利用最小一乘法改進的灰色模型的導航衛星鐘差預報

于 燁，黃 默，王小青，胡 銳

(1. 中國科學院微電子研究所，北京 100029； 2. 中國科學院大學，北京 100049)

在全球衛星導航系統(global navigation satellite system,GNSS)中，星載原子鐘的鐘差預報在優化導航電文中的鐘差參數、滿足實時動態精密單點定位的需求和提供衛星自主導航所需要的先驗信息方面具有重要作用[1-4]。但是，由于星載原子鐘處于失重環境中，極易受到外界和自身因素的影響而很難去掌握其內部復雜細致的變化規律。因此，如何建立精確的星載原子鐘運行模型就變得非常困難，如何準確預報衛星鐘差也變得極其困難[5-7]。

近年來，國內外眾多學者對衛星鐘差預報從各個方面進行了深入廣泛的研究，提出了短期、中長期和長期的衛星鐘差預報方法，主要有：二次多項式模型(quadratic polynomial model,QPM)、灰色預報模型(grey model,GM(1,1))、卡爾曼濾波模型(Kalman filter,KF)、自回歸模型(autoregressive,AR(p))、自回歸滑動平均模型(auto-regressive moving average,ARMA)和支持向量機模型(support vector machines,SVM)等[8-13]。這些預報方法分別適用于不同情況下導航衛星星載原子鐘鐘差的短期、中長期和長期的預報，但是也均有各自的適用范圍和局限性。灰色預報模型適合處理數據量少、樣本小、信息不全的不確定性問題，具有計算簡便和抗干擾能力強等優點[14]。在應用灰色預報模型進行衛星鐘差預報時，首先要確定模型的參數，參數估計的好壞程度直接影響預報結果的精確程度。然而，在估計灰色預報模型參數時一般采用的是最小二乘法，而最小二乘法是基于誤差平方和最小為原則進行尋優，很容易陷入局部最小。在衛星鐘頻率漂移較大的情況下，應用最小二乘法估計灰色模型參數，并預報衛星鐘差得到的結果會產生較大的誤差。

本文針對在衛星鐘頻率漂移較大的情況下，應用最小二乘法估計灰色模型參數對預報衛星鐘差精度的不足，采用最小一乘法估計灰色模型參數的方法。該方法在進行模型參數求解時，應用線性規劃的方法對目標函數進行尋優，從理論上和方法上克服了最小二乘法估計灰色模型參數的不足，同時，將該改進方法應用到當衛星鐘差波動較大情況下的鐘差預報，通過試驗結果的對比分析，驗證該改進方法的有效性和優越性。

1 灰色預報模型

在灰色系統理論中，GM(1,1)模型是最常用的一種灰色系統模型，它是由一個僅包含單變量的一階微分方程所構成的預報模型，適合對自身數據的預報，而且具有只需要少量數據建模等優點[15]。

(1)

對累加序列X(1)建立一階微分方程

(2)

式中，a為發展系數；u為灰作用量。對式(2)離散化處理，可得矩陣方程

(3)

對模型參數a和u作最小二乘估計

(4)

根據最小二乘法可得矩陣方程式(3)的最小二乘解為

(5)

將式(5)代入式(2)得

(6)

求解時間響應函數式(6)的解為

(7)

由于序列X(1)是序列X(0)的累加序列，因此原始序列X(0)的預報模型為

(8)

式中，k為參與預報的原始數據序列的個數。

一般形式為

(9)

式中，p為預報點數。由以上預報模型即可對未來任意時刻的鐘差數據序列進行預報。

2 基于最小一乘法改進的灰色模型的預報原理

(10)

然后將利用最小一乘法估計出的模型參數代入式(9)中即可對未來任意時刻的鐘差進行預報。由于優化問題式(10)的目標函數不可微，無法利用通常的方法。引入變換

(11)

式中

rk≥0,tk≥0

從而式(10)可改寫為

(12)

利用最小一乘法估計灰色模型的參數問題可以歸結為如下的線性規劃問題

(13)

