一種新型GO法操作符及其在多態系統中的應用

江秀紅， 段富海， 胡愛玲

(1.沈陽航空航天大學 電子信息工程學院, 遼寧 沈陽 110136； 2.大連理工大學 機械工程學院, 遼寧 沈陽 116024)

0 引言

目前，針對復雜系統的可靠性分析一般假設系統及其組成單元只有成功和故障兩種狀態。例如常用的可靠性框圖和故障樹(FTA)等系統可靠性分析方法，一般將研究對象劃分為成功和故障兩種狀態，用“是”與“否”的二值邏輯關系來描述系統能否完成規定的功能。近年來，系統日益朝著大型化、復雜化、精密化、智能化的方向發展，這時再將系統及其組成單元粗略的劃分為兩種狀態，顯然不符合實際情況，也不能很好地解決復雜系統的諸多可靠性分析問題[1]。

多態系統(MSS)是指具有兩種以上性能狀態(或稱工作效率狀態)的系統[2-3]。與二態系統相比，MSS能夠更好地揭示系統潛在的失效機理、預測系統剩余壽命[2]。但MSS的非布爾邏輯屬性增加了系統可靠性分析難度，目前MSS采用的可靠性建模和分析方法主要有4大類：1) 基于二態系統布爾模型擴展出的多值模型[4-6]；2) 隨機過程模型[7-9]；3) 通用生成函數(UGF)[10-11]；4)隨機仿真等[12-13]。GO法是一種有效的系統可靠性分析方法，非常適合解決多態復雜系統可靠性建模分析問題，目前已在核電、電網配電、軌道交通等高可靠領域得到成功應用[14-16]。但縱觀現有的17種GO操作符，并不存在能模擬任意多態單元的操作符，尤其是對輸入輸出存在復雜映射關系的多態單元建模時，現有GO操作符仍顯不足。為滿足MSS可靠性建模的需求，有必要引入新的GO操作符模型。

本文首先介紹了多態系統的定義，然后引入多態操作符的概念，給出其運算規則和定量算式。分別以某供水系統和捷聯慣導系統為例，基于多態操作符建立系統的可靠性分析模型，并通過仿真計算給出了多態系統可靠性分析結果，驗證了所提多態復雜系統可靠性分析方法的可行性。

1 多態系統

某MSS由n個單元(元件、部件或子系統)構成，其中單元i具有mi個可能的性能狀態，其狀態集合可以表示為

si={si,1,si,2,…,si,j,…,si,mi} ，

(1)

式中：si∈S，S為系統可能的狀態取值；si,j表示單元i處于狀態j. 單元i在時刻t處于各狀態的概率可表示為

Pi(t)={Pi,1(t),Pi,2(t),…,Pi,j(t),…,Pi,mi(t)}，

(2)

式中：Pi,j(t)為單元i在時刻t處于狀態j的概率。系統輸出狀態ss∈S，且ss是各單元狀態si的函數，即

ss=ψ(s1,s2,…,sn)=ψ(s):{s1,1,s1,2,…,s1,m1}×…× {sn,1,sn,2,…,sn,mn}→{1,2,…,N},

(3)

式中：ψ(·)為系統的結構函數。對ψ(·)作如下假設：1) 結構函數是單調的；2) 所有單元相互獨立，并且與系統相關。

2 多態操作符

2.1 現有GO操作符存在的不足

GO法通過把原理圖、流程圖或工程圖翻譯成GO圖，利用操作符和信號流來描述具體單元的運行和邏輯關系，最后根據操作符的運算規則實現系統可靠性的定量分析。

GO法包含表征單元輸入輸出不同邏輯關系的17類操作符，但除信號發生器和多信號發生器外(類型4和類型5)，其余操作符或是邏輯操作符(類型2，類型10，類型11)；或是類似于邏輯操作符，僅對輸入信號進行各種處理以產生輸出(類型8，類型9，類型12，類型13，類型14，類型15)；或是雖模擬具體單元，但要求單元的狀態數不超過3(類型1，類型3，類型6，類型7，類型16，類型17)。因此GO法中并不存在能模擬任意多態單元的操作符，同樣也無法為多態系統構建出準確的可靠性分析模型。雖然類型13操作符從定義來看能模擬單元更廣泛、更復雜的功能，原則上可以用該操作符來模擬多態單元的功能(多態單元的狀態數據作為該操作符的一個輸入)，但是該操作符由于運算規則較復雜，故應用較少。鑒于此，下面引入一類新的GO操作符—多態操作符。

