冗余驅動閉鏈弓形五連桿動力學建模與優化

余聯慶 王占坤 李紅軍 蒙運紅

1.武漢紡織大學工業雷管智能裝配湖北省工程研究中心，武漢，430073 2.華中科技大學機械科學與工程學院，武漢，430074

0 引言

閉鏈弓形五連桿通過主動桿件有規律地來回擺動獲得質心偏置力矩來驅動自身翻滾，在此期間會有峰值負載不斷出現［1］。如果單純增加電機的額定功率，會導致系統質量和能耗的升高。冗余驅動通過協調分配驅動力矩，可以降低分支最大瞬時負載，但協調分配驅動力矩不當會影響功能的實現甚至損壞設備。對于冗余驅動閉鏈弓形五連桿機構，主動關節的動力和功率分配、電機參數的選擇以及實現動力學精確控制都必須依賴于動力學的研究，故有必要對該桿機構的冗余驅動進行研究。

國內外學者對冗余驅動并聯機構動力學建模進行了研究［2－5］。楊建新等［3］運用牛頓－歐拉方程對新型平面3自由度并聯機器人進行了動力學建模研究，該方法物理意義明確，可推導出系統內的約束反力，適用于對簡單系統動力學進行建模分析。孫小勇等［4］運用拉格朗日方程對6－PSS柔性并聯機器人動力學進行了研究，該方法形式簡單，計算量大且過程復雜，適用于對復雜系統進行動力學建模分析。趙海峰等［5］運用凱恩方程對并聯六自由度機構的動力學進行了研究，但較難理解該方法的偏速度和偏角速度概念。雖然不同方法建模過程不同，但推導出的結果是相同的。完成系統動力學建模后，冗余驅動的力矩分配已有許多研究成果［6－11］。閆彩霞等［7］以一種平面三自由度并聯機構為研究對象，運用加權系數選擇的方法，對各驅動進行了單獨調解，數值計算及分析表明該方法對機構有一定的作用。卿建喜等［8］運用2范數優化、最小化最大驅動力優化、最小化最大驅動功率優化等方法對冗余驅動Tricert并聯機構進行了驅動優化，數值分析顯示冗余驅動可以較顯著地降低驅動器的瞬時負載和瞬時輸出功率。楊建新等［3］運用偽逆優化對新型平面三自由度并聯機器人動力學進行了研究，該機構動力學數值仿真實例分析表明冗余驅動可以消除奇異位形，增大作業空間。綜上所述，當前冗余驅動的建模分析對象多為并聯固定機器人，且多運用數值仿真對驅動力矩協調分配方面進行理論分析，但對滾動機器人冗余驅動的理論研究尚未見報道。

本文研究冗余驅動閉鏈弓形五連桿機構按預定的軌跡運動時的驅動力矩協調分配問題，采用牛頓-歐拉方法建立該并聯移動機構的動力學模型。為了減小動態翻滾過程中出現的最大瞬時驅動力矩，利用偽逆優化的方法對驅動力矩進行協調分配。

1 閉鏈弓形五連桿機構

閉鏈弓形五連桿由5個相同的弓形桿件模塊首尾相接組成，其三維實體模型如圖1所示。每個弓形桿件模塊由電機緊固件、錐齒輪傳動裝置、帶減速器的直流電機和左右弓形板等零部件組成。該機構具有5個轉動關節，為了使該機構具有結構對稱性以及冗余自由度，在每個關節處均配置一個直流伺服驅動電機，伺服電機通過一對錐齒輪將運動和動力傳遞給運動關節，其中一個錐齒輪與電機輸出軸固定，另外一個錐齒輪固定在關節軸上。運用配重法使每個弓形桿件模塊質量相等，且模塊兩端關節連線的中點為弓形桿件質心位置。當機構變形為整圓時機構內側為正五邊形，配重后的機構質心與形心重合。

圖1 閉鏈弓形五連桿機構三維模型圖Fig.1 3Ddiagram of closed five-bow-shaped-bar l inkage

在非結構環境中，閉鏈弓形五連桿具有一定的越障以及爬坡能力［12－13］。到達指定的地點以后，機構能以兩根桿件著地，形成圖2所示的穩定工作平臺，可進行任務探測等作業。

