形狀調配中帶參數的過渡曲線設計

嚴蘭蘭，樊繼秋，馬 力

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形狀調配中帶參數的過渡曲線設計

嚴蘭蘭1，樊繼秋1，馬 力2

(1. 東華理工大學理學院，江西 南昌 330013；2. 湖北省麻城市第一中學，湖北 麻城 438300)

曲線設計；過渡曲線；形狀調配；形狀調整

形狀調配，又稱為形狀混合，也就是曲線曲面混合，是幾何造型領域中的一個重要研究課題，也是曲線曲面控制設計中的一種常用技術[1]，同時也是計算機關鍵幀動畫的核心技術。形狀調配一般是指在兩個關鍵幀中插入若干中間幀，產生連續平滑的過渡[2]。在已有文獻中，形狀調配指的是由兩條(張)給定的曲線(曲面)通過形狀混合的方式生成一條(張)新的曲線(曲面)，新曲線將給定曲線中一條的首端與另一條的尾端光滑地連接起來，新曲面將給定曲面沿同一參數方向的兩條邊界曲線光滑地連接起來，要求新曲線(曲面)在端點(邊界)處與給定曲線(曲面)重合，并且在端點(邊界)處滿足一定的參數連續或幾何連續條件[1,3]，本文討論的即是該形狀調配。根據相關文獻給定的曲線曲面可以稱為基曲線曲面、待混合曲線曲面，或者待過渡曲線曲面，新曲線曲面則稱為混合曲線曲面，或者過渡曲線曲面，本文采用基曲線和過渡曲線來指代給定曲線和新曲線。形狀調配，實際上也可以通過插值的方式來實現，但是傳統的插值方法，如Hermite插值、參數連續C插值和幾何連續G插值等方法，往往只考慮端點處的局部幾何信息，而混合方法由于可以較好地結合基曲線曲面的全局幾何信息，因此得到的曲線曲面形狀往往更加真實有效[4]。

在形狀調配中，基曲線的類型是多種多樣的。張宏鑫和王國瑾[5]給出了保持一階、二階幾何連續的Bézier曲線形狀調配條件以及改進的調配方法。劉華勇等[6-8]給出了在線性混合過程中，一階、二階參數擬連續的保持條件，得出了3種不同類型的Bézier-like曲線在形狀調配中保持一階、二階參數擬連續性特征的方法。劉華勇等[9]討論了文獻[8]中的Bézier-like曲線在線性混合過程中保持一階、二階幾何連續的條件以及方法。由于文獻[6-9]中的基曲線都是帶形狀參數的Bézier-like曲線，因此相應的過渡曲線都可以在不改變端點處連續性的前提下調整形狀。但同時注意到，如果附加一個前提條件，即基曲線形狀固定，那么文獻[6-8]中構造的過渡曲線實際上是不具備形狀可調性的。原因在于其過渡曲線之所以形狀可調，是因為基曲線形狀可調，改變其形狀參數，基曲線形狀發生變化，進而帶動過渡曲線形狀的改變。然而對于文獻[9]而言，即使規定基曲線形狀固定，由其構造的過渡曲線形狀依然可以調整，這是因為所給過渡曲線的方程中包含了不依附于基曲線的調節參數。雖然文獻[9]中的過渡曲線具備相對于固定基曲線的形狀調整能力，但其基曲線是指定類型的Bézier-like曲線。考慮到在實際應用中，基曲線的模型往往并非特定，因此，要想得到適用面更廣的形狀調配方法，必須突破對基曲線類型的限制。

李凌豐等[10]提出基于勢函數與Metaball技術的過渡曲線構造方法，其采用一種6次多項式勢函數來構造過渡曲線，由該方法構造的過渡曲線對基曲線的種類沒有限制，所得過渡曲線形狀自然，但過渡曲線在兩個端點處與基曲線之間只能達到擬1連續，并且過渡曲線不具備相對于固定基曲線的形狀調整能力。基于嚴蘭蘭等[11]所給帶形狀參數的Bézier曲線模型，李軍成等[3,12]采用相同的方法構造了一種帶參數的7次多項式調配函數，任給兩條參數曲線作為基曲線，由該調配函數構造的過渡曲線在兩個端點處與基曲線之間可以達到擬2連續，而且過渡曲線的形狀還可以在不改變基曲線形狀以及過渡曲線與基曲線在端點處連續性的情況下自由調整。也就是說，文獻[3]和文獻[12]中的過渡曲線不僅兼具了文獻[9]和文獻[10]中過渡曲線的優點，而且還提高了文獻[10]中過渡曲線在端點處的連續性。

