漸近非擴張映射不動點與均衡解的公共迭代Halpern型方法*

王元恒, 陳靈法

(浙江師范大學 數學與計算機科學學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

設N為正整數集且R為實數集,H為帶有內積(·,·)和范數‖·‖的實Hilbert空間,C?H為非空閉凸子集.用?和→分別表示弱收斂和強收斂.映射T:C→C為自映射,且F(T)表示映射T的不動點集，即F(T)={x∈C:Tx=x}.若滿足

‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖, ?x,y∈C,

則稱映射T為非擴張映射.若存在數列{kn}?[1,∞)，kn→1(n→∞),并且滿足

‖Tnx-Tny‖≤kn‖x-y‖, ?x,y∈C,

則稱映射T為具有系數列{kn}的漸近非擴張映射.顯然,若kn≡1,則漸近非擴張映射T為非擴張映射.

,y)≥0, ?y∈C.

(1)

均衡問題、變分不等式問題、不動點問題等是非線性分析中的一些基本問題,在電路分析、大范圍經濟理論、力學、圖像處理、最優化理論及非線性分析自身發展中有著廣泛的應用,從而引起了許多學者對這些問題解的存在性和計算方法的廣泛研究[1-13].其中,Halpern型迭代方法已經向黏滯的、隱形的、多重的等迭代方法發展,通過附加某些條件得到相應的收斂性,并且用各種迭代程序求不動點集和均衡問題解的公共元.

2013年,Chuang等[14]研究了用下列迭代程序求關于帶擾動的擬非擴張映射的不動點集和均衡問題解的公共元:

并證明了該序列在一些確定條件下是強收斂的.

2010年,Lou等[15]證明了由黏性迭代式xn+1=αnf(xn)+(1-αn)Tnxn生成的{xn}強收斂到漸近非擴張映射T的不動點.2017年,Fan等[16]研究了下列迭代方程：

并證明了此迭代序列{xn}強收斂到非擴張映射T的不動點x*.

在上述工作的激勵下，筆者研究用下面新的三步Halpern型迭代程序求關于漸近非擴張映射的不動點和平衡問題解的公共元:

(2)

式(2)中:C?H為非空有界閉凸子集;T:C→C為具有系數列{kn}的漸近非擴張映射;{αn},{βn},{λn},{γn}為(0,1)上的實數列;{ξn}?[a,+∞),a>0.并且在較弱條件下證明了該迭代系列{xn}的強收斂性定理.本文將不動點問題與均衡問題相結合，并將非擴張映射推廣到漸近非擴張映射，迭代過程也推廣到了三步迭代法，從而推廣或部分推廣了許多文獻的主要結果[1,3-5,7-9,11-16].

1 預備知識

以下總設H為實Hilbert空間,C?H為非空閉凸子集.對?x∈H,若PC:H→C,PC(x)∈C滿足

‖x-PCx‖≤‖x-y‖, ?y∈C,

則稱PC為度量投影,且PC(x)是唯一存在的.

引理1[17]不等式‖x+y‖2≤‖x‖2+2(y,x+y),?x,y∈H恒成立.

引理3[14]設C?H為非空有界閉凸子集,令T:C→C為漸近非擴張映射且F(T)≠?,若xn?x且(I-T)xn→y,則 (I-T)x=y.

設C?H為閉凸子集,令G:C×C→R為二元函數,為解決均衡問題,總假設G:C×C→R滿足下列條件：

(A1)對?x∈C,G(x,x)=0;

(A2)G是單調的,即對?x,y∈C,G(x,y)+G(y,x)≤0;

(A4)對每個x∈C,G(x,·)為凸下半連續的.

引理5[19]設二元函數G:C×C→R滿足條件(A1)～(A4).對ξ>0和z∈H,定義映射Tξ:H→C為

則下列結論成立:

1)Tξ是強非擴張的,即‖Tξz1-Tξz2‖2≤(Tξz1-Tξz2,z1-z2),?x,y∈C;

2)Tξ是單值的;

3)EP(G)是C的閉凸子集;

4)EP(G)=F(Tξ).

