社會(huì)科學(xué)中的數(shù)學(xué)原理

本刊編輯部

世界上的事情看起來(lái)紛繁復(fù)雜，實(shí)際上很多事物背后都隱含著某些規(guī)律和法則。人們?cè)谏钪?，總結(jié)出了許多聽(tīng)上去簡(jiǎn)單直白的基本法則和定律，細(xì)想起來(lái)卻是哲學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、心理學(xué)家思想和智慧的結(jié)晶。理解這些法則和定律，能讓我們學(xué)到很多數(shù)學(xué)知識(shí)，更可以幫助我們更好地理解生活中的許多現(xiàn)象呢！

酒與污水定律近朱者赤，近墨者黑

“酒與污水定律”說(shuō)的是，假如把一杯美酒倒進(jìn)一桶污水，得到的只能是一桶污水;反之，把一杯污水倒進(jìn)一桶美酒，得到的同樣還是一桶污水。理解這個(gè)定律的關(guān)鍵，在于明白酒和污水的比例并不能改變這桶液體的性質(zhì)，不管分量多少，只要有污水存在，加入再多美酒也無(wú)濟(jì)于事。

“酒與污水定律”是一條來(lái)自西方的管理學(xué)定律，我國(guó)也有許多同理的諺語(yǔ)，大家最熟悉的就是“一粒老鼠屎壞了一鍋粥”，還有“一塊臭肉壞了滿鍋湯”等等。

管理學(xué)家認(rèn)為，在任何組織里，都存在著幾個(gè)難搞的人物，似乎他們存在的目的就是為了把事情搞糟。他們到處搬弄是非，傳播流言，破壞組織內(nèi)部的和諧。最糟糕的是，他們就像果箱里的爛蘋果一樣，如果不及時(shí)處理，甚至?xí)杆賯魅荆尮淅锏钠渌O果也腐爛掉。

我們以生活中的污水和自來(lái)水為例，從數(shù)學(xué)角度，通過(guò)計(jì)算的方式理解這件事。

案例生活中污水

人類的日常生活會(huì)產(chǎn)生很多污水，按其來(lái)源，污水可分為兩類：工業(yè)污水和生活污水。

工業(yè)污水主要是在工業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)生，不同工廠排出的廢水不一樣，但一般都包含很多重金屬和有毒的化學(xué)物質(zhì)。生活污水則從生活中產(chǎn)生，主要來(lái)自廁所、廚房、浴室等。

不管是哪一種污水，都含有大量有機(jī)物和非常非常多的細(xì)菌。一般來(lái)說(shuō)，生活污水中的寄生蟲(chóng)卵數(shù)為222～2953個(gè)/升，大腸桿菌數(shù)量約為10（平方6）個(gè)/升～10（平方7）個(gè)/升。這些數(shù)字有多可怕呢？大家可以對(duì)比一下，我國(guó)對(duì)飲用水的細(xì)菌標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定是：1毫升飲用水中細(xì)菌總數(shù)不超過(guò)100個(gè);1升飲用水中的大腸桿菌數(shù)的數(shù)量不超過(guò)3個(gè)。（數(shù)據(jù)來(lái)自《生活飲用水衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)》GB5749-85）

根據(jù)酒與污水定律，假設(shè)我們將1毫升（大約一勺）污水倒入10升飲用水中，會(huì)得到～杯怎樣的水呢？已知污水中大腸桿菌數(shù)量約為10（平方6）個(gè)/升，飲用水中大腸桿菌的數(shù)量1個(gè)/升。1升污水中有大腸桿菌數(shù)量約10平方6個(gè)，那么1毫升污水中大腸桿菌的數(shù)量是1000個(gè)，10升飲用水中大腸桿菌的數(shù)量是1x10=10個(gè)。

1毫升污水倒入10升飲用水之后，體積和為10.001升，大腸桿菌的數(shù)量和變?yōu)?010個(gè)。由此可以算出平均每升水中大腸桿菌的數(shù)量：1010÷10.001=100（個(gè)/升）。