圖2 工作平臺示意圖Fig.2 The diagram of the work platform

閉鏈弓形五連桿機構由主驅動關節、冗余驅動關節、約束關節組成。該機構的自由度可以通過Grbler-Kutzbach方程來求解：

式中，M 為機構的自由度；N 為機構的總構件數；J為機構的運動副數；fi為第i個運動副的自由度。

在非冗余驅動的直線翻滾運動過程中，調整機構2個主驅動關節的關節角可以改變機構的位形，使機構質心相對于當前觸地點產生偏置，從而產生相對于當前觸地點的質心偏置力矩來驅動機構完成翻滾運動［14］。當機構引入冗余驅動關節后，通過控制3個驅動關節的關節角，同樣可以實現機構的直線翻滾運動。

2 機構運動學分析

2.1 坐標系的建立

建立圖3所示的機構直線翻滾運動模型。圖3中，虛擬滾動圓用的虛線圓表示，其半徑為R，在機構直線翻滾的過程中，當前觸地桿件的圓弧一直與該虛擬圓重合。機構開始運動的觸地點為O，機構當前與地面的接觸點為P；兩點之間的弧長為機構滾動位移，這段弧長對應的圓心角即系統翻滾角f；建立地面坐標系XOY、平移坐標系xccyc。地面坐標系固連于地面，O為初始滾動點；平移坐標系xccyc的原點c為虛擬滾動圓的圓心，平移坐標系只做直線平移。以各關節點A、B、C、D、E為坐標原點，沿逆時針方向建立連桿坐標系：弓形桿件的弦長方向為xi軸方向，由右手法則確定yi軸及zi軸方向。坐標系i與坐標系i－1之間的夾角為關節角θi（i ＝1，2，…，5）；ci、ai、mi、αi分別為各弓形桿件的質心、弦長、質量及觸地桿件所對應的圓心角；mt為機構的總質量；Ii為各弓形桿模塊繞其質心點的轉動慣量。

圖3 機構直線翻滾運動學模型Fig.3 Kinematics model of mechanism linear tumbling

由于閉鏈翻滾機構具有對稱性，且按照配重原則進行配重，故各桿件長度、質量、圓心角以及繞其質心的轉動慣量均相等。

2.2 桿件觸地階段運動學分析

令a、m分別為單根桿件的弦長和質量，則各桿件的質心齊次坐標在連桿坐標系中表示為

各關節在連桿坐標系中的齊次坐標可表示為

當弓形桿件AB觸地時，初始點A是原始的觸地點，點P代表當前的觸地點，則機構的位移在地面坐標系中可以表示為

各桿件質心在地面坐標系中的坐標分3步求解：首先通過齊次變換求得各桿件質心在當前觸地桿件坐標系中的坐標；然后將當前觸地桿件坐標系中的各桿質心坐標齊次變換到坐標系xccyc中；最后將坐標系xccyc中各桿件質心齊次變換到地面坐標系XOY中。令jTi為連桿坐標系xiyi到當前觸地桿桿件坐標系的齊次變換矩陣，j表示觸地桿件，j＝1，2，…，5；cTj為觸地桿件坐標系到xccyc的坐標齊次變換矩陣；oTc為坐標系xccyc到地面坐標系XOY的齊次變換矩陣；各桿件的質心在地面坐標系XOY中的位置矢量表示為

由質心合成定理可以求得機構總質心mt在地面坐標系XOY中的位置矢量：

同理，可得各桿件關節以及當前觸地點在地面坐標系XOY中的位置矢量。

2.3 關節角運動約束

在非冗余驅動情況下，機構5個關節角應同時滿足運動學約束和幾何約束，因此，可以用2個主驅動關節來表示其余3個被動關節，并且假定主驅動關節為q1和q2。由齊次轉換關系式可得連桿1坐標系相對于連桿5坐標系沿逆時針方向的齊次變換矩陣：

連桿1坐標系相對于連桿5坐標系沿順時針方向的齊次變換矩陣

同一坐標系相對于另一坐標系之間的齊次變換矩陣相等，可得以下關節角運動約束方程：

其中，cij＝cos（θi＋θj），sij＝sin（θi＋θj），其余類推。

5個相同桿件組成閉鏈弓形五連桿機構，由幾何關系可知各關節角之和為2π，即

求解約束方程式（9）可得

通過運動學影響系數法，運動學影響的第一階項和二階項可以描述被動關節和主動關節之間的運動關系的系數矩陣。定義E3、E4、E5分別為θ3、θ4、θ5的一階影響系數矩陣；H3、H4、H5分別為θ3、θ4、θ5的二階影響系 數矩陣。令θ＝動關節角的一階和二階導數表達式：

