任意陣列形狀的欠定多目標方位估計

劉亞萍,羅 建,聶宜召,趙亞磊,張海濤

(西北工業大學 航海學院,陜西 西安 710072)

0 引言

陣列信號處理是現代信號處理的一個重要分支,在近40多年來得到迅速發展,其應用涉及雷達、通信、聲吶、地震勘探、射電天文以及生物醫學工程等眾多軍事及民用領域[1]。信號的來波方向估計是陣列信號處理的一個重要研究方向,定位技術更是廣泛應用在航空、航天、航海、交通、勘測、導航等領域[2-4]。空間譜估計是陣列信號處理技術中的重要研究內容之一[5-7]。實際工程應用中,算法的硬件平臺實現復雜度與陣列模型和陣列信號處理算法具有密切聯系,其中陣列模型要由實際應用環境確定。

通常對于固定的陣列形式來說,線陣只能對陣列所在直線為界的半個平面進行空間譜估計,面陣可以在整個平面對目標進行估計,也可以對陣列所在平面為界的半個空間進行估計,只有空間立體陣才可以對整個空間內的目標進行空間譜估計。目前對二維及空間陣列(如圓陣、平面陣、共形陣等)的研究工作已相對比較成熟且取得了豐碩的成果[8-9],也擁有了比較成熟的信號處理算法。在現實水下環境中,探測系統受水下環境各種因素的影響,布放的陣列模型往往是由具體平臺決定的任意形狀,因此本文采用一種任意空間陣列模型進行空間任意目標信號源估計,具有較高的應用靈活性。

高階分析已經廣泛應用到信號處理中的各個領域,四階累積量因其具有優良的特性,比如其獨特的陣列擴展性,能在較少的陣元數情況下估計出更多的目標信號源數,能夠實現欠定情況下信號波達方向角估計,即是在較少的陣元情況下估計出相對較多的信號來波方向。在工程應用上其硬件平臺實現可較為簡化,更符合水下復雜的環境應用。

1 任意空間陣列數學模型

聲學定向技術的發展速度非常快, 其應用也越來越廣泛[10]。陣列信號處理中由N個聲傳感器陣元組成的陣列,可以得到N-1個獨立的時延,而要確定整個空間內聲信號的空間方向至少需要4個空間陣元。

當目標信號源為窄帶信號且距離陣列足夠遠時,即信源位于陣列的遠場范圍時,可假設陣列接收的波形為平面波。遠場窄帶信號的包絡變化緩慢,可以不考慮陣元接收信號的幅度差異,僅考慮相位差。設空間任意位置的n個信源Ti(i=1,2,…,n)和m個傳感器Pj(j=1,2,…,m)組成空間任意陣列模型,其中n＜m。如圖1所示,T1、T2…Ti表示空間內信源;P1、P2、PM表示空間中的陣元。以參考陣元P1為坐標原點建立坐標系,不妨設傳感器pj的位置坐標為(xj,yj,zj),信源Ti波達方向的方位角(在XOY平面的投影與坐標原點的連線與X軸正方向的夾角)為φi,俯仰角(與Z軸的夾角)為θi。

圖1 空間陣列數學模型Fig.1 Mathematical model of space array

對應的傳感器位置矢量為pj=[xj,yj,zj](j=1,2,…,m),信源Ti的單位方向矢量為

第j個傳感器接收到來自第i個信號源的信號為

式中:τij為相對于參考陣元S1接收信號的時延;Pi1(t)為參考陣元P1接收到來自第i個信號源的信號。由圖1的幾何關系可知:

式中c為信源波速。設第j個傳感器接收到的環境噪聲為nj(t),則第j個傳感器接收到的信號為

若定義:

則式(4)可表示為矢量形式:

式中:A為信源的方位流型矩陣;a(θi,φi)為信源的方向矢量。式(6)即為空間中任意陣列對多個信源相應的數學模型。

2 四階累積量算法

常用的高階累積量有三階累積量和四階累積量。但三階累積量很小且不具有對稱性,對于對稱分布的隨機過程其三階累積量為0,所以陣列信號處理領域常采用四階累積量。四階累積量在陣列信號處理領域具有不可替代的優良特性[11-12]。

零均值的復平穩隨機序列{x(n),n=±1,±2,±∞}的四階累積量定義為

當x(n)對稱分布時,可知式(7)中的第3項的值為0。

設M個隨機序列xk(n),k=1,2…,M;n=±1,±2,±∞均為零均值復隨機序列,則M維復向量序列x(n)=[x1(n),x2(n),…,xM(n)]T的四階累積量定義為

式中k1,k2,k3,k4∈{1,2,…,M}。

令τ1=τ2=τ3=0,則有:

3 四階累積量的陣列擴展性

正定又叫超定,是指待估計信號源數小于陣元數。欠定就是陣元數小于信號源數。一般情況下當信號源數大于陣元數時,會嚴重影響DOA估計性能。在欠定情況下,估計目標方位一般從2方面著手:1)所使用的算法性能;2)陣列形狀。由于本文研究的是任意陣列形狀,所以著重分析四階累積量算法性能。四階累積量對陣列的擴展是基于四階累積量的陣列信號處理算法的一個重要特點。設空間N個獨立非高斯遠場窄帶信號入射到M個全向陣元組成的陣列上,空間信號相互獨立,信號與噪聲也統計獨立,噪聲服從高斯分布。由式(6)知陣列輸出信號寫成向量形式為