為了保留文獻[3]和文獻[12]中形狀調配方法的2個優點：①對基曲線的類型不做限制；②過渡曲線形狀可調，同時又進一步提升過渡曲線在端點處與基曲線之間的連續性。本文打算構造一種新的含參數的多項式調配函數，使得對于任意給定的基曲線，由該調配函數構造的過渡曲線在端點處與基曲線之間至少可以達到擬3連續，而且過渡曲線的形狀還可以在不改變基曲線形狀的前提下自由調整。

1 預備知識

1.1 問題描述

從形狀調配的應用背景出發，過渡曲線的構造問題可以描述為：已知平面上兩條參數曲線1()與2()，1()的起點記為，2()的終點記為，希望構造一條曲線()，以為起點，以為終點，如圖1所示。要求曲線()的形狀取決于曲線1()與2()的形狀，并要求曲線()在兩個端點和處分別與曲線1()、2()之間滿足一定的擬連續性要求。

圖1 過渡曲線的構造

稱1()與2()為基曲線，稱()為過渡曲線。文獻[12]給出過渡曲線的方程為

式(1)表明過渡曲線為基曲線的加權組合，當基曲線給定時，過渡曲線的形狀和性質完全取決于調配函數的性質。

1.2 Bernstein基函數的相關結論

定理1. Bernstein基函數具有下列性質：

(6) 端點導數。次Bernstein基函數在端點處的階導數為

證明：性質(1)~(5)在教材[13]中可以直接找到。下面推導性質(6)。

又文獻[13]中給出

對照式(5)和式(7)即可得出式(2)。將式(8)改寫為

對照式(6)和式(9)即可得出式(3)。 證畢。

2 調配函數及其性質

2.1 調配函數需滿足的條件

將式(1)整理成

由Leibniz公式可得

要使過渡曲線()在兩個端點處與曲線1()和2()之間滿足擬3連續要求，必須

其中，=0,1,2,3。

由式(10)可知，若調配函數()在兩個端點處滿足條件

以及

則有式(11)成立。因此式(12)和式(13)給出了為使過渡曲線在端點處達到擬3連續，調配函數需滿足的條件。

2.2 不含參數的調配函數

由2.1節的分析可知，為了使式(1)給出的過渡曲線在兩個端點處達到擬3連續，必須要求調配函數()滿足式(12)和式(13)給出的所有條件。條件一共有8個，當調配函數()為7次多項式時，其未知系數一共有8個，恰好與條件個數一致，因此將其條件轉化為關于未知系數的方程組，有望得到唯一解。

多項式調配函數()既可以用冪基表達，也可以用Bernstein基函數表達。式(12)和式(13)涉及到調配函數()的導數，雖然冪基求導方便，但用冪基表示時，所得方程組的解要通過一定計算才能得出。

將調配函數()用Bernstein基函數表達，設

由式(2)和式(12)及式(14)可得

由此推出

由式(3)和式(13)及式(14)可得

由此推出

將式(15)和式(16)所得結果代入式(14)，得到

定理2.由式(17)得到的調配函數()具有下列性質：

(1) 端點性。即式(12)和式(13)成立。

(2) 對稱性。即()+(1-)=1。

(4) 單調性。即()關于單調遞增。

證明：

(1) 由()的構造過程可知，端點性顯然成立。

(2) 由Bernstein基函數的對稱性可得

再由Bernstein基函數的規范性可得

(4) 由Bernstein基函數的求導公式可得

圖2給出了調配函數()的圖形，從圖中可直觀看出其端點性((0)=0與(1)=1)、中點性、單調性、有界性是成立的。

圖2 調配函數H(t)的圖形

2.3 含參數的調配函數

在2.2節中，從調配函數需滿足的端點條件出發，得到了同時具備端點性、對稱性、中點性、單調性、有界性的調配函數()。

由于()的表達式中不包含任何自由參數，因此以其作為調配函數時，按照式(1)構造的過渡曲線形狀由基曲線唯一確定。為了實現在不改變基曲線的前提下，過渡曲線的形狀仍然可以調整的目標，需要在調配函數中引入調節參數。