2.2 相關定義

仍沿用GO法對狀態的定義，用整數1～N來表示各性能狀態，1代表成功，N代表失效；2～(N-1)表示介于成功和失效間的(N-2)個中間狀態。

定義1聯合狀態矩陣。兩獨立單元各具有mi個狀態，且狀態xi∈S，S={1,2，…，N}，i=1,2，兩單元構成系統的輸出狀態為xs=ψ(x1,x2)，則系統輸出狀態與兩單元狀態之間的關系用矩陣表示為

(4)

矩陣XS中元素為兩獨立單元不同狀態組合下對應的系統輸出狀態值，m1×m2個元素遍歷了兩單元所有可能的狀態組合，稱XS為兩獨立單元的聯合狀態矩陣。ψ(x1,x2)可根據單元的實際工作情況來確定。

例如，圖1為某三單元MSS可靠性框圖。若單元間的結構函數為

圖1 某三單元MSS的可靠性框圖
Fig.1 Block diagram of reliability of some MSS with three units

x

1

與

x

2

的聯合狀態矩陣

以及與

x

3

作用后的聯合狀態矩陣

X

S

分別為

s1～s4代表4個臨時狀態。

(5)

2.3 多態操作符

圖2 多態操作符
Fig.2 Multi-state operator

基于以上定義引出多態操作符，其符號如圖2所示，圖中

S

I

為輸入信號，

S

O

為輸出信號，多態操作符模擬具有

N

個狀態的單元，其中

N

為大于等于2的整數。運算規則如表1所示，表中：

x

I

為輸入信號的狀態值，假設有

m

1

個狀態，分別為

S

I,1

,

S

I,2

, …,

S

I,m1

；

x

C

為操作符所代表單元的狀態值，假設有

m

2

個狀態，分別為

S

C,1

,

S

C,2

, …,

S

C,m2

；

x

O

為輸出信號的狀態值。

表1 多態操作符的運算規則Tab.1 Algorithm of multi-state operator

(6)

3 算例

3.1 算例1：某供水系統可靠性分析

3臺水泵正常工作時的流量均為10 t/s，降級工作時流量為5 t/s，出現失效時流量降為0 t/s. 現利用3臺水泵給某設備供水，當供水量WS≥20 t/s時，設備正常工作；當10 t/s≤WS<20 t/s時，設備降級工作；當WS<10 t/s時，設備停止工作。已知3臺水泵正常工作的概率均為0.80，降級工作的概率為0.15，停止工作的概率為0.05，求設備處于正常、降級和失效3種狀態的概率。

由已知條件，水泵有3個狀態：正常狀態1(10 t/s)、降級狀態2(5 t/s)和失效狀態3(0 t/s)；設備也有對應的3個狀態：正常狀態1(供水量≥20 t/s)、降級狀態2(20 t/s>供水量≥10 t/s)和失效狀態3(供水量<10 t/s)。此系統具有多個輸入多個狀態，可采用本文所引入的多態操作符進行系統可靠性分析：

1) 畫出系統GO圖，如圖3所示。操作符5-1、操作符5-2、操作符18-3分別表示水泵1～水泵3，操作符5-1和操作符5-2合并后的輸出信號，再與操作符18-3作運算。

圖3 供水系統GO圖Fig.3 GO diagram of water supply system

2) 確定各操作符的狀態概率矩陣：

3) 計算3個水泵輸出的聯合狀態矩陣XS：

4) 計算3個水泵間的聯合狀態概率矩陣：

5) 計算輸出信號SO的狀態概率矩陣：

因此3個水泵供水量≥20 t/s(設備正常工作)的概率為0.950 0，20 t/s>供水量≥10 t/s(設備降級工作)的概率是0.048 7，供水量<10 t/s(設備發生失效)的概率是0.001 3.

