以測量與控制,力矩控制在氣動肌肉四足機器人中的應用文獻不多,在外骨骼機器人中存在關節力矩控制研究[13]。

參考文獻[14]關節自由度配置,本文設計一種氣動肌肉驅動的兩自由度機械腿,建立關節驅動機構模型和關節力矩模型;在位置控制器輸出中加入機械腿動力學計算力矩項,設計拮抗氣動肌肉拉力控制器和關節位置控制器;在仿真和實驗中,對機械腿擺動時的關節位置跟蹤控制進行研究。

1 機械腿建模

1.1 驅動機構模型

機械腿由軀干、大腿和小腿組成,關節驅動機構模型如圖1。髖關節采用鏈輪傳動,半徑r,mm,轉動中心O;膝關節采用四連桿結構,如圖1中粗線所示。θh和θk分別表示髖關節和膝關節角度,rad;Pi表示氣動肌肉,下標i=u,d,l,r,表示不同安裝位置;Fi表示氣動肌肉拉力,N;xi表示氣動肌肉末端位移,mm。

圖1 機械腿關節驅動機構模型Figure 1 Joints drive mechanism model for mechanical leg

設計髖關節角度活動范圍[θh_min,θh_max],則氣動肌肉位移:

xu=r(θh_max+θh);

(1)

xd=r(θh_min-θh)。

(2)

膝關節示如圖2所示,現在推導膝關節角度θk與氣動肌肉Pl位移xl的關系。膝關節角度θk=π-γ-θ2,其中γ定義為直線HA的延長線AO1與直線DE夾角,交點O1。在△AEO1中,γ=θ1-ε1,其中θ1和ε1分別根據四邊形AEGH和△ADE的邊長關系求得。θ2=β-ε3-φ+λ2,ε3為△ADE的內角,λ2已知,需要在△BCD和△ABD中根據余弦定理求β和φ。α=π+λ1-θ1-ε2,λ1已知,ε2=π-ε1-ε3,則在△ABD中,利用余弦定理可求出直線BD長度LBD,現在△BCD和△ABD邊長都為已知,β和φ即可求解。

圖2 膝關節示意圖[15]Figure 2 Schematic diagram of knee joint

膝關節角度θk與氣動肌肉Pl位移xl的關系為

θk=fl(xl)=π+ε1+ε3-λ2-

(3)

式(3)中:L表示圖2中線段長度,mm。根據腿足末端空間的要求,綜合設計機械腿髖關節角度活動范圍為[-0.43,1.13],膝關節目標轉角范圍為[0,2.44],大腿長度0.4 m,小腿長度0.355 m,則可具體設計膝關節驅動機構參數數值,見表1。將表1中的數值代入式(3),求其反函數可得

(4)

在圖2中,膝關節角度還可以表示成θk=π-θ4+γ1,同理膝關節角度θk與氣動肌肉Pr位移xr的關系可表示成

(5)

根據表1的參數數值,同樣可以求得式(5)的反函數

(6)

表1 膝關節驅動機構參數

1.2 關節力矩模型

如圖1髖關節部分所示,髖關節主動力矩可表示成

τh=τu-τd=(Fu-Fd)r。

(7)

式(7)中:τh為拮抗氣動肌肉Pu和Pd對髖關節產生的合力矩,N·m;τu和τd分別表示氣動肌肉Pu和Pd的拉力Fu和Fd在力臂r下對O點施加的力矩,N·m。

本文設計髖關節力矩到氣動肌肉拉力的映射關系為:

(8)

(9)

式(8)、(9)中:τu和τd的初始力矩都為τh0,N·m;τh0>0可保證拮抗氣動肌肉在任意時刻都保持在伸直狀態。

膝關節主動力矩分析如圖2,τl和τr分別是拉力Fl和Fr對點A和B施加的力矩,N·m。△ADE和△BCF分別在τl和τr作用下繞點A和B轉動,分別在桿3的反作用力Fdl和Fdr作用下平衡,N,作用點分別為D和C。則△ADE和△BCF靜力學平衡方程分別為：

τl=Fldl=Fdlldl;

