帶有視場角約束的滑模攻擊時間控制制導律

陳升富， 常思江， 吳放

(南京理工大學 能源與動力工程學院， 江蘇 南京 210094)

0 引言

為了提高導彈在現代防御系統下的生存能力和殺傷力，設計可實現導彈飛行時間控制的攻擊時間控制制導律正越來越受到研究人員的重視。通過對導彈攻擊時間的控制，一方面能夠使不同發射條件下的導彈同時攻擊目標，提高導彈在近防武器系統[1-3]下的生存能力；另一方面可實現無需各導彈數據交流下的協同制導，通過對目標進行飽和打擊，以提高對大型目標的首次毀傷能力。

自攻擊時間控制制導問題提出以來，研究人員基于不同的控制理論和方法，設計出各種不同的攻擊時間控制制導律，如基于比例導引法[1-10]、基于最優控制理論[11-12]、基于Lyapunov穩定性理論[13-14]以及基于成型理論[15-19]等的制導律。根據制導律設計所需信息的不同，現有的攻擊時間控制制導律可簡單分為兩類：需要剩余飛行時間估算[1-6,8-9,14,20-25]和不需要剩余飛行時間估算[7,10-13,15-19,26-28]。前者通過剩余飛行時間估算計算出攻擊時間誤差，從而進行攻擊時間控制制導律的設計。需要指出的是，這種剩余飛行時間估算方法大多基于比例導引法，因此所實現攻擊時間控制的彈道軌跡將隨著攻擊時間誤差趨向于0而逐漸演變為比例導引法下的彈道軌跡。對于不需要剩余飛行時間估算信息的攻擊時間控制制導律，通常通過控制參數的設計實現所需的攻擊時間。文獻[13]基于Lyapunov準則，推導獲得帶有不完全beta函數項的攻擊時間解析解，通過選取合適的控制參數實現所需的攻擊時間。文獻[15-19]分別應用關于前置角和彈目連線距離的多項式成型技術，通過選取合適的多項式系數實現攻擊時間控制。這種控制參數的設計往往需要數值迭代求解微分方程，較為繁瑣，且對初始條件的變化較為靈敏(如初始前置角、所需攻擊時間等)，不利于實際工程的應用。

近年來，滑?？刂埔蚱鋵Σ淮_定干擾的固有魯棒性而廣泛應用于帶約束的制導律設計[29-31]，在基于滑模控制的攻擊時間控制制導律設計方面取得了不少研究成果[20-24，26-28]。文獻[26]針對非線性模型，基于視線角成型技術和2階滑?？刂萍夹g，通過對視線角成型參數的選取實現所需末端約束。文獻[20]針對靜止目標，應用文獻[2]提出的剩余飛行時間估算方法計算攻擊時間誤差，通過攻擊時間誤差和視線角速率組成的滑模面，推導出可應用于大前置角下的攻擊時間控制制導律。文獻[21]利用僅由攻擊時間誤差所組成的滑模面，推導出沒有控制奇點的攻擊時間控制制導律。文獻[22]應用時變滑?？刂萍夹g，推導了攻擊時間和落角約束下的制導律，通過兩個未知滑模系數的選取分別實現攻擊時間和落角約束。

由于實際工程應用中導引頭視場角的有界性，所設計的攻擊時間控制制導律應滿足視場角約束，而目前考慮視場角約束下的攻擊時間控制制導問題研究相對較少[5-8,10,12-13,24-25, 28]?，F有的研究文獻可以分為兩類：

1)使前置角單調減小的攻擊時間控制制導律[10,13]。文獻[10]通過計算關于彈目連線距離和前置角的時變比例系數函數，實現前置角的單調減小，從而保證視場角約束下的攻擊時間控制。這類方法易受初始前置角的影響，初始前置角的大小將影響攻擊時間的可控范圍。

