基于Copula函數的浙江沿海流域雨潮組合風險分析

(浙江省水利水電勘測設計院，浙江 杭州 31002)

受地形特征和氣候條件的影響，沿海地區的洪澇災害受多種致災因子共同作用，導致沿海地區的防洪排澇問題異常復雜。暴雨和潮位作為沿海地區兩種典型的致災因子，影響著該地區的防洪排澇，具體表現為當區域發生暴雨時，河口的潮位無法預知，當高潮位發生時，區域產生的降雨復雜多樣，而傳統的單變量頻率分析不能準確反映暴雨和潮位對洪澇形成的相互作用關系，無法明確地給出洪潮遭遇的風險概率，無法解決復雜的防洪排澇問題。因此利用多維分析方法進行科學定量的沿海地區雨潮遭遇風險分析，為流域防洪排澇規劃設計等提供設計參考十分必要。

目前，研究多變量聯合分布的方法很多，而Copula函數因其不受邊緣分布的限制，能夠完整描述變量間的相關性，可根據實際情況靈活構造隨機變量的多維聯合分布，定量準確地計算出不同變量遭遇組合下的風險概率，且計算十分簡便，因此在實際的水文事件組合分析計算中得到了廣泛的應用[1]。Copula函數在水文水資源領域的應用主要包括干支流洪水遭遇分析[2-3]，豐枯遭遇分析[4-5]，洪潮及雨潮遭遇分析[6-7]等，但大部分的研究均集中于廣東[8-9]、福建[10]和長江流域[2]等地區，對浙江省沿海地區的研究較少。

相較于傳統的根據人為經驗進行定性地雨潮組合判斷的方法，本文采用多種不同的Copula函數構建了降雨與潮位的兩變量聯合分布，并最后選取最佳的Copula函數，對浙江省部分沿海地區的雨潮組合遭遇進行科學定量的風險概率計算和分析，為浙江省沿海地區的防洪排澇治理提供高效科學的決策參考。

1 雨潮二維聯合分布構建

1.1 Copula函數的定義

根據Sklar定理[11]：令F是具有邊緣分布函數為F1(x1),F2(x2)，…，Fn(xn)的n維聯合分布函數，若F1(x1),F2(x2),…，連續，則存在唯一一個Copula函數C，滿足：

F(x1,x2,…,xn)=C[F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)]

(1)

式中，F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)分別為變量x1,x2,…,xn的邊緣分布。

Copula函數的構建還有機結合了變量的相關程度，因此在推求多變量聯合分布前還需計算變量的相關性。Kendall秩相關系數能夠反映變量之間的線性和非線性相關關系，因此常用作變量間相關性度量指標[12]，其計算公式如下：

yj)],i,j=1,2,…,N

(2)

sign[(xi-xj)(yi-yj)]

(3)

式中,N為數據長度；(xi,yi)為變量點數據。

1.2 二維聯合分布推求

水文多變量聯合分布常采用的Copula函數有AMH Copula，Frank Copula，Gumbel-Hougaard Copula，Clayton Copula，各方法特征及適用條件[6]見表1。

表1 不同Copula函數特征及適用條件Tab.1 The character and applicable conditions of different Copula functions

由于降雨和潮位具有非對稱的尾部特征，因此，本文選取Gumbel-Hougaard Copula和Clayton Copula函數建立雨量和潮位的二維聯合分布，其分布函數表達式如下。

GH Copula的分布函數表達式為

F(p,z)=C(u,v)=exp{-[(lnu)θ+(-lnv)θ]1/θ}

(4)

τ=1-1/θ,θ∈[1,∞)

(5)

Clayton Copula的分布函數表達式為

F(p,z)=C(u,v)=(u-θ+v-θ-1)-1/θ

(6)

τ=θ/(2+θ),θ∈(0,∞)

(7)

式中，F(p,z)為降雨量P和潮位Z的聯合分布函數；u和v分別為降雨量P和潮位Z的邊緣分布函數FP(p)和FZ(z)；θ為Copula函數參數；τ為Kendall秩相關系數。

1.3 Copula函數優選

為了檢驗不同的Copula函數在多變量頻率分析中的擬合精度，需要比較經驗概率和理論概率是否一致。實測值(pi,zi)的經驗累積概率計算公式[13]如下：

(8)

式中，N為聯合實測值總個數；ni為實測值同時小于等于(pi,zi)出現的次數。

經驗概率與理論概率的擬合程度采用OLS準則[12]進行擬合精度評價，OLS準則如下：

(9)

式中，Femp(pi,zi)和F(pi,zi)分別為經驗累積概率值和理論累積概率值。OLS越小，說明Copula函數的擬合精度越高。

1.4 風險概率模型構建

為了定量分析不同的雨潮組合發生的概率，本文構建了3種不同的風險率模型，用于評價洪潮遭遇風險[14]。

(1) 同現風險率。同現風險率指降雨、潮位同時超過某一量級的概率。此情況是對城市防洪威脅最大、最不利的情況。其計算公式為

P風險(Z>z,P>p)=1-FZ(z)-FP(p)+F(p,z)

(10)