(10)

τr=Frdr=Fdrldr。

(11)

式(10)、(11)中,dl和ldl分別為Fl和Fdl對A點的力臂,m;dr和ldr分別為Fr和Fdr對B點的力臂,m。力臂可分別在△AEG、△ACD、△BFJ和△BCD中根據幾何圖形三角函數關系求解,根據式(4)、(6),可表示成以膝關節角度θk為變量的函數關系。

假設四連桿ABCD質量可以忽略,則桿3為二力桿,Fdl和Fdr大小相等,方向相反,且沿著桿3方向,則有力矩比例系數

(12)

小腿繞四連桿瞬心轉動的主動力矩

τk=k(τl-τrctau)=k(Fldl-Frdrctau)。

(13)

式(13)中:τk為膝關節主動力矩,N·m;k為比例系數,k>0。

在四連桿處于靜力學平衡條件下,k=1。本文設計膝關節力矩到氣動肌肉拉力的映射關系為:

(14)

(15)

式(14)、(15)中:τk0為τl和τr的初始力矩,N·m,τk0>0。

1.3 動力學模型

將機械腿簡化成典型的二連桿模型,軀干為基座。選用拉格朗日動力學方法,建立機械腿動力學模型如下:

(16)

式(16)中:θ是關節角度矢量,θ=[θhθk]T;I為慣性矩陣,I∈R2×2;C為離心力和科氏力矩陣,C∈R2×2;G是重力距矢量,G=[G1G2]T;τ是關節主動力矩矢量,τ=[τhτk]T。

矩陣I、C和矢量G的元素如表2所示。g為重力加速度;m1和m2分別是大腿和小腿的質量,kg;lm1和lm2分別為大腿和小腿的質心距,m;Lul和Lll分別為大腿和小腿的長度,m;I1和I2分別為大腿和小腿的轉動慣量,kg·m2。

表2 機械腿動力學矩陣及矢量元素

Table 2 Elements of matrix and vector in dynamics of mechanical leg

元素內容I11m1l2m1+m2(L2ul+l2m2+2Lullm2cos(θk))+I1+I2I12m2(l2m2+Lullm2cos(θk))+I2I21m2(l2m2+Lullm2cos(θk))+I2I22m2l2m2+I2C11- θkm2Lullm2sin(θk)C12-( θh+ θk)m2Lullm2sin(θk)C21 θhm2Lullm2sin(θk)C220G1gm1lm1sin(θh)+gm2Lulsin(θh)+gm2lm2sin(θh+θk)G2gm2lm2sin(θh+θk)

2 控制器設計和系統仿真

2.1 控制器設計

設計式(16)中力矩

(17)

式(17)中:v是待設計的控制律。則整個機械腿動力學如下:

(18)

式(18)可化簡為

(19)

由式(18)可見,機械腿動力學解耦成一個線性定常系統。若給定機械腿關節角度為θr,θr二階可微,則可設計控制律

(20)

式(20)中:Kv和KP就是比例-積分控制器系數。聯立式(19)、(20),誤差動力學方程為

(21)

式(21)中:e為關節角度跟蹤誤差,e=θr-θ。根據李雅普諾夫穩定性定義,適當選擇參數Kv和KP,誤差動力學漸近穩定。

聯立式(17)、(20),有

(22)

設計機械腿擺動控制雙閉環策略,控制框圖如圖3所示。單腿關節映射模型,一部分由式(1)、(2)、(4)和(8)組成,用來計算氣動肌肉實際位移x,mm;一部分由式(8)、(9)、(14)和(15)組成,用來計算氣動肌肉給定拉力Fg,N。拉力控制器輸出電壓u控制調壓比例閥,V。

圖3 機械腿擺動控制框圖Figure 3 Block diagram of control of swinging mechanical leg

氣動肌肉拉力采用前饋反饋[16]控制策略。拉力控制器由氣動肌肉逆模型前饋控制器和PI(Proportional Integral)誤差補償控制器并聯形成。參考文獻[17],將氣動肌肉收縮力模型等效成彈簧單元和收縮單元并聯輸出力模型