2)允許使用不超過視場角邊界值的前置角[5-8, 12,24-25, 28]。文獻[25]提出常前置角制導律與攻擊時間控制制導律的邏輯轉換實現視場角受限下的攻擊時間控制；文獻[5-8]采用偏置比例導引法的方式實現攻擊時間控制，通過偏置項中的余弦權重函數實現視場角約束；文獻[28]針對非線性模型，應用末端滑模技術，通過邏輯轉換關于前置角的滑模面實現視場角約束下的攻擊時間控制。這類方法雖然無需剩余飛行時間估算信息，但滑模面需要通過數值求解的方法實時計算。

上述大多數文獻設計的帶有視場角約束攻擊時間控制制導律，當前置角為0°時都存在控制奇點，無法實現攻擊時間控制。

為消除這一控制奇點并深入探索滑?？刂萍夹g在帶有視場角約束的攻擊時間控制制導律設計中的應用，本文將開展相關研究：1)建立視場角約束下的導彈目標相對運動模型；2)推導基于滑?？刂频墓魰r間控制制導律，并進行穩定性分析；3)進行數值仿真驗證。

1 彈目攔截數學物理模型

如圖1所示，考慮在導引頭視場角約束下攔截靜止目標的幾何運動。圖1中：M表示導彈，T表示目標；R為導彈與目標之間的距離；v為導彈速度，假設v為常值，且忽略自動駕駛儀的延時；a為導彈的加速度；γ和θ分別為導彈彈道角和彈目視線角；φ、φ0和φmax分別為導彈速度矢量前置角(簡稱前置角)、導彈初始前置角和視場角邊界值；坐標系Oxy用來描述導彈的彈道軌跡。

圖1 視場角約束下的導彈與靜止目標間相對運動關系Fig.1 Relative motion relationship between missile and stationary target under the constraint of field-of-view angle

由圖1可知，導彈滿足：

(1)

(2)

(3)

φ=γ-θ，

(4)

(5)

定義攻擊時間誤差為

s=tgo-tgd，

(6)

式中：tgo為導彈當前時刻的實際剩余飛行時間，通常由估算獲取；tgd=td-t為所需的剩余飛行時間，td為所需的攻擊時間，t為導彈發射后經過的時間。需要指出的是，所需的攻擊時間td必須大于導彈飛行的最短時間R0/v，R0為初始彈目連線距離。由文獻[25]可知，對于視場角受限下的攻擊時間控制問題，所能實現的攻擊時間td存在一定的范圍，即攻擊時間可控范圍I{td∈R:tdmin≤td≤tdmax}，其中，tdmin和tdmax為正常數，分別表示可實現的最小和最大攻擊時間。

當彈體軸向與導彈速度方向的夾角(即導彈的側滑角)足夠小時，導引頭的視場角受限可近似為導彈前置角受限[5,10,25]。此時，導引頭的視場角受限問題可描述為在整個飛行過程中滿足|φ(t)|≤φmax，φmax是由導引頭視場角邊界所確定的正常數。

為便于描述視場角約束下的攻擊時間控制制導律，進行如下假設：

1)導彈的初始前置角滿足|φ0|≤φmax；

2)所需的攻擊時間td選取合適，使得td∈I，則視場角約束下的攻擊時間控制問題可描述為在加速度指令a的制導下，導彈滿足如下約束方程：

(7)

因此，本文所要研究的問題可簡述為設計一個滿足(7)式的制導律，從而實現視場角約束下的攻擊時間控制。

2 帶視場角約束的制導律設計與分析

2.1 帶視場角約束的制導律設計

由(6)式可知，剩余飛行時間tgo通常由估算獲取，其估算精度將影響攻擊時間制導律的性能。因此，本文選擇的剩余飛行時間估算公式[2]為

(8)

式中：N為比例系數，N>1.

