Gray-Scott系統(tǒng)的精確行波解

鄭任翔，劉小華，宋佳謙

（貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴州貴陽(yáng)550025）

1 引言

非線性偏微分方程行波解的研究是許多領(lǐng)域的重要課題，行波解是偏微分方程及其耦合系統(tǒng)的一種精確解，國(guó)內(nèi)外諸多文獻(xiàn)成果也表明對(duì)方程和耦合系統(tǒng)進(jìn)行行波解考慮也是有意義的。國(guó)內(nèi)外學(xué)者們給出許多有效的求解行波精確解的方法，比如，逆散射變換法[1]、Hirota's法[2]、Backlund[3]and Darboux變換法[4]、齊次平衡法[5]、待定系數(shù)法[6]等等。并且借助這些方法給出了許多偏微分方程和發(fā)展方程的精確孤波解、精確行波解的顯式表達(dá)式[7-9]。

本文主要考慮Gray-Scott系統(tǒng)

的精確行波解。Gray-Scott描述的是一類化學(xué)反應(yīng)過(guò)程，是反應(yīng)過(guò)程的無(wú)量綱控制方程。因此構(gòu)建此類非線性方程的行波解有其重要的科學(xué)意義和廣泛的應(yīng)用背景。Arjeen.Doelman和Robert.A.Cardner[11]，通過(guò)調(diào)整周期分岔點(diǎn)和霍普夫分岔點(diǎn)的區(qū)間尺度得到了一維的Gray-scott系統(tǒng)的奇異同宿穩(wěn)定解和空間周期解。魏俊成通過(guò)改變二維Gray-scott系統(tǒng)的參數(shù)得到了二維不可逆Gray-scott系統(tǒng)的解的存在性和單個(gè)波動(dòng)方程的穩(wěn)定解[12]，等等，在此研究的的基礎(chǔ)上，本文利用 改進(jìn)的方法，給出了Gray-Scott系統(tǒng)新的精確行波解。

2 Gray-Scott系統(tǒng)的精確行波解

首先對(duì)Gray-Scott系統(tǒng)做行波變換，令

利用齊次平衡原則，確定e和g的值，在（2）式中UV2為非線性項(xiàng)，而U"，DV"為最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，所以

由（15）+（18）可得 D(1-k)=1-k 則 D=1。由（16）+（19）可得A=R

由（17）+（20）可得 A-Aa0-Rb0=0，因此 b0=1-a0(a0為任意常數(shù)）.

綜上所述，方程組的解為：

a0=M(M為任意常數(shù)），(M 為任意常數(shù)），

根據(jù)文獻(xiàn)[10]中的結(jié)論可以得到Gray-Scott系統(tǒng)（1）的精確行波解為：

其中 m，n，k，C1，C2為任意實(shí)參數(shù)，i為虛數(shù)單位，x-ct.

3 結(jié)論

本文應(yīng)用改進(jìn)的G'/G方法，獲得了Gray-Scott系統(tǒng)在四個(gè)不同條件下的8組新的精確解，包括指數(shù)函數(shù)解、三角函數(shù)解、雙曲函數(shù)解。據(jù)我們所知，這些解在以前的文獻(xiàn)中還查找不到。這些新解有助于人們更好的了解Gray-Scott系統(tǒng)所描述的化學(xué)反應(yīng)過(guò)程。此外可以猜想，類似本文的方法，借助其它的求解方法，還可以構(gòu)造Gray-Scott系統(tǒng)更多的新