顯然.這個(gè)數(shù)量大大超過(guò)了飲用水的標(biāo)準(zhǔn)！根本不能喝。

這個(gè)簡(jiǎn)單的估算只針對(duì)大腸桿菌的數(shù)量，其他的細(xì)菌和有毒物質(zhì)也可以用類似的方法算出來(lái)?？傊糜?jì)算的方法可以證明，一杯污水的確可以污染掉一大桶美酒，酒與污水定律是對(duì)的。

二八法則抓住屬于你的20%

二八法則又名80/20定律，這個(gè)定律被廣泛應(yīng)用于社會(huì)學(xué)及企業(yè)管理學(xué)中。

1897年，意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家怕累托偶然注意到當(dāng)時(shí)英國(guó)人的財(cái)富和收益模式，他從大量具體的事實(shí)中發(fā)現(xiàn)了兩項(xiàng)非常重要的規(guī)律：

第一項(xiàng)發(fā)現(xiàn)：財(cái)富在社會(huì)中的分配是不平均的，大部分財(cái)富流向了少數(shù)人手里，社會(huì)上20%的人占有80%的社會(huì)財(cái)富。

第二項(xiàng)發(fā)現(xiàn)：這種不平均現(xiàn)象到處都存在，并且會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。

他發(fā)現(xiàn)，在當(dāng)時(shí)和更早期的資料中，英國(guó)和同時(shí)代的其他國(guó)家都一再出現(xiàn)相同的模式，而且這在數(shù)學(xué)上也有相當(dāng)?shù)臏?zhǔn)確度。比如真理往往掌握在少數(shù)人手中，一個(gè)企業(yè)80%的利潤(rùn)源于20%的項(xiàng)目，世界上20%的人手里掌握著全世界80%的財(cái)富，20%的人身上集中了人類80%的智慧等等。

后人給予這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)許多不同的命名，例如怕累托定律、最省力的法則、不平衡原則等。二八法則的數(shù)學(xué)原理

“二八法則”向人們揭示了這樣一個(gè)真理，即投入與產(chǎn)出、努力與收獲、原因和結(jié)果之間，普遍存在著不平衡關(guān)系。小部分的努力，有可能獲得大部分的收獲;起關(guān)鍵作用的小部分，通常就能主宰整個(gè)組織的產(chǎn)出、盈虧和成敗。

二八法則給我們的一個(gè)忠告就是：應(yīng)該把精力用在最見(jiàn)成效的地方。

二八法則無(wú)處不在，它就像人的影子，潛伏在生活的每個(gè)角落。我們看看下面這組數(shù)據(jù)。

※2016年9月出版的《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》第7版，共收錄各類單字13000多個(gè);根據(jù)教育部的規(guī)定，小學(xué)中學(xué)階段要求學(xué)生認(rèn)識(shí)3500字。大家知道，高中生進(jìn)行普通閱讀肯定是沒(méi)有問(wèn)題的，也就是說(shuō)，我們一生最常用的大概80%的漢字（3500×80%：2800）僅占字典總數(shù)的21%（2800÷13000×100%=21%）。

※根據(jù)美國(guó)經(jīng)濟(jì)政策研究所的統(tǒng)計(jì)報(bào)告，1962年，美國(guó)1%最富有家庭的收入占所有家庭收入的21.2%，20%富有家庭的收入占所有家庭收入的80.4%;到2009年，美國(guó)20%富有家庭的收入更是占到全部家庭收入的87.2%。

※汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的作用是將汽油燃燒產(chǎn)生的能量轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，推動(dòng)車輛前進(jìn)。由此可以寫成公式：發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率=車輛的動(dòng)能÷汽油燃燒產(chǎn)生的總能量×100%。然而在實(shí)際生活中，汽油燃燒產(chǎn)生的能量中的80%是浪費(fèi)掉了，只有20%能被車輛利用起來(lái)。

※統(tǒng)計(jì)顯示，2017年，全球所有國(guó)家的GDP總量約為80萬(wàn)億美元。世界上GDP最高的前20個(gè)國(guó)家（美國(guó)、中國(guó)、日本、德國(guó)、英國(guó)、印度、法國(guó)、意大利、巴西、加拿大、韓國(guó)、西班牙、澳大利亞、俄羅斯、墨西哥、印度尼西亞、荷蘭、土耳其、瑞士、沙特阿拉伯）的GDP總和約為64萬(wàn)億美元，占了全球GDP總量的80%。