為設計滿足(7)式的制導律，對攻擊時間誤差s求關于時間的導數，有

(9)

將(2)式和(3)式代入(9)式，有

(10)

由(10)式可知，應用Lyapunov非線性控制理論，可以設計滿足視場角約束下的滑模攻擊時間控制制導律為

(11)

式中：k為設計參數，k>0；

(12)

(13)

顯然，在制導律(11)式的作用下，R、φ以及s隨時間的變化關系可以重新表示為

(14)

(15)

(16)

下一節將利用(14)式～(16)式證明，所設計制導律(11)式在滿足假設條件下能夠實現視場角約束下的攻擊時間控制。

2.2 制導律的穩定性證明與分析

定理在滿足假設1和假設2的條件下，考慮制導系統(14)式～(16)式，對于給定的所需攻擊時間td，當參數N和k選取合適時，制導律(11)式能夠實現視場角約束下的攻擊時間控制，即滿足(7)式。

為證明該定理，需分兩步，首先證明所設計制導律滿足視場角約束要求，其次證明所設計制導律滿足攻擊時間誤差收斂性要求。

2.2.1 關于滿足視場角約束的證明

為證明所提出制導律在整個制導過程滿足視場角約束，即在滿足假設條件下，集合Ω∈{φ:|φ(t)|≤φmax}不變，取如下形式的Lyapunov候選函數：

(17)

對(17)式關于時間求導，并代入(15)式，有

(18)

當前置角到達視場角邊界值，即|φ|=φmax時，(18)式變換為

(19)

(20)

顯然，對于χ∈(0 rad, π rad)，f(χ)>0恒成立。

下面進行相應的證明：

(21)

(22)

應用以上結論，當|φ|=φmax時以下不等式恒成立：

(23)

2.2.2 攻擊時間誤差收斂性證明

首先分析一個奇點問題，制導指令(11)式和前置角變化速率(15)式由于各自第1項的存在，在前置角趨向于0°時將可能包含奇點問題。但由洛必達法則可知，當φ趨向于0°時，制導指令(11)式和前置角變化速率(15)式的第1項可表示為

(24)

式中：ξ分別取1和2時，即為(11)式和(15)式的第1項。由(24)式可知，當φ趨近于0°時，(11)式和(15)式不存在奇點問題。

為證明攻擊時間誤差收斂，取如下形式的Lyapunov候選函數：

(25)

對(25)式求關于時間的導數，并代入(16)式，有

(26)

(27)

(28)

式中：下標0表示初始條件，且φ0≠0°. 需要再次指出的是k應大于0. 當s=0 s時，結合(6)式和(8)式，可以有

(29)

隨著時間t的增加，(29)式的右端項tgd減小，彈目相對距離R也將逐漸減小，最終，當tgd趨向于0 s時，彈目相對距離R也趨向于0 m，從而在所需的時間td內攔截目標。

綜上所述，在滿足假設的條件下，本文所提出的制導律(11)式能夠實現視場角約束下的攻擊時間控制(即滿足(7)式)，且沒有奇點問題。

2.3 攻擊時間控制能力分析

2.4 與純比例導引法之間的關系

本文設計制導律時所用剩余飛行時間估算公式(即(8)式)是文獻[2]基于純比例導引法，在小角度近似假設下推導得到的。因此，為了說明本文所提制導律使用(8)式作為剩余飛行時間估算公式的合理性，有必要研究所提出制導律與純比例導引法之間的關系。對前置角應用小角度近似假設，并忽略3階高次項ο(φ3)，有

(30)

當攻擊時間誤差s=0 s實現時，由(30)式可知，所提出帶視場角約束的攻擊時間控制制導律(11)式將轉換為

(31)

3 數值仿真分析

為驗證本文所提出制導律的性能，本節將對所提出的攻擊時間控制制導律進行數值仿真分析。需要指出的是，在應用本文所提出制導律時，采用如文獻[21,30-31]所給出的sigmoid連續函數近似替代不連續函數sgn (·)，從而在確保制導系統穩定性的前提下，避免因符號函數sgn (·)的不連續所造成的制導指令抖動問題，其函數表達式為

(32)

式中：b為設計參數，本文取b=20. 導彈的最大加速度為|a|max=5g，導彈的視場角為[-45°,45°]，比例系數N=3，參數k=280.