(2) 條件風險率。條件風險率是指已知發生某一量級的降雨時，發生超過某一量級的潮位的概率。其計算公式為

P條件(Z>z|P>p)=(1-Fz(z)-FP(p)+

F(p,z))/(1-FP(p))

(11)

(3) 防澇風險率。防澇風險率是指發生超過某一量級的降雨，或發生超過某一量級的潮位的概率。其計算公式為

P防澇(Z>z或P>p)=1-F(p,z)

(12)

其對應的防澇標準Tf計算公式為

Tf=1/(1-F(p,z))

(13)

對于任意設計標準的暴雨和潮位的組合，可通過其各自的邊緣分布函數求得聯合分布，從而得到各種風險率及防澇標準。同理，對于給定的風險率和防澇標準，也可求出不同暴雨重現期和潮位重現期的組合。

2 實例應用

2.1 溫黃平原雨潮組合風險分析

溫黃平原位于浙江省東部，椒江干流南岸、楠溪江以東、樂清灣以北，東部和東南部瀕臨東海，受暴雨及外海潮位共同作用，該地區洪澇災害頻發。本文選用溫黃平原10個雨量站的年最大1 d降雨平均值作為本地區暴雨，暴雨發生后3 d內的海門站最高潮位[15]作為相應潮位，及海門站年最高潮位，分析“以暴雨為主，潮位相應”的溫黃平原雨潮遭遇問題。

年最大1 d降雨、暴雨相應潮位及年最高潮位均采用P-Ⅲ型分布描述其邊緣分布，經矩法和目估適線后，得到3個系列的邊緣分布統計參數及設計值見表2。

分別采用GH Copula和Clayton Copula建立降雨和潮位的聯合分布，各分布模型的統計參數值及理論頻率與經驗頻率的擬合度見表3和圖1。

表3 Copula函數的統計參數及擬合度計算成果Tab.3 The statistical parameter of Copula functions and calculation results of fitting degree

圖1 不同Copula函數經驗頻率與理論頻率擬合Fig.1 The fitness of theoretical joint distribution and experience joint distribution by different Copula functions

結果表明，Gumbel-Hougaard Copula的OLS較小，經驗頻率與理論頻率的擬合度更好，說明其能更好地反映降雨和潮位之間的聯合分布。因此，選取Gumbel-Hougaard Copula函數建立聯合分布進行雨潮遭遇概率分析。

圖2為以暴雨為主，潮位相應的雨潮同現風險率分布圖。表4為根據構建的風險概率模型計算出的各種暴雨潮位組合下的風險率及防澇標準。

由表4和圖2可以看出，隨著潮位重現期的提高，遭遇同一重現期暴雨的概率逐漸減小，其防澇標準逐漸提高；不同重現期降雨遭遇20 a一遇以上潮位概率較小，最高不超過1.4%；且降雨和潮位組合下的聯合風險率均小于組合中降雨的設計標準，即暴雨的重現期高于防澇標準。

在實際工程應用中，在選取暴雨和潮位的遭遇組合時，既需要考慮工程安全，達到一定的防澇標準，同時其遭遇也需要滿足合理的條件概率。在實際的浙江省溫黃平原防洪排澇規劃設計中，采用傳統的洪潮遭遇分析，確定50 a和20 a一遇暴雨遭遇20 a一遇潮位。當50 a和20 a一遇暴雨遭遇20 a一遇潮位時，對應的同現風險率分別為0.4%和0.7%，防澇標準為23 a和14 a一遇，條件風險率為22.5%和14.8%，既滿足了較小的風險，達到了一定的防澇標準，同時也滿足了較高的條件概率，說明設計較為合理。

圖2 以暴雨為主，潮位相應的雨潮同現風險率分布Fig.2 The distribution of simultaneous risk probability of rainfall and corresponding tide

表4 溫黃平原不同暴雨潮位組合下風險率Tab.4 The risk probability of different combinations of rainfall and tide in Wenhuang plain

2.2 浙江省其他沿海流域雨潮組合風險分析

本文還將Gumbel-Hougaard Copula函數應用至鰲江流域、錢塘江流域等浙江省其他沿海地區進行雨潮組合風險分析，結果見表5。

表5 浙江省其它沿海地區不同暴雨潮位組合下風險率Tab.5 The risk probability of different combinations of rainfall and tide in other coastal areas of Zhejiang Province

從整體上看，在相同的暴雨和潮位遭遇組合下，鰲江流域和錢塘江流域的雨潮遭遇風險率較溫黃平原更低，但其整體的變化規律與溫黃平原的基本保持一致，且該成果與各流域防洪排澇規劃設計中推薦采用的雨潮遭遇成果基本一致，進一步驗證了Copula函數在雨潮遭遇應用分析中的適用性。

3 結 語

由Copula函數建立的雨潮聯合分布精確定量地計算出了不同雨潮組合下的風險率，其在浙江省三大沿海流域的應用成果與流域防洪排澇規劃設計中推薦的雨潮組合成果基本一致，說明了計算結果的合理性和可靠性。與傳統的雨潮組合定性分析方法相比，該方法計算簡便、靈活高效、實用性強，能夠明確地給出不同雨潮組合下的風險概率，可為沿海地區工程設計提供決策參考。在實際工程應用中，建議同時結合條件風險率和防澇標準綜合確定雨潮遭遇組合。