Fi(xi,pi)=Fci(pi)-Ki(pi)xi。

(23)

式(23)中:p表示氣動肌肉相對氣壓,MPa;Fc表示收縮單元收縮力,N;K表示彈簧單元剛度,N/mm。在0～0.6 MPa壓力下,Fc和K為

(24)

式(24)中:c,v和pd為氣動肌肉擬合模型參數,單位分別為N,N/mm和MPa。

由式(23)、(24),設計兩個中間變量

(25)

(26)

式(26)中:p1i和p2i為氣壓變量,MPa。則氣動肌肉逆模型前饋控制器輸出如下:

pfi=p1if(p1i)+p2if(p2i)。

(27)

式(27)中:pfi為前饋控制器輸出,MPa;

PI誤差補償控制器表達形式如下:

(28)

式(28)中,pci為PI控制器輸出,MPa;ei(t)=Fgi-Fi,為氣動肌肉給定拉力和測量拉力之間的偏差,Kpi和Kii分別為比例-積分系數。

調壓比例閥氣壓轉電壓的線性系數為kpu,則拉力控制器輸出

ui=kpu(pfi+pci)。

(29)

2.2 仿 真

在Matlab中,利用Simulink中的s函數編寫機械腿擺動控制系統。機械腿物理參數如表3。

表3 機械腿物理參數

圖4 仿真中關節角度及力跟蹤曲線Figure 4 Joints angle and force tracking curves in simulation

在0～2.5 s內,系統根據給定的初始力矩,計算與調整四根氣動肌肉的初始拉力和氣壓,存在明顯的抖動現象,原因是仿真剛開始,機械腿關節角度跟蹤誤差和關節力矩跟蹤誤差較大,比例控制控制系統出現超調和振蕩。2.5 s以后,關節力矩和氣動肌肉拉力跟蹤漸漸穩定,關節角度實現了穩定的正弦波跟蹤效果。髖關節克服整條腿重力的力矩由氣動肌肉拉力Fd提供,Fd跟蹤曲線基本與角度變化趨勢一致。氣動肌肉Pu在初始力矩的設置下,拉力Fu保持在2N附近。在拮抗氣動肌肉拉力Fd的約束下,拉力Fu產生周期性波動,波動幅值2N,變化趨勢基本于氣動肌肉拉力Fd保持相同。膝關節角度和記錄跟蹤曲線分析于髖關節基本相同,膝關節氣動肌肉Pr的給定拉力Frr并不像髖關節氣動肌肉給定拉力Fur是常值,因為拉力Fr對膝關節的作用力臂dr是隨著膝關節角度變化的,同時在圖4(d)中,膝關節力矩曲線穿過0 N·m,由式(15)可知,氣動肌肉拉力Fr在零點連續,但是導數并不存在,因此拉力Fr會出現突變和尖刺。髖、膝關節角度跟蹤誤差在±1°內,角度跟蹤誤差均方根分別是0.75°和0.67°,力矩跟蹤誤差在±0.3 N·m以內。關節角度仿真曲線的跟蹤效果初步驗證了動力學控制的有效性,機械腿擺動控制系統正弦跟蹤性能良好。

3 實 驗

機械腿實驗平臺實物如圖5。氣動調壓比例閥為ITV2050-212N(SMC)型號,在設置成最大增益條件下,幅值0.6 MPa的階躍響應時間約為300 ms。實驗采用自制氣動肌肉,直徑20 mm。調壓比例閥和氣動肌肉整體氣壓測試響應頻率10 Hz以內。拉力傳感器型號為ZNLBM-100 kg型號,線性度0.1%全量程,拉力響應頻率不超過10 Hz,輸出模擬信號0～5 V。角度編碼器為CHA38S6單圈絕對式編碼器,分辨率12位。IO模塊為EL3068(BeckHoff)模擬電壓輸入端子和EL4008模擬電壓輸出端子,電壓量程0～10 V,分辨率12位,分別用來控制調壓比例閥氣壓和讀取拉力傳感器變送器輸出電壓。嵌入式控制器為CX2040(BeckHoff)型號,搭載WES7系統。應用程序開發軟件TwinCAT3和EtherCAT通信協議實現了運動實時控制功能。