被稱為“20世紀(jì)最大投資失敗”的銥星公司倒閉，也是被“二八法則”擊敗的典型事例。

1997-1998年，美國(guó)銥星公司發(fā)射了66顆人造衛(wèi)星用于手機(jī)全球通訊，稱為銥星。這些銥星均勻分布在太空中的6條軌道上，每條軌道有11顆衛(wèi)星。銥星公司的目標(biāo)是讓人類實(shí)現(xiàn)5個(gè)“任何”，即任何人在任何地點(diǎn)、任何時(shí)間與任何其他人采取任何方式進(jìn)行通信。

這樣的先進(jìn)技術(shù)在當(dāng)時(shí)簡(jiǎn)直是舉世無(wú)雙，可就是這樣一個(gè)“天之驕子”，卻在投入運(yùn)營(yíng)兩年后不得不宣布倒閉。原因何在？除了運(yùn)營(yíng)方面的種種失誤，還有一個(gè)最重要的敗因正是它所追求的“覆蓋全球”的理想。我們來(lái)看下面這些數(shù)據(jù)：

※地球表面積5.1億平方千米，其中陸地為1.49億平方千米，占全球表面積的29.2%，其余71%為海洋。

※在地球陸地面積之中，有很多人跡罕至的地區(qū)，如終年冰雪的南極洲（0.14億平方千米），廣闊的沙漠地區(qū)（0.15萬(wàn)平方千米），還有利用價(jià)值較低的高山和荒原等（0.4億平方千米）。

人們經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，地球表面至少80%以上是人跡罕至的海洋、極地和高山。為了將這些地域納入通訊網(wǎng)絡(luò)，銥星公司不但要發(fā)射大量衛(wèi)星，還要負(fù)擔(dān)維護(hù)其運(yùn)轉(zhuǎn)的巨額費(fèi)用，但這些地方能產(chǎn)生的利潤(rùn)卻微乎其微。這些成本最終只能由另外20%地區(qū)的用戶來(lái)負(fù)擔(dān)，這就造成銥星電話價(jià)格過(guò)高，無(wú)法和普通移動(dòng)電話競(jìng)爭(zhēng)，最后不得不以破產(chǎn)收?qǐng)觥?/p>

暈輪效應(yīng)愛(ài)屋及烏的認(rèn)知偏差

暈輪效應(yīng)最早是由美國(guó)心理學(xué)家愛(ài)德華·桑代克于20世紀(jì)20年代提出的。他認(rèn)為，人們對(duì)某個(gè)人的認(rèn)知和判斷往往只從局部出發(fā)，就像日暈一樣，由一個(gè)中心點(diǎn)逐步向外擴(kuò)散成越來(lái)越大的圓圈，最終由此得出整體印象，因此，暈輪效應(yīng)也叫“光環(huán)效應(yīng)”。

隨后，不少心理學(xué)家通過(guò)各種實(shí)驗(yàn)，證明了這個(gè)想法的正確性。

比如在1974年，一些心理學(xué)家就做了關(guān)于暈輪效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)。心理學(xué)家們選了60名男性來(lái)給一些論文打分，同時(shí)給他們看作者的照片。結(jié)果人們發(fā)現(xiàn)，這樣評(píng)出來(lái)的論文的分?jǐn)?shù)和作者的外貌明顯相關(guān)。

在1到9的分?jǐn)?shù)范圍內(nèi)，針對(duì)同一篇寫得較好的論文，如果評(píng)分人看到的作者照片很漂亮，該論文能得到6.6分，如果評(píng)分人看到的作者照片不夠漂亮，該論文只能得到5.9分。同理，針對(duì)同一篇寫得不太好的論文，漂亮的作者能得到4.7分，不夠漂亮的作者僅能得到2.7分。

從上面這個(gè)例子可以看出來(lái)，如果作者長(zhǎng)相漂亮，其他人會(huì)下意識(shí)認(rèn)為她的論文更好些;如果作者長(zhǎng)相不夠漂亮，那么論文的得分就要差一些。然而，論文的好壞和作者的長(zhǎng)相是沒(méi)有關(guān)系的。

