執(zhí)行器飽和的非線性時(shí)滯系統(tǒng)控制問(wèn)題

許可心

摘要：本文主要研究帶有執(zhí)行器飽和的非線性時(shí)滯系統(tǒng)控制問(wèn)題。首先，采用狀態(tài)反饋和輔助時(shí)滯反饋的凸組合處理系統(tǒng)中的飽和項(xiàng)，其次，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，利用自由權(quán)矩陣、積分不等式等方法，給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件，并給出狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方案。

關(guān)鍵詞：連續(xù)系統(tǒng);穩(wěn)定性;執(zhí)行器飽和;線性矩陣不等式

中圖分類號(hào)：O175.13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9416（2019）02-0212-03

0 引言

執(zhí)行器飽和廣泛存在于實(shí)際控制系統(tǒng)中，它會(huì)降低閉環(huán)系統(tǒng)的性能，造成嚴(yán)重的后果，近年來(lái)，執(zhí)行器飽和控制問(wèn)題得到學(xué)者們?cè)絹?lái)越多的關(guān)注[1-2]。處理飽和項(xiàng)的常用方法中，Hu等[3]提出的凸組合法主要是通過(guò)引入一個(gè)輔助矩陣H，將集合不變性條件轉(zhuǎn)化成線性矩陣不等式，大大降低了保守性。2002年，Cao[4]將[3]中的集合不變性條件推廣到狀態(tài)帶有時(shí)滯的連續(xù)系統(tǒng)中，分別用時(shí)滯無(wú)關(guān)和時(shí)滯相關(guān)方法給出不變性條件。Song[5]對(duì)帶有執(zhí)行器飽和連續(xù)時(shí)滯系統(tǒng)的量化反饋穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，建立了時(shí)滯無(wú)關(guān)和時(shí)滯相關(guān)的條件。在Zhou[6]的多面體方法基礎(chǔ)上，Chen等[7]首次將飽和項(xiàng)表示為狀態(tài)反饋和輔助時(shí)滯反饋的凸組合，對(duì)L-K泛函下界進(jìn)行精確估計(jì)。但是上述文獻(xiàn)均未考慮帶有非線性擾動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的情況。

因此，本文考慮具有執(zhí)行器飽和的非線性時(shí)滯系統(tǒng)，結(jié)合Lyapunov-Krasovskii泛函、自由權(quán)矩陣、積分不等式等得到系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件，并轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式。

1 問(wèn)題描述

考慮系統(tǒng)：

（1）

其中是狀態(tài)向量;是控制輸入向量;為時(shí)滯常數(shù);為適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣;表示飽和非線性函數(shù)，定義如下：

，

其中;

為非線性擾動(dòng)，滿足如下范數(shù)條件：，其中。

本文設(shè)計(jì)如下反饋控制器：

（2）

其中為反饋增益矩陣。

根據(jù)[7]中的引理1，對(duì)于滿足的向量以及，則飽和項(xiàng)表示為，其中，且。

假設(shè)存在矩陣使得對(duì)于，以下條件成立：

（3）

對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)為：

（4）

其中，且。

2 穩(wěn)定性分析

定理1：對(duì)于給定標(biāo)量和，若存在對(duì)稱矩陣以及任意矩陣使得對(duì)，以下矩陣不等式成立：

（5）

（6）

其中為矩陣的第行，且

，

，

，

，

則對(duì)于滿足的，在反饋矩陣下閉環(huán)系統(tǒng)（4）漸近穩(wěn)定。

證明：構(gòu)造以下形式的L-K泛函：

，

其中。

則有：

（7）

運(yùn)用Jensen不等式：

（8）

對(duì)于適當(dāng)維數(shù)的矩陣，有：

（9）

由不等式得到：

（10）

。? ? ? （11）

則可以得到：

（12）

其中

由不等式（12）可知，若成立

（13）

則有。進(jìn)一步得到，

對(duì)于定義的，運(yùn)用Jensen不等式可知。

其中：

，

記那么有

若成立，

（14）

則有：

（15）

進(jìn)一步可推出假設(shè)（3）成立。

而利用Schur補(bǔ)定理，（14）式等價(jià)于：

（14）′

因此，綜上所述，當(dāng)（13）和（14）′式成立時(shí)，在反饋矩陣下閉環(huán)系統(tǒng)（4）是漸近穩(wěn)定的。

接下來(lái)令矩陣.

最后通過(guò)矩陣變化，不等式（13），（14）′與不等式（5），（6）分別等價(jià)。證畢。

參考文獻(xiàn)

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Control of the Nonlinear Delayed System with Actuator Saturation

XU Ke-xin

（Sch of Math Sci，Yangzhou Jiangsu? 225002）

Abstract：This paper mainly studies control of the nonlinear delayed system with? actuator saturation.Firstly，the saturation nonlinearity is represented as the convex combination of state feedback and auxiliary time-delay feedback.Secondly，by employing the Lyapunovs stable theory ，free-weighting matrix technique，combing with integral inequalities， sufficient conditions for the asymptotically stability of the system and the design scheme of the state feedback controller are proposed.

Key words：continuous system; stability; actuator saturation;linear matrix inequality