3.1 不同條件下制導律性能

為驗證所提出制導律的性能，對不同條件下的制導律性能進行數值仿真分析。仿真參數如表1所示。仿真結果如圖2和圖3所示。

表1 不同條件下的仿真參數Tab.1 Simulation parameters at different conditions

圖2給出了td=40.00 s時，初始前置角分別為-45°、-20°、15°以及30°的仿真結果。根據文獻[25]所計算出的可實現攻擊時間控制范圍分別為[33.87 s, 44.52 s]、[33.38 s, 43.75 s]、[33.35 s, 43.48 s]以及[33.49 s, 44.17 s]，因此所選取的控制時間滿足假設要求。圖2(a)～圖2(d)分別表示制導指令、前置角、攻擊時間誤差和彈道軌跡在不同初始條件下的變化情況。導彈的初始加速度達到飽和，使得攻擊時間誤差迅速減小、前置角增加。當前置角達到視場角邊界值時，導彈過載迅速減小，以保證前置角不超出視場角邊界值。當攻擊時間誤差減小為0 s時，前置角逐漸減小，制導律逐漸演變為純比例導引法。因此，在彈道末端的需用過載逐漸減小并最終為0g，導彈的抗干擾能力也將隨之增強。

圖2 不同初始前置角下的仿真結果Fig.2 Simulated results at different initial leading angles

圖3 不同所需攻擊時間的仿真結果Fig.3 Simulated results at different desired impact times

圖3是初始前置角為40°(其攻擊時間控制范圍為[33.38 s, 43.75 s])時，不同所需攻擊時間的仿真結果。由圖3(a)～圖3(d)可知，所提出的制導律既可實現攻擊時間誤差大于0 s的控制，也可以實現攻擊時間誤差小于0 s的控制。當攻擊時間誤差大于0 s時，制導指令通過加快前置角減小的速度來實現攻擊時間的控制；當攻擊時間小于0 s時，制導指令通過在滿足視場角約束下增大前置角，實現所需控制的攻擊時間。值得注意的是，由于文獻[25]所計算的最大攻擊時間是假設制導末端以最大加速度進行圓形制導獲得的，在實際工程應用時，為確保攻擊時間的控制精度及終端制導指令為0g，所選取的攻擊時間應滿足td

以上仿真算例其最終的攻擊時間誤差均滿足|s|≤2.00×10-4s，這表明當滿足假設條件時，本文所提出的攻擊時間控制制導律能在不同條件下很好地實現所需控制的攻擊時間，并滿足視場角約束。

3.2 與其他制導律的比較

為進一步驗證所提制導律的性能，本節將與文獻[5]所提制導律進行對比仿真，仿真條件為：初始前置角10°，所需攻擊時間td分別為40.00 s和42.00 s，此時對應的攻擊時間可控范圍是[33.34 s, 43.21 s]。此外還對比了初始前置角為0°、所需攻擊時間為40.00 s時的特殊情況。所得的對比結果如表2以及圖4和圖5所示。

文獻[5]所提出的制導律為

(33)

式中：Kb=0.5v2/R；w(s)定義為

(34)

δ1和δ2分別為小的正常數。根據文獻[5]，δ1和δ2分別取0.005和0.1.