“暈輪效應(yīng)”的特點(diǎn)就是以偏概全，在對(duì)不熟悉的人或者有嚴(yán)重情感傾向的人進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)，這種效應(yīng)體現(xiàn)得尤其明顯。比如一個(gè)學(xué)習(xí)成績(jī)好的學(xué)生，老師和家長(zhǎng)往往認(rèn)為他是一個(gè)智力很高、聰明、熱情、靈活、有創(chuàng)造性的人。與之相反，如果一個(gè)學(xué)生在某一方面表現(xiàn)不好，不管是他成績(jī)不好還是喜歡調(diào)皮搗蛋，老師和家長(zhǎng)往往認(rèn)為他一無(wú)是處。

名人效應(yīng)也是一種典型的暈輪效應(yīng)。大家在生活中不難發(fā)現(xiàn)，商家喜歡選有名的歌星、影星來(lái)拍廣告，而很少選擇沒(méi)人認(rèn)識(shí)的普通人。因?yàn)槊餍莻兿嗝渤霰姡瑫?huì)讓觀眾覺(jué)得他們推薦的商品也很出色。

暈輪效應(yīng)的數(shù)學(xué)原理

要更好地理解暈輪效應(yīng)，我們先要理解什么是暈。

“暈輪”中的“暈”是一個(gè)天文學(xué)名詞，指的是太陽(yáng)和月亮周圍有時(shí)會(huì)出現(xiàn)的一種光圈。有暈的時(shí)候，遠(yuǎn)遠(yuǎn)看上去，太陽(yáng)和月亮好像擴(kuò)大了許多。太陽(yáng)的暈叫“日暈”，月亮的暈叫“月暈”。

※暈的成因

“暈”是一種比較罕見(jiàn)的天象。當(dāng)氣溫變低時(shí)，在高空的大氣里有時(shí)會(huì)結(jié)出六棱柱的冰晶，如果太陽(yáng)光或月光剛好射到它們，冰晶便以一種特殊的方式將光彎曲聚集，這樣便形成了暈。

暈分為內(nèi)暈和外暈。內(nèi)暈比較常見(jiàn)，它是圍繞太陽(yáng)和月亮的22°的圓弧。這個(gè)22°是怎么得來(lái)的呢？假設(shè)從太陽(yáng)到日暈畫一條線，作為一條三角形的底邊，觀察者站在三角形頂尖量出的角度就是22°。

外暈相比而言更少見(jiàn)，它有46°的弧，故稱為“46°暈”，內(nèi)暈和外暈看起來(lái)像圍繞太陽(yáng)和月亮的較大的圓圈。

※內(nèi)暈和太陽(yáng)的大小比

暈都在太陽(yáng)外面，那內(nèi)暈比太陽(yáng)大多少呢？這還需要我們掌握一個(gè)概念：天體的視大小。

對(duì)站在地球上的我們來(lái)說(shuō)，天體的視大小就是從被觀察的天體的兩側(cè)引向我們眼睛的兩條直線間的角度的大小，這個(gè)角度也稱為“天體的視角”。

也就是說(shuō)，天體的視大小和你距離天體的距離有關(guān)。那么，我們站在地球上看太陽(yáng)的視角有多大呢？這句話用幾何語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是計(jì)算如下問(wèn)題：在一個(gè)半徑1.496億千米（地球和太陽(yáng)的平均距離）的圓上，太陽(yáng)的直徑139萬(wàn)千米這段弧對(duì)應(yīng)的圓心角是多少度？用公式計(jì)算很簡(jiǎn)單：

139÷（15000×2×3.15）×360°=0.53°

站在地球上看月球，月球的視大小是多少呢？我們也可以計(jì)算一下。月球和地球的平均距離是38.4萬(wàn)千米，月球的平均半徑是1738千米。同理可以算出：

1738×2÷（384000×2×3.14）×360°=0.52du3

我們驚訝地發(fā)現(xiàn)，太陽(yáng)和月球的視大小差不多：這是因?yàn)樘?yáng)的直徑差不多是月球的400倍，同時(shí)，地球與太陽(yáng)的距離也是地球與月球距離的390倍（很接近400倍），所以在地球上看起來(lái)兩者大小差不多。

對(duì)比一下，內(nèi)暈的視角是22°×2=44°，可太陽(yáng)的視角只有0.53°，44°比0.53°大許多，內(nèi)暈看上去可謂十分醒目了。