線性代數中矩陣特征值的解析方法

朱韜

（安徽新華學院國際教育學院，安徽 合肥 230088）

一、三次多項式的對稱點概述

對于三次多項式ax3+bx2+cx+d(a=0)如果存在某一實數x0,對任意x 都有a(x0-x)3+b(x0-x)2+c(x0-x)+a(x0+x)3+b(x0+x)2+c(x0+x)=2ax30+2bx20+2cx0成立, 就稱x0為此三次多項式的對稱點。例如, 三次多項式x3-3x2+2x+1, 實數1 滿足(1-x)3-3(1-x)2+2(1-x)+(1+x)3-3(1+x)2+2(1+x) = 2×13+2×(-3)×12+2×1×1,那么實數1 就是三次多項式x3 - 3x2 + 2x + 1 的對稱點.附注如果實數x0 是三次多項式的對稱點, 那么有ax3 + bx2 + cx + a(2x0 - x)3 + b(2x0 - x)2 + c(2x0 - x)=2ax30+ 2bx20+ 2cx0只需要把a(x0-x)3+b(x0-x)2+c(x0-x)+a(x0+x)3+b(x0 + x)2 + c(x0 +x) = 2ax30+ 2bx20+ 2cx0 中的x 換為x0-x 即可證明.

二、三次多項式的對稱點性質分析

性質一三次多項式ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) 的對稱點- b3a是三次函數f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) 二階導數f′′(x) = 6ax + 2b 的零點.

性質二三次多項式ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) 的對稱點是三次函數f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) 一階導數f′(x) = 3ax2 + 2bx + c 的對稱軸x = - b3a.

性質三若三次函數f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a =0) 有兩個極值點, 分別為x1, x2, 那么有x1 + x22=- b3a,f(x1) + f(x2)2= f(x1 + x22).

三、三次多項式的對稱點的存在性

證明1 假設ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) 那么對于任何一個變量x, 都有a(x0 - x)3 + b(x0 - x)2 + c(x0 - x) +a(x0 + x)3 + b(x0 + x)2 + c(x0 + x) = 2ax30+ 2bx20+ 2cx0,經過整理化簡得x0 = - b3a.因此可以知道任何一個三次多項式ax3 + bx2 + cx +d (a = 0) 存在唯一對稱點- b3a.證明2 a(0 - x)3 + c(0 - x) + a(0 + x)3 + c(0 + x) =2a×03 +2c×0, 因此三次多項式ax3 +bx2 +cx+d (a = 0)在b = 0 時, 也就是缺少二次項時, 有唯一對稱點0. 在解一元三次方程ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a = 0) 的時候, 是采用差根變換, 各根減去- b3a, 可得缺二次項的三次方程(未知元用x′表示, 即x′= x - b3a):

ax′3 + apx′+ aq = 0,其中p =3ac - b23a2 , q =2b3 - 9abc + 27a2d27a3 . ax′3 + apx′+aq 有唯一對稱點0. 那么ax3+ bx2+ cx + d = 0 (a -= 0) 有唯一對稱點- b3a.

證明3 三次函數的對稱中心的橫坐標就是三次函數所對應的三次多項式的對稱點, 觀察三次多項式ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) 所對應的三次函數f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) 的圖像, 可以知道函數圖像在對稱中心左右兩邊的凹凸性是相反的, 如果a ＞ 0, 函數在對稱中心的左邊是凸函數, 在x自變量不斷變大時，會導致切線斜率變小，對三次函數進行二階求導，導數＜0；而對稱中心右側為凹函數，x自變量變大時，會導致切線斜率隨之變大，對三次函數進行二階求導，導數＞0；如果a ＜ 0, 函數在對稱中心的左邊是凹函數, 隨著自變量x 增大, 切線的斜率增大, 三次函數的二階導數＞0, 而在對稱中心右側為凸函數，在x自變量不斷變大的過程中，會導致切線斜率不斷變小，對三次函數進行二階求導，導數f′′(x)＜0[1]。由此可以得知，對稱中心下的三次函數的二階導數位置為零，所以三次多項式ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) 的對稱點可以求出三次函數f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) 的二階導數f′′(x) 零點，其即為多項式對稱點所在。綜上所述，能夠明確對于所有三次多項式來說，ax3 +bx2 +cx + d (a = 0) 存在唯一對稱點-b3a.

四、三次多項式的因式分解U 型方法

對A=2－2 0－2 1－2 0－2 1 0 進行特征值計算時，得|A-λE|=2-λ-20－21－λ－20－2－λ，整理-λ3+3λ2+6λ-8=0。對該三次多項式借助U 型法進行分解，-1，3，6，-8四個系數為一行，找到乘積是-8×-1的數字，包括-1、-8和- 2、- 4等，該題中為1、8及- 2、- 4。若選- 2 ，- 4 這一組。- 2 放在3 下面，- 4 放在6 下面，然后3 減去-2 等于5，6 減去- 4 等于10，選- 2 ，- 4 這一組， 就是要滿足-1-2=510=-4-8現在我們把式子寫出來我們可以用筆依次連接- 1，- 2，5 ，10 . -4 ，-8 ，表示為U形[3]。借此轉化多項式，可得3λ2和6λ為- 2λ2 + 5λ2和10λ- 4λ，由此得到-λ3-2λ2+5λ2+10λ-4λ-8=0下面分組(-λ3-2λ2)+(5λ2+10λ)-(4λ+8)=0每組提公因子得-2λ(λ+2)+5λ(λ+2)-4(λ+2)=0， 再提公因子得-(λ+2)(λ2+5λ-4)=0后面再對二次多項式用十字相乘法因式分解得-(λ+2)(λ-1)(λ-4)=得到特征值λ1=-2,λ2=1,λ3=4。對于乘積是-8×-1的數字，若選擇的是2、4，則3之下為2，6下為4，3-2=1，6-4=2，按U 型