2 主要結果

定理1設H為實Hilbert空間，C?H為非空有界閉凸子集且θ∈C.設二元函數G:C×C→R滿足條件(A1)～(A4).令T:C→C為具有系數列{kn}的漸近非擴張映射,且Ω=F(T)∩(EP)≠?.假設{αn},{βn},{λn},{γn}為(0,1)上的實數列,{ξn}?[a,+∞),a>0.令{xn}為由式(2)迭代生成的序列.若其迭代系數序列滿足:

(6)

則序列{xn}強收斂到T的不動點和均衡問題(1)解的公共元x*∈F(T)∩EP(G).

證明 證明過程將分成5步.

(7)

由式(2)和式(7)可以得到

(8)

從式(8)可以得出

從而可以根據歸納法得到

所以得到 {xn}有界,進而{qn},{zn}和{Tnyn}也有界.

第2步 證明‖xn+1-xn‖→0.當n→∞時,根據迭代式(2)可以得到下面等式:

zn+1-zn=(1-αn+1)xn+1+αn+1Tn+1yn+1-(1-αn)xn-αnTnyn=

(1-αn+1)xn+1-(1-αn)xn+1+(1-αn)xn+1-(1-αn)xn+

αn+1Tn+1yn+1-αnTn+1yn+1+αnTn+1yn+1-αnTnyn=

(1-αn)(xn+1-xn)-(αn+1-αn)xn+1+αn(Tn+1yn+1-Tnyn)+(αn+1-αn)Tn+1yn+1=

(1-αn)(xn+1-xn)-(αn+1-αn)xn+1+αn(Tnyn+1-Tnyn)+

(αn+1-αn)Tn+1yn+1+αn(Tn+1yn+1-Tnyn+1),

從而

‖zn+1-zn‖≤(1-αn)‖xn+1-xn‖+|αn+1-αn|‖xn+1‖+αn‖Tnyn+1-Tnyn‖+

|αn+1-αn|‖Tn+1yn+1‖+αn‖Tn+1yn+1-Tnyn+1‖≤

(1-αn)‖xn+1-xn‖+|αn+1-αn|‖xn+1‖+αnkn‖yn+1-yn‖+

|αn+1-αn|‖Tn+1yn+1‖+αn‖Tn+1yn+1-Tnyn+1‖≤

(1-αn)‖xn+1-xn‖+|αn+1-αn|‖xn+1‖+|αn+1-αn|‖Tn+1yn+1‖+

αn‖Tn+1yn+1-Tnyn+1‖+αnkn(1-γn+1)‖xn+2-xn+1‖+

αnknγn‖xn+1-xn‖+αn‖Tn+1yn+1-Tnyn+1‖≤

(1-αn+αnknγn)‖qn+1-qn‖+|αn+1-αn|‖xn+1‖+|αn+1-αn|‖Tn+1yn+1‖+

αn‖Tn+1yn+1-Tnyn+1‖+αnkn(1-γn+1)‖qn+2-qn+1‖.

(9)

并且,

qn+2-qn+1=(1-βn+1)(λn+1qn+1)+βn+1zn+1-(1-βn)(λnqn)-βnzn=

λn+1qn+1-βn+1λn+1qn+1+βn+1zn+1-λnqn+βnλnqn-βnzn=

λn+1qn+1-λn+1qn+λn+1qn-λnqn-βn+1λn+1qn+1+βnλnqn+1-βnλnqn+1+

βnλnqn+βn+1zn+1-βn+1zn+βn+1zn-βnzn=

λn+1(qn+1-qn)+(λn+1-λn)qn-(βn+1λn+1-βnλn)qn+1-βnλn(qn+1-qn)+

βn+1(zn+1-zn)+(βn+1-βn)zn=

(λn+1-βnλn)(qn+1-qn)+(λn+1-λn)qn-(βn+1λn+1-βnλn)qn+1+

βn+1(zn+1-zn)+(βn+1-βn)zn.