利用單純形法[16-18]即可解上述的線性規劃問題，從而可求出模型參數a和u的估計值，然后代入式(9)即可對未來任意時刻的鐘差數據序列進行預報。

3 試驗與分析

3.1 數據來源

為了驗證該改進方法的有效性和可行性，從IGS(International GNSS Service)服務器(ftp:∥cddis.gsfc.nasa.gov)上下載了2016年4月3日至9日共7 d的IGS事后精密衛星鐘差產品進行預報試驗，其采樣間隔為15 min，即1 h記錄4個歷元的鐘差數據。對這期間的32顆GPS衛星一周的鐘差數據的波動情況進行了分析，發現PRN24(ⅡF-Cs)號衛星的鐘差波動情況較大。為了說明本文改進方法對預報衛星鐘差具有奇異點或鐘差波動比較大時這種類型的衛星鐘差預報的有效性，筆者選擇了PRN24號衛星的鐘差數據進行預報試驗。圖1(a)為PRN24號衛星一周的鐘差變化情況，圖1(b)為PRN24號衛星鐘差局部放大圖。

圖1 PRN24號衛星一周的鐘差變化和局部放大圖

3.2 建模方案與結果分析

本試驗采用2 h的鐘差數據(2016年4月3日00：00—2016年4月3日2：00)共9個歷元[14]建立灰色預報模型和基于最小一乘法改進的灰色預報模型，然后分別去預報未來10、12、14、16 h短期的鐘差數據，即預報歷元步長為41、49、57、65；預報未來24、48、72、96 h中長期的鐘差數據，即預報歷元步長為97、193、289、385，預報未來7、14、21、28 d長期的鐘差數據，即預報歷元步長為673、1345、2017、2689。將10、12、14、16 h的實際觀測鐘差數據，24、48、72、96 h的實際觀測鐘差數據和7、14、21、28 d的實際觀測鐘差數據與各模型預報的鐘差數據相減即可得到預報誤差。因為IGS服務器上公布的為事后鐘差產品，因此鐘差的自身誤差小于0.1 ns，可以作為真值，使用均方根誤差(RMS)(具體計算公式見式(14))作為衡量預報精度的標準，檢驗各模型所預報結果的好壞程度。圖2—圖4和表1—表3分別給出了傳統灰色模型和基于最小一乘法改進的灰色模型的預報誤差和預報誤差的統計特性，其中MAX、MEAN分別代表最大誤差和平均誤差。

(14)

圖2 PRN24號衛星10、12、14、16 h短期的預報誤差

圖3 PRN24號衛星24、48、72、96 h中長期的預報誤差

圖4 PRN24號衛星7、14、21、28 d長期的預報誤差

表1 兩種方法預報不同步長的指標比較

表2 兩種方法預報不同步長的指標比較

表3 兩種方法預報不同步長的指標比較

結合圖2—圖4和表1—表3可知：在衛星鐘差波動較大的情況下，使用傳統灰色模型對未來10、12、14、16 h的短期預報的均方根分別為1.64、1.57、1.76、2.15 ns，而基于最小一乘法改進的灰色模型預報的均方根分別為1.56、1.48、1.41、1.42 ns,相比于傳統灰色模型的預報精度分別提高了4.90%、5.70%、19.89%、33.95%；使用傳統灰色模型對未來24、48、72、96 h的中長期預報的均方根分別為4.16、7.05、9.45、11.25 ns，而基于最小一乘法改進的灰色模型預報的均方根分別為2.28、2.94、3.24、3.09 ns,相比于傳統灰色模型的預報精度分別提高了45.19%、58.30%、65.71%、72.53%；使用傳統灰色模型對未來7、14、21、28 d的長期預報的均方根分別為15.72、26.28、48.02、58.78 ns，而基于最小一乘法改進的灰色模型預報的均方根分別為2.56、6.00、5.53、10.75 ns,相比于傳統灰色模型的預報精度分別提高了83.72%、77.17%、88.48%、81.69%。

從以上預報試驗的結果可以看出：在衛星鐘差波動較大的情況下，本文改進的方法較傳統灰色模型的預報效果有顯著改善，并且可以對GPS衛星鐘差進行高精度的短期、中長期和長期預報，尤其是對7、14、21、28 d長期預報的精度改善比較大。

4 結 語

最小二乘法具有良好的解析性并且容易求解，使得該方法在灰色預報模型中成為普遍使用的模型參數估計的方法。但是，由于最小二乘法容易陷入局部最小和穩健性較差的缺陷，使得在衛星鐘差波動較大的情況下，預報衛星鐘差時不能較好地擬合。本文提出的基于最小一乘法的灰色預報模型，克服了傳統灰色預報模型的不足。經理論和預報試驗分析，結果也表明了該改進方法的優越性和可行性，從而驗證了基于最小一乘法的灰色預報模型算法思路的有效性，為衛星鐘差預報研究在實際應用中提供了一定的參考與借鑒。