為了避免混淆，將融入了參數的調配函數記作()。在已有()的表達式中融入參數并不困難，但注意在引入參數的同時，不可以破壞調配函數已經具備的性質。

為了得到滿足預期目標的調配函數()，將式(17)所給()的表達式升階兩次，得到

在式(18)的基礎上，令

因為()已具備中點性，所使()滿足中點性，必須

定理3. 由式(19)給出的調配函數()具有下列性質：

證明：

(1) 若記

則有

易知

由式(21)和式(22)及()的端點性可知，()同樣滿足端點性。

(2) 由式(20)可得

由式(20)和式(23)可得

由式(21)和式(24)及()的對稱性可知，()同樣滿足對稱性。

(3) 由()的構造過程可知，中點性顯然成立。

(4) 將Bernstein基函數的求導公式用于式(19)，可得

又由式(20)和式(21)可得

(5) 由(0)=0，(1)=1，以及()關于的單調性可知，有界性成立。

(6) 在式(25)所得結果的基礎上再求一次導數，得到

記

圖3 拐點唯一的調配函數G(t)

圖4 單調遞增的調配函數G(t)

3 過渡曲線

3.1 過渡曲線的特征

任給兩條基曲線1()與2()，取式(19)所給()作為式(1)中的調配函數，下面根據調配函數()的性質來分析所得過渡曲線()的特征。

(2) 由()的中點性可知

3.2 過渡曲線的圖例

圖5 C-形過渡曲線(基曲線上凸下凹)

圖6 S-形過渡曲線(基曲線上凸下凹)

圖7 C-形過渡曲線(基曲線上凸下凸)

圖8 S-形過渡曲線(基曲線上凸下凸)

圖9 C-形過渡曲線(基曲線上凹下凹)

圖10 S-形過渡曲線(基曲線上凹下凹)

圖11 本文方法與文獻[3]方法的比較

4 結束語

在對現有文獻優缺點進行分析的基礎上，以進一步提高文獻[11]和文獻[12]中過渡曲線在端點處的連續性為目標，本文展開了相關研究。首先預設一個連續階，然后采用逆向思維法，從過渡曲線的表達式出發，反推出調配函數需滿足的一些最基本的性質。將調配函數表達成Bernstein基函數的線性組合，由調配函數的基本性質，結合Bernstein基函數的相關結論，得出滿足預設連續階的不含任何調節參數的調配函數初步表達式。為了在調配函數中引入參數，同時又保持調配函數已經具備的一些良好的性質，對調配函數的初步表達式進行升階，進而引入參數，得出調配函數的最終表達式。歸功于Bernstein基函數完善的理論和良好的性質，調配函數的整個構造過程未涉及復雜繁瑣的計算，所得調配函數也很自然地具備一些預期的性質，因此可以說該調配函數的構造方法既簡單又高效，而且還具有一般性，仿照上述步驟可以構造出能使過渡曲線在端點處達到更高連續階的調配函數。下一步的研究工作可以從2個方面展開：①將本文的結果一般化，即探討如何構造在端點處可以與基曲線之間達到任意C連續并且形狀可調的過渡曲線；②將本文用于構造過渡曲線的方法推廣至過渡曲面的構造。

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Design of Transition Curve with Parameters in Shape Blending

YAN Lan-lan1, FAN Ji-qiu1, MA Li2

(1. College of Science, East China University of Technology, Nanchang Jiangxi 330013, China; 2. The First Secondary School in Macheng City Hubei Province, Macheng Hubei 438300, China)

curve design; transition curve; shape blending; shape adjustment

TP 391.72

10.11996/JG.j.2095-302X.2019020379

A

2095-302X(2019)02-0379-09

2018-03-15；

2018-04-30

國家自然科學基金項目(11261003，11761008)；江西省自然科學基金項目(20161BAB211028)；江西省教育廳科技項目(GJJ160558)

嚴蘭蘭(1982-)，女，湖北浠水人，副教授，博士，碩士生導師。主要研究方向為計算機輔助幾何設計。E-mail：yxh821011@aliyun.com