式中:X(t)=[x1(t),x2(t),…,xm(t)]為陣列輸出向量;S(t)=[s1(t),s2(t),…,sn(t)]為空間信號向量;N(t)=[n1(t),n2(t),…,nm(t)]為噪聲向量;A=[a(θ1,φ1),a(θ2,φ2),…,a(θm,φm)]為空間導引向量;sm(t)為第m個空間信號;xm(t)和nm(t)為第m個陣列輸出及噪聲。

定義陣列接收數據的四階累積量:

式中k1,k2,k3,k4∈(1,M)。隨著k1、k2、k3、k4的變化,我們將得到M4個元素為了便于操作,可以將這M4個元素放入如下一個M2×M2的矩陣R4中:

可以證明,當信號相互獨立時,對于式(12)定義的四階累積量,可以得到:

式中?表示konecker積,又叫直積或張量積。向量a∈Cn,向量b∈Cm。則:

式(14)說明,對于原真實陣元所對應的陣列導向矢量,陣列擴展后的陣列導向矢量為

圖2 空間陣元位置Fig.2 Location of space arrays

假設空間存在3個真實陣元,以原點處的陣元為參考點,如圖2所示。由陣列信號的數學模型可知,如果參考陣元接收空間某一個靜態信號的數據為

則有:

式中:u為信號傳播矢量;px為x陣元與參考陣元的位置矢量;py為y陣元與參考陣元的位置矢量。針對圖2所假設的空間陣列,式(13)所描述的陣列擴展后的陣列導向矢量可寫成:

圖3 陣列擴展特性Fig.3 Features of array extension

從式(19)可以清楚地看出式中的第4、6、7、8項中的陣元是擴展出來的(即為虛擬陣元),而其它5項對應的陣元與真實陣元的位置重合,且擴展出來的位置如圖3所示。圖中●表示真實陣元,〇表示虛擬陣元。從圖3中可以清楚地看出圖2中的3個實際陣元采用四階累積量后得到的擴展陣列共有7個陣元,其中4個陣元為虛擬陣元。需要說明的是,上述的分析都是基于式(10)定義的四階累積量矩陣推導出來的。得出四階累積量可以從2個方面實現陣列擴展:1)展寬陣列的有效孔徑,使得測向性能得到提高;2)增加有效的陣元數目,這是突破傳統信號處理算法對入射信號數限制的根本。如果采用不同的方法構造四階累積量矩陣,將會得到不同的分析結果。

4 基于四階累積量的MUSIC算法

由四階累積量的定義及信號數據模型可知,當采用如下累積量定義:

且構成矩陣的第(k1-1)M+k3行及第(k2-1)M+k4列的值為C4x(k1,k2,k3,k4)時,有:

且

假設空間中有N個獨立的信號源,那么陣列接收到的數據矢量X的秩為N,那么X?X?和X?X的秩為N2。

如式(20)所示,可以直接將MUSIC方法推廣到四階累積量的陣列信號處理。如果信號源之間互相獨立,即可以對組成的協方差矩陣進行特征分解,從而獲得大特征值對應的信號子空間和小特征值的噪聲子空間。利用2個子空間的正交性,得到基于四階累積量的MUSIC功率譜函數

由以上的描述過程我們不難看出,基于四階累積量的MUSIC方法與傳統的MUSIC方法相比較,有下列優越性:1)能夠完全抑制高斯噪聲;2)基于累積量進行處理,陣列孔徑擴大了一倍,提高了角度估計的分辨率和精度,增加了能估計信源的個數,在陣元數目一定的情況下能估計較多的目標信號源。在一定應用場景中,尤其是水下目標估計工程中,各種復雜的環境因素要求陣元數目一定。該算法有較好的工程應用前景。

5 實驗仿真

針對陣列信號的四階累積量所具有的陣列擴展特性,基于四階累積量方位估計方法,可估計多于二階統計量估計方法的信號源數。采用如圖4所示的空間四元坐標軸陣,針對基于二階統計量估計方法無法估計的4個獨立的空間信號源進行仿真實驗,信源方向分別為(30°,150°)、(30°,-150°)、(120°,150°)、(120°,-150°)。實驗中快拍數為512,信噪比為15 dB。采用四階累積量MUSIC方位估計方法,實驗結果如圖5 所示。

圖4 空間四元陣列結構圖Fig.4 Structure of spatial quaternary array

圖5 基于四階累積量的空間譜圖Fig.5 Spatial spectrum based on fourth-order cumulant

從實驗結果可以看出,傳統方法存在對信源數不能大于陣元數的條件限制。基于四階累積量的MUSIC欠自由度方位估計方法適用于空間任意結構陣列,且能實現對數量大于等于陣元數的空間任意方向目標的方位估計,驗證了結論的正確性。

6 結束語

本文介紹了一種任意陣元數的空間陣列數學模型,基于四階累積量的MUSIC算法,分析了四階累積量算法在陣列信號處理領域中的優良特性。把四階累積量應用于陣列信號處理中,能夠實現陣列擴展,且增加了虛擬陣元,擴展了陣列孔徑,從而使得較之于基于協方差的算法能分辨的空間信源數目更多,測向性能得到提高,彌補了傳統算法能分辨的信號源數目不能多于陣元數、對硬件復雜度和性能要求較高的缺點。任意陣列模型具有較高的靈活性,適用于水下任意環境的目標探測,能夠很靈活地利用較少的陣元數去估計更多的目標信號源,使硬件結構得到簡化,節約能源,在工程應用中具有很高的應用價值。通過對基于四階累積量的MUSIC估計算法進行數值仿真,驗證了該算法的可行性。