表2 不同制導律下的仿真性能Tab.2 Simulation performances of different guidance laws

由表2可看出，當所需攻擊時間較小時，兩種制導律的控制性能相當，當所需的控制時間較大時，本文方法所需的控制能量及過載達到飽和所占總制導時間的比例明顯小于文獻[5]所提出的方法。

由圖4(a)～圖4(d)可知，兩種制導律都能在滿足視場角約束的條件下，按所需的攻擊時間擊中目標。圖4(c)表明所提出制導律的攻擊時間誤差收斂速度快于文獻[5]的制導律。這與圖4(a)中本文方法下的初始過載飽和時間稍大于文獻[5]相符合。具體對比圖4中不同td下的曲線可以發現：當所需攻擊時間較小(td=40.00 s)時，本文所提出制導律的控制效果與文獻[5]相似，具有可比性；當所需攻擊時間較大(td=42.00 s)時，文獻[5]的制導律在制導末段的過載有明顯的突變且達到飽和，這種情況在實際工程應用中是不利的，而本文所提制導律在制導末段的過載變化較為平緩，且沒有達到飽和。結合攻擊時間的可控范圍以及表2進行分析可知，當所需的攻擊時間靠近攻擊時間可控范圍I的上邊界(tdmax)時，本文的所提制導律控制性能要優于文獻[5]的制導律。

圖5是初始前置角為0°，即導彈沿著彈目連線飛行的特殊情形。由圖5可看出文獻[5]的制導律無法實現攻擊時間控制。這是因為其制導指令在初始前置角為0°時是無窮的，無法進行攻擊時間的控制。故其導彈的過載和前置角保持不變(見圖5)，導彈沿彈目連線飛行直到擊中目標，無法實現攻擊時間控制。而本文所提出的制導律在初始前置角為0°時，能夠很好地實現視場角約束下的攻擊時間控制。

以上仿真結果表明，本文所提制導律在所需攻擊時間較大時的控制效果要優于對比文獻，而當所需攻擊時間不大時，兩種方法的控制性能相當。此外，本文所提制導律沒有控制奇點，表明所提制導律具有一定的優越性。

圖4 本文制導律與現有制導律的對比Fig.4 Comparison of the proposed and existing guidance laws

圖5 初始前置角為0°的仿真結果Fig.5 Simulated results at zero initial leading angle

3.3 應用于協同攻擊

假設3枚具有不同速度和不同初始條件的導彈參與協同制導，所需的攻擊時間相同。各枚導彈的仿真參數如表3所示，其他條件與3.1節相同。

表3 協同攻擊的仿真參數Tab.3 Simulation parameters for cooperative attack

圖6為不同導彈協同攻擊的仿真結果。圖6(d)中vi和tfi分別為各枚導彈的速度以及在純比例導引法下的飛行時間，i=1,2,3. 3枚導彈在純比例導引法下的飛行時間tfi分別為34.27 s、33.97 s以及36.93 s. 由文獻[25]所計算出的各枚導彈攻擊時間可控范圍分別為I1、I2和I3(具體范圍見表3)。因此，為滿足假設條件且實現各枚導彈同時擊中目標，所選擇的攻擊時間td應滿足td∈IR，其中IR=I1∩I2∩I3. 本算例所選擇的攻擊時間為40.00 s，滿足要求。由圖6可知，本文所提制導律能夠很好地應用于協同攻擊，實現不同導彈同時擊中目標，且在整個制導過程中滿足導引頭視場角約束。

4 結論

本文針對靜止目標，對帶有視場角約束的攻擊時間控制問題開展深入研究，通過理論分析和數值仿真驗證，得到以下結論：

1)本文所提滑模攻擊時間控制制導律，能夠很好地實現視場角約束下的攻擊時間增大或減小的控制。解決了文獻[5]所存在的初始前置角為0°時無法進行攻擊時間控制的問題，并在某些條件下具有更優的制導性能。仿真結果表明，所設計的制導律應用于導彈協同攻擊制導問題具有較好的效果。

2)通過理論分析證明了本文所提制導律能夠滿足視場角約束和攻擊時間控制的Lyapunov穩定性條件。

3)通過理論分析表明，當攻擊時間控制實現時，本文所提制導律將演變為比例導引法。

圖6 協同攻擊的仿真結果Fig.6 Simulated results for cooperative attack

4)本文所提帶有視場角約束的滑模攻擊時間控制制導律，可作為對考慮視場角約束的攻擊時間控制制導方法的補充。