貝葉斯網絡(BN)具有圖形化表達和不確定性推理的優勢，近年來也成功應用于多態系統的可靠性分析。下面采用BN對算例1進行可靠性分析[17]。首先建立系統的BN模型如圖4所示。

C1C2C3X|C1,C2,C3C1C2C3X|C1,C2,C3111122321121231211312322121123331221311112323122131131321322321213323222211132332121331221323323221133332222

圖4 供水系統的BN模型

Fig.4 BN model of water supply system

結點C1、C2、C3代表基本事件水泵供水，X表示需水設備，水泵及需水設備的狀態劃分與前文相同。分別給定水泵3種狀態的初始概率，并以C1、C2、C3的不同狀態為條件，用條件概率表分析結點X的狀態，即P(C1=1)=P(C2=1)=P(C3=1)=0.80，P(C1=2)=P(C2=2)=P(C3=2)=0.15，P(C1=3)=P(C2=3)=P(C3=3)=0.05.

系統狀態為1時的概率可表示為

P(X=1)=P(C1=1)P(C2=1)+P(C1=1)P(C2=2)· [1-P(C3=3)]+P(C1=1)P(C2=3)P(C3=1)+P(C1=2)P(C2=1)[1-P(C3=3)]+P(C1=2)P(C2=2)P(C3=1)+P(C1=3)P(C2=1)P(C3=1)=0.95，

同樣，可得系統狀態為2和3時的概率分別為P(X=2)=0.048 7、P(X=3)=0.001 3.

此結果與本文所提算法計算結果一致，但本文的多態操作符與BN等傳統方法相比，在以下3個方面更具有優勢：

1)多態操作符對單元的狀態維數和系統復雜度不敏感，只要能確定單元的結構函數及狀態概率數據，沿信號流的流向，按多態操作符的算式逐一計算，即可獲得系統最終輸出信號的概率數據。

2)多態操作符可描述輸入輸出間的多種復雜映射關系，能更好地模擬具有復雜邏輯關系的單元。

3)若單元的結構函數發生變化，則只需調整聯合狀態矩陣及相應的布爾矩陣，無需推翻先前設計好的計算程序。

3.2 算例2：某慣導系統的可靠性分析

圖5是某慣性導航系統的簡化GO圖，該系統更為復雜，且存在冗余。

表2為圖5 GO操作符的數據信息(冗余單元具有相同的概率分布)。表2中λi,0為轉移到提前狀態的瞬時概率，λi,2、λi,3為轉移到兩種故障狀態的瞬時概率，λi,1=1-λi,0-λi,2-λi,3為轉移到成功狀態的瞬時概率。

圖5 某SINS的簡化GO圖Fig.5 Simplified GO diagram of some SINS

表2 操作符狀態轉移率Tab.2 Operator state transition probability

假設采樣時間Δt=1 h，則部分單元和系統(以控顯臺輸出信息有效為成功目標)的動態可靠性輸出曲線如圖6所示，表3列出了部分可靠性分析數據。由圖6和表3可見，隨著時間t的增長，各單元以及系統的可靠度(狀態1)逐漸降低，完全失效概率(狀態3)升高。當t=1 265 h時系統可靠度低于0.99，當t=4 918 h時系統可靠度低于0.95.
表3中t=4 918△h所在行表示所有單元為最小配置(無冗余)時的可靠性數據，此時系統可靠度僅為1.657×10-2. 與t=4 918 h所在行的數據對比可見(存在冗余)，多單元復雜系統中，關鍵單元的冗余配置對于提高系統可靠性具有至關重要的作用。

圖6 單元和系統的動態可靠性輸出曲線Fig.6 Dynamic reliability curves of components and system

4 結論

為提高GO法構建多態復雜系統可靠性分析模型的準確性與靈活性，本文補充了一種新的GO操作符—多態操作符。給出了該操作符的運算規則和定量算式，并將所提的多態操作符應用于某供水系統和慣導系統進行了可靠性分析，結果驗證了所提多態操作符的可行性，評價結果可為系統和單元性能的實時準確判斷提供可信依據。所得主要結論如下：

表3 部分單元和系統的動態可靠性數據Tab.3 Reliability data of some components and system

1)多態操作符可實現輸入與輸出間的多種復雜映射關系，彌補了GO操作符存在的不足，理論上可替代GO法中的任何一種操作符。

2)多態操作符對狀態維數和系統的復雜程度不敏感，只要單元的結構函數和狀態概率確定，便可獲得系統最終輸出信號的狀態概率數據。

3)當單元的結構函數發生變化時，無需推翻先前的程序設計，提高了程序的可移植性。