正多邊形古塔中心坐標求解與傾斜情況分析

管鋒

(太原市勘察測繪研究院，山西 太原 030002)

1 引 言

磚結構古塔在長時間承受氣溫、風力、自重等自然條件影響下，會產生傾斜、彎曲、扭曲等變形。某古塔自1984年～1997年經修復、糾偏、加固至今再沒有進行過變形測量及傾斜沉降等工作的實測。由于沒有準確的數據，現在無法對古塔進行科學有效地保護，為此需要對古塔進行變形觀測，掌握古塔的變形情況，為安全性診斷提供必要的信息，以便及時發現問題并采取措施，使這一珍貴的文化遺產得到更好的傳承。

觀測采用角度交會原理，分別觀測了1、6、11層的8個角點，用來求解各個角點的坐標，并計算中心位置，分析該塔變形情況。本文著重探討了古塔中心坐標求解問題，并給出了相應的數學模型和計算方法，通過數據計算結果來分析古塔傾斜情況。

2 數學模型

2.1 模型建立

由正多邊形特性可知，每個角點到等效中心的距離相等，即：

(1)

xi，yi為每個角點的x，y坐標，中心(x，y)和半徑r初值設為x0，y0，r0，公式線性化后為：

(2)

(3)

VTPV=min

(4)

得：

(5)

(6)

式中，n為坐標值的個數，必要觀測量為3，多余觀測量為(n-3)。

2.2 程序實現

程序采用C++語言設計，使用已有的Matrix矩陣類進行矩陣運算。程序主要函數有讀取坐標數據函數CCenterCompute：：FileOpen()、中心坐標計算函數CCenterCompute：：Compute()和結果輸出函數CCenterCompute：：WriteRecPos()。

設計的Matrix矩陣類的運算包括矩陣之間的加、減、乘、求逆等一些運算方法。在進行矩陣計算之前，首先定義矩陣對象，然后使用運算符重載的功能，就可以進行矩陣的各種運算。

x0，y0的初值采用的是n個觀測值的x，y的均值，r0取第一個點(x1，y1)到中心(x0，y0)的距離。

采用迭代的方法計算中心坐標，直到dx，dy，dr的改正量小于10-4時停止迭代。主要代碼如下：

do

{

for (i=0；i

{

onexy=positions[i]；

s=sqrt(pow(onexy.x-FoucsX，2)+pow(onexy.y-FoucsY，2))；

B(i，0)=FoucsX-onexy.x；

B(i，1)=FoucsY-onexy.y；

B(i，2)=-1；

L(i，0)=R-s；

}

Q=(!(～B*P*B))；

v=Q*(～B*P*L)；

FoucsX+=v(0，0)；

FoucsY+=v(1，0)；

R+=v(2，0)；

if (fabs(v(0，0))<1e-4&&fabs(v(1，0))<1e-4&&fabs(v(2，0))<1e-4)

break；

} while (1)；

3 計算結果與古塔傾斜分析

3.1 測量方案與數據處理

根據規范相關技術要求，考慮到現場觀測條件，平面控制網采用衛星導航定位測量，全站儀聯測邊長和角度，進行聯合平差，高程控制網采用二等水準測量方法進行。利用平面和高程控制點前方角度交會的方法觀測古塔1、6、11層的24個點。水平角觀測采用方向觀測法，所有點進行三角高程測量。各項觀測指標均滿足規范要求。

基線數據處理和網平差均采用Trimble Business Center 4.0軟件?；€向量解算采用雙差固定解；星歷采用廣播星歷；觀測值應加入了對流層延遲修正，對流層延遲修正模型中的氣象元素采用標準氣象元素。經過基線處理后，同步環、異步環、重復基線較差、三維無約束平差、二維約束平差均滿足規范要求。

傾斜點前方角度交會計算軟件清華山維NAS2008 1.2.1，除部分點因現場條件限制，只有2個方向交會外，其余點均有3個或以上方向交會。

傾斜點高程直接采用控制點與觀測點的垂直角、距離進行計算。

3.2 古塔傾斜情況分析

本文以某古塔的觀測數據為例，來對程序的運行結果進行說明。采用古塔的1、6、11層的觀測數據(古塔為正八邊形古塔)，計算得到各個角點的坐標，運行程序輸出的結果如表1所示：

古塔1、6、11層坐標表 表1

將各層中心點的偏差除以各層中心點的高差，求得塔的傾斜，傾斜結果如表2所示。

古塔傾斜成果表 表2

3.3 模型影響分析

后期計算過程中，發現古塔存在一定傾斜，這就導致傾斜點不在同一高程面上(假定塔未傾斜時，傾斜點是在同一高程面上的，且塔的8個角點嚴格在同一個圓上)，那么測出的傾斜點平面坐標構成的是一個橢圓，而不是圓。

因塔傾斜引起的傾斜點高程上的誤差，等于塔的半徑乘以傾斜率，塔傾斜引起的傾斜點平面坐標的誤差，等于高程誤差乘以傾斜率，計算結果如表3所示：

塔傾斜引起的傾斜點誤差計算表 表3

由表3可知，因古塔傾斜引起的傾斜點平面坐標的最大誤差為 0.4 mm，而傾斜點求圓心的中誤差為 ±11.6 mm～17.2 mm，由此可見，塔傾斜引起的傾斜點平面坐標誤差對計算結果影響很小，可不予考慮，數學模型仍采用等效圓。

4 結 語

文中通過對正多邊形的特性分析，列出誤差方程，給出了數學模型，通過使用C++語言編制程序，能夠很好地求解古塔中心坐標，模型嚴密，求解的結果精度高。程序能極大提高工作效率，減少人工出錯率。最后分析古塔的傾斜對模型的影響，在簡單的情況下可以采用圓模型，對精度影響很小。計算的結果可為相關文物部門的古塔保護和監測提供參考和借鑒，具有較強的實用性。該模型適用于正多邊形建筑的中心坐標求解。