(10)

因此,由式(9)和式(10)得到

‖qn+2-qn+1‖≤|λn+1-βnλn|‖qn+1-qn‖+|λn+1-λn|‖qn‖+

|βn+1λn+1-βnλn|‖qn+1‖+βn+1‖zn+1-zn‖+|βn+1-βn|‖zn‖≤

|λn+1-βnλn|‖qn+1-qn‖+|λn+1-λn|‖qn‖+|βn+1λn+1-βnλn|‖qn+1‖+

|βn+1-βn|‖zn‖+(βn+1-βn+1αn+βn+1αnknγn)‖qn+1-qn‖+

βn+1|αn+1-αn|‖Tn+1yn+1‖+βn+1αn‖Tn+1yn+1-Tnyn+1‖+

βn+1αnkn(1-γn+1)‖qn+2-qn+1‖+βn+1|αn+1-αn|‖xn+1‖=

(|λn+1-λnβn|+βn+1-βn+1αn+βn+1αnknγn)‖qn+1-qn‖+|λn+1-λn|‖qn‖+

βn+1|αn+1-αn|‖Tn+1yn+1‖+|βn+1λn+1-βnλn|‖qn+1‖+|βn+1-βn|‖zn‖+

βn+1αn‖Tn+1yn+1-Tnyn+1‖+βn+1|αn+1-αn|‖xn+1‖+βn+1αnkn(1-γn+1)‖qn+2-qn+1‖.

從而

(1-δn)‖xn+1-xn‖+M(|λn+1-λn|+|βn+1-βn|+

2βn+1|αn+1-αn|+|λn+1βn+1-λnβn|+βn+1αn)≤

(1-δn)‖xn+1-xn‖+M(2|λn+1-λn|+2|βn+1-βn|+2|αn+1-αn|+βn+1αn).

于是，利用引理2得到‖xn+1-xn‖→0,n→∞.

第3步 證明‖xn-Txn‖→0.根據迭代式(2)可以得到

‖qn+1-zn‖=‖(1-βn)(λnqn)+βnzn-zn‖=(1-βn)‖λnqn-zn‖.

由式(3)知，當n→∞時,‖qn+1-zn‖→0,并且當n→∞時，

‖yn-xn‖=‖γnxn+(1-γn)xn+1-xn‖≤|1-γn|‖xn+1-xn‖?‖yn-xn‖→0.

再由迭代式(2)可得,當n→∞時，

‖zn-xn‖=‖(1-αn)xn+αnTnyn-xn‖=‖-αnxn+αnTnyn‖≤|αn|‖-xn+Tnyn‖?‖zn-xn‖→0.

又因為

‖zn-Tnyn‖=‖(1-αn)xn+αnTnyn-Tnyn‖=(1-αn)‖xn-Tnyn‖≤

(1-αn)‖xn-xn+1‖+(1-αn)‖xn+1-Tnyn‖≤(1-αn)‖qn-qn+1‖+(1-αn)‖qn+1-Tnyn‖,

所以

‖qn+1-Tnyn‖=‖qn+1-zn+zn-Tnyn‖≤‖qn+1-zn‖+‖zn-Tnyn‖≤

‖qn+1-zn‖+(1-αn)‖qn-qn+1‖+(1-αn)‖qn+1-Tnyn‖.

這意味著

綜上可得,當n→∞時,‖qn+1-Tnyn‖→0.又由迭代式(2)得

‖xn-Tnxn‖≤‖qn-Tnqn‖=‖qn-qn+1+qn+1-Tnyn+Tnyn-Tnqn‖≤

‖qn-qn+1‖+‖qn+1-Tnyn‖+‖Tnyn-Tnqn‖≤‖qn-qn+1‖+‖qn+1-Tnyn‖+kn‖yn-qn‖.

從而,當n→∞時,

‖xn-Tnxn‖→0.

因為T為漸近非擴張映射,所以

‖xn+1-Txn+1‖≤‖qn+1-Tqn+1‖=‖qn+1-Tn+1qn+1+Tn+1qn+1-Tqn+1‖≤

‖qn+1-Tn+1qn+1‖+‖Tn+1qn+1-Tqn+1‖≤‖qn+1-Tn+1qn+1‖+k1‖Tnqn+1-qn+1‖=

k1‖Tnqn+1-Tnqn+Tnqn-qn+qn-qn+1‖+‖qn+1-Tn+1qn+1‖≤

‖qn+1-Tn+1qn+1‖+k1‖Tnqn+1-Tnqn‖+k1‖Tnqn-qn‖+k1‖qn-qn+1‖≤

‖qn+1-Tn+1qn+1‖+k1kn‖qn+1-qn‖+k1‖Tnqn-qn‖+k1‖qn-qn+1‖.

