由三角形“斜著放”引起的思考

方小春

龍游縣小南海小學

一、緣起——“斜著放”引發的問題

一位教師在揭示了“高”的定義并加以演示作“高”方法后，出示一道習題（如下圖）。把三角形“斜著放”后，雖然大部分學生能基本完成，但學生出錯情況很嚴重，正確率不到40%。為什么學生對“作高”感到如此困難？讓筆者陷入深深地思考之中……

二、調查——“多維度”調查成因

三角形畫“高”，歷來被教師公認為難點。筆者走進課堂，深入學生，多角度展開調查研究，發現三角形畫“高”仍存在問題，其典型錯誤如下幾種類型（見下表）：

第一類：“高”沒有從頂點出發（見表③⑧）

第二類：“高”與底不對應（見表①⑥⑩）

第三類：“高”與底假垂直（見表②⑦⑨）

第四類：不會找直角邊上的“高”（見表④⑤）

學生已經學習了畫垂線和平行四邊形的“高”等知識。但為什么學生在畫三角形的“高”會出現這么多的錯誤呢？究其原因，主要是以下幾方面造成的：

1.源于感知不準確——不理解什么是三角形的“高”。

學生學習了平行四邊形的“高”，有一定的經驗基礎，部分學生認為三角形“高”與平行四邊形“高”的含義相同，畫“高”的方法也相同。其實兩者是有明顯區別的：平行四邊形的“高”是平行線之間的距離，而三角形的“高”是頂點到對邊的距離。教學中，教師沒有讓學生充分感知，點破其中的區別，學生便會出現此類錯誤。

2.源于理解不到位——三角形的高與底邊不對應。

畫“高”時，不明確三角形中底與“高”的相互對應關系。生活中接觸的“高”，一般是以水平邊為底，而三角形“斜著放”時，所對應的高不是跟水平邊垂直，這與生活經驗產生了強烈的認知沖突，學生難以理解三角形的“高”與底的對應關系。

3.源于操作不正確——三角尺不知怎么擺。

學生在畫高時，由于三角尺擺放不夠規范，到位。三角形畫“高”時需要做到“雙重合”，即“邊邊重合”、“點邊重合”。 觀察學生的畫“高”過程，起初確實能做到“邊邊重合”，但三角板移動至“點邊重合”時，便會操作不到位而出錯。

4.源于練習不到點——不知道怎么辦。

學生學了畫三角形的“高”后，教師通常會設置大量練習，以求熟能生巧。但這種機械的重復訓練，當學生面對“斜著放”的三角形，還是會茫然不知所措。

三、解決——“多角度”有效解決

其實，畫三角形的“高”并不簡單！我們必須根據學生的認知規律及已有經驗，找準新知的突破口，讓學生在知識的形成過程中完善并重組自己的認知結構，形成能力。

1.引導學生感悟“高”。

數學來源于生活而又高于生活。初始對高的理解是生活中房子的“高”，旗桿的“高”，大山的“高”等，學生對于“高”的理解往往定格在“豎著”的，認為三角形的高也是與水平面的垂直距離。

首先，幫助學生理清“頂點”和“對邊”等概念，讓學生分別指出三角形的頂點與對邊，突出對應關系，幫助學生形成直觀感知。其次，感悟“高”的本質，可引導學生畫一條表示“頂點A到它的對邊BC之間距離的線段”，在操作中初步感知“高”。為了打破學生的思維定勢，教師可以設置旋轉的三角形，以強化對三角形高的本質特征的理解。（如下圖）

2.啟發學生明確“高”。

畫“高”，其核心是“高”與“底”互相垂直，直角三角形和鈍角三角形的高具有一定的難度，把三角形從一般到特殊巧妙轉化，讓學生經歷數學知識之間的變化與聯系，進一步明確三角形的“高”。（如下圖）

其目的是為了讓學生明白三角形的形狀發生了變化，高度也發生了變化，但是高的實質不變，是頂點到對邊的垂直線段。同時，在一個三角形中應有三組不同的“底”和“高”這一知識點成功滲透。教師不能急于求成，要循序漸進，不斷積累“高”的表象，并根據頭腦中所反映的“高”來指引操作，促進知識的建構。

3.引導學生建構“高”。

如何才能把“高”這一抽象的概念變得簡單而深刻呢？首先，回歸知識原點，畫已知直線的垂線，進行對比。（如下圖）

其實，學生在畫三角形“高”時，會受到其它頂點和邊的干擾，導致判斷失真，應讓學生進一步明確“底”所對應的“頂點”，然后引導學生正確畫“高”。給孩子們總結畫高的方法：一合(三角板直角邊和底邊重合)；二移(沿著底邊移動三角板，找到頂點)；三畫(沿著三角板的另一條直角邊畫出高)；四標(在直線上標出直角符號)，這樣，學生就能畫出準確的“高”。

4.激勵學生完善“高”。

學生畫三角形的“高”應深入到對三角形“高”的意義的理解上。教學時，要把握好知識的“生長點”與“延伸點”，注重知識之間的聯系與對比。學生學了畫銳角三角形的“高”后會思維定勢，即認為“高”都在三角形內部。因此，教師要幫助學生理清三種圖形高的聯系與區別 （如下圖），引導學生感受數學的整體性，從而完善對“高”知識的建構。

綜上所述，唯有將問題聚焦于學生理解知識的核心部位，清晰梳理、深度反思，幫助學生打開心結，突破作高困難，提升他們思維的靈活性，讓我們的課堂變得豐富、厚實，這樣才能實現真正意義上的課堂高效。