設置關節位置環控制程序運行周期10 ms,氣動肌肉拉力環控制周期5 ms。髖、膝關節初始角度分別為-30°和60°,給定角度輸入信號均為正弦周期信號,幅值15°,周期5 s。為減少拉力控制器的數量,設置氣動肌肉氣壓pu和pr始終為0.13 MPa和0.15 MPa,氣動肌肉Pu和Pr始終處于被動拉伸狀態。設置氣動肌肉氣壓pd和pl初始氣壓分別為0.02 MPa和0.15 MPa。拉力傳感器可以實時測量被動氣動肌肉拉力Fu和Fr,通過控制氣動肌肉拉力Fd和Fl,補償被動氣動肌肉拉力對關節產生的力矩。實驗通過對氣動肌肉拉力的閉環控制和力臂的實時解算,實施關節力矩控制實驗。機械腿擺動實驗結果如圖6。

圖5 機械腿實驗平臺Figure 5 Experiment setup of mechanical leg

圖6 實驗中關節角度及力跟蹤曲線Figure 6 Joints angle and force tracking curves in experiment

實驗開始時,髖、膝關節穩定在初始角度,后在正弦信號的作用下,關節開始轉動。由關節角度跟蹤曲線可知,機械腿重力力矩越接近最大值時,即對應髖、膝關節角度分別為-50°和90°時,角度跟蹤誤差逐漸變大,是因為實際系統的非線性程度在不斷增大。髖、膝關節力矩跟蹤誤差在±1.5 N·m以內。給定髖關節力矩曲線還出現較大尖峰,是因為氣動肌肉拉力Fd跟蹤誤差最大40 N,經過負反饋控制,動力學計算力矩出現突變,導致關節給定力矩出現較大的尖峰。髖、膝關節的力矩跟蹤曲線誤差較大,力矩跟蹤效果沒有仿真理想,主要是因為存在建模誤差：一方面是實驗的逆動力學模型的簡化,機械腿物理參數值的選取與實際機械腿物理參數有偏差;另一方面是實驗中拉力傳感器帶寬小,實際氣動肌肉拉力和氣壓關系存在遲滯,力矩跟蹤的響應速度慢,跟蹤曲線出現滯后現象。實際的系統還由一系列的干擾因素。髖關節氣動肌肉Pu和Pr在拮抗氣動肌肉中成被動工作狀態,因此在圖6(e)和(f)中,拉力Fu和Fr曲線變化趨勢分別與主動拉力Fd和Fl曲線變化趨勢一致。髖、膝關節角度跟蹤誤差在±3°以內,從關節空間映射到足端空間,誤差可接受。

為了進一步驗證本文動力學控制效果,評估氣動肌肉機械腿關節跟蹤性能,在圖6中,選擇前兩個完整擺動周期,計算關節角度最大跟蹤誤差和跟蹤誤差的均方根,與文獻[13]中的下肢康復機器人關節角度跟蹤控制結果對比,見表4。本文髖、膝關節的角度跟蹤誤差均方根都小于文獻,說明本文關節角度跟蹤精度和性能優于文獻,機械腿關節實現擺動相平穩的正弦跟蹤控制。

表4 關節角度跟蹤誤差比較

4 結 論

建立了機械腿的擺動動力學模型,使用計算力矩控制方法對機械腿關節進行位置跟蹤控制,仿真和實驗結果表明:

1)拉力控制器的設計,可實現氣動肌肉在不同末端位移條件下的拉力跟隨控制;

2)對四連桿膝關節主動力矩的分析,可解決膝關節力矩如何映射到氣動肌肉拉力的問題,實現四連桿傳動的膝關節力矩控制;

3)建立拮抗氣動肌肉關節建模,可實現關節力矩的檢測與控制,計算力矩控制可應用在自主設計的氣動肌肉機械腿擺動運動控制中。

下一步的工作需要利用關節力矩控制,對機械腿在地面任意高度的彈跳控制進行研究。