綜上所述,得到了當n→∞時,‖xn-Txn‖→0.

第4步 證明xn→x*∈F(T).因為{xn}有界,所以在Hilbert空間中,存在弱收斂子列{xni},令它收斂到x*,記為xni?x*∈H.根據引理3可得x*∈F(T).對n≥1，令wn=(1-βn)qn+βnzn,由迭代式(2)可得

qn+1=wn-(1-βn)(1-λn)qn.

已知{xn}有界,并根據式(3)可知,當n→∞時,

‖qn+1-wn‖=(1-βn)(1-λn)‖qn‖?‖qn+1-wn‖→0.

(11)

所以,存在子列{wni},使得wni?x*.并且當n→∞時,

qn+1=wn-(1-βn)(1-λn)qn=(1-(1-βn)(1-λn))wn-(1-βn)(1-λn)(qn-wn)=

(1-(1-βn)(1-λn))wn-(1-βn)(1-λn)βn(qn-zn).

(12)

由引理1知,

‖wn-x*‖2=‖(1-βn)qn+βnzn-x*‖2=‖(qn-x*)-βn(qn-zn)‖2≤

‖qn-x*‖2-2βn(qn-zn,wn-x*).

再根據引理1、式(11)和式(12)可以得到

‖xn+1-x*‖2≤‖qn+1-x*‖2=

‖(1-(1-λn)(1-βn))(wn-x*)-(1-λn)(1-βn)βn(qn-zn)-(1-λn)(1-βn)x*‖2≤

(1-(1-λn)(1-βn))2‖wn-x*‖-2(1-λn)(1-βn)(βn(qn-zn)+x*,qn+1-x*)≤

(1-(1-λn)(1-βn))‖wn-x*‖-2(1-λn)(1-βn)βn(qn-zn,qn+1-x*)-

2(1-λn)(1-βn)(x*,qn+1-x*)≤

(1-(1-λn)(1-βn))(‖qn-x*‖2-2βn(qn-zn,wn-x*))-

2(1-λn)(1-βn)βn(qn-zn,qn+1-x*)-2(1-λn)(1-βn)(x*,qn+1-x*)≤

(1-σn)‖qn-x*‖2+σn(-2βn(qn-zn,wn-x*))-

2βn(qn-zn,qn+1-x*)-2(x*,qn+1-x*)=(1-σn)‖qn-x*‖2+σnρn.

且

第5步 證明xn→x*∈EP(G).因為xn=Tξnqn,所以對任意y∈C有

由條件(A2)可得

用ni代替n,得到

對所有的t∈(0,1]和y∈C,令xt=ty+(1-t)x*,則對?xt∈C,

因為‖xni-qni‖→0,并且xni?x*，所以由條件(A4)可以得到0≥G(xt,x*),n→∞.再由條件(A1),(A4)可知0=G(xt,xt)≤tG(xt,y)+(1-t)G(xt,x*)≤tG(xt,y),t>0.因此,

0≤G(xt,y).

令t→0,對每個y∈C有0≤G(x*,y),這意味著xn→x*∈EP(G).

總之,xn→x*∈F(T)∩EP(G).定理1證畢.

3 結 語

并且容易驗證

所以,正是對迭代系數列{αn},{βn},{λn}的條件要求苛刻,才能使我們創造出這樣一類新的與以往不同的迭代逼近算法,并且得到的結果也比較深刻,可以把對非擴張映射問題的研究推廣到漸近非擴張映射,把迭代步驟推廣到三步迭代格式,把均衡解問題和不動點問題結合起來考慮它們公共元的迭代方法,并在較弱的條件下證明了該迭代序列的強收斂性,其結果具有更廣泛的適應性.例如,在本文定理1中,當取γn=0,且un=λnqn時,即為文獻[5]所給的主要結果;當取γn=0，均衡函數G≡0時，即為文獻[7]中所給的主要結果.所以,本文的結果推廣或部分推廣了近代許多文獻的相應結果[1,3-5,7-9,11-16].