2.4 質心速度與加速度分析

通過桿件質心坐標齊次變換矩陣，得到了各桿系質心mi以及機構合成質心mt在地面坐標系XOY中的坐標。對式（5）和式（6）求一階導和二階導，可得各質心在地面坐標系XOY中的速度和加速度：

式中，qk為求導矩陣中的變量。

2.5 桿件角速度和角加速度分析

由圖2可知，桿件i的轉動角度與當前觸地桿有關。j（j＝1，2，…，5）表示當前觸地桿件，Ji表示桿件i相對地面坐標系的旋轉角度。當桿件1觸地時，由齊次變換可得各桿件相對地面坐標系的旋轉角度：

對式（18）求一階導和二階導，可得各桿件相對地面坐標的角速度和角加速度：

式中，ωi、ω·i分別為第i 桿件的角速度和角加速度；φ·、φ··分別為翻滾角φ 的一階導數和二階導數；θ·i、θ··i分別為第i桿件關節角的一階導數和二階導數。

3 機構動力學建模

3.1 各桿件牛頓-歐拉動力學方程

在連桿1觸地翻滾階段，對桿件1以及與桿件1相連的兩根桿件進行受力分析，如圖4所示。

圖4 桿件1觸地階段受力分析圖Fig.4 Force analysis diagram of the contact stage of link 1

對桿件1建立牛頓-歐拉方程：

式中，G1為連桿1所受到的重力；Np為連桿1所受到的摩擦力與地面支持力合力；F51為連桿5對連桿1的力；F21為連桿2對連桿1的力；M1、M2分別為關節A和關節B的驅動力矩；I1為連桿1的轉動慣量；LC1P、LC1A、LC1B分別為連桿1的質心到關節A、關節B和觸地點P的矢量；ω·1為連桿1的角加速度矢量。

同理，可對連桿2～連桿5建立牛頓-歐拉方程：

式中，G2、G3、G4、G5分別為連桿2～連桿5所受到的重力；Fij為連桿i對連桿j的力（i，j＝2，3，4，5）；M2、M3、M4、M5分別為關節B、C、D、E 的驅動力矩；Ii為連桿i的轉動慣量；LC2B、LC2C分別為連桿2的質心到關節B和關節C的矢量；LC3C、LC3D分別為連桿3的質心到關節C和關節D的矢量；LC4D、LC4E分別為連桿4的質心到關節D和關節E的矢量；LC5E、LC5A分別為連桿5的質心到關節E和關節A的矢量。

3.2 機構封閉動力學方程

由桿件i和桿件i＋1在關節處的力平衡關系可知：

聯立式（21）～（25）中牛頓方程并代入式（26），用矩陣的形式表示：

引入A為待定平面力F51，可求得機構平面約束力關系：

聯立式（21）～ 式（25）中歐拉方程，以矩陣的形式寫出：

引入待定力矩M1＝M（方向沿Z軸），可求得機構關節力矩的關系：

聯立式（27）和式（28）消去約束力，整理得

機構的質心偏置力矩

式中，LMtP為機構的合成質心到觸地點P的矢量。

在冗余驅動下，令其中任意2個主動關節力矩值為0，可求出待定平面約束力和待定力矩之間的耦合關系。冗余驅動方式下的主動關節的分配有10種，其中，相鄰關節驅動5種，非相鄰關節驅動5種；比較每種驅動方式最大的驅動力矩值，選擇最小的即最優選驅動方式。本文以A、B、C關節為冗余驅動關節，令M5＝M4＝0可得

將M5＝M4＝0代入式（30）可知B4＝0，即

將式（28）代入式（34）可得待定平面約束力：

式中，S為未知變量；k、V分別為F51在地面坐標系上分量的系數。

將F51代入式（28），整理可得冗余驅動閉鏈弓形五連桿機構各關節的約束力：

將式（36）代入式（33），整理可得冗余驅動閉鏈弓形五連桿機構的動力學方程：

式（37）建立了冗余驅動系統的動力學方程，在預定運動規律下運用該式可求得各驅動關節的驅動力矩。然而由于含有未知的變量S，驅動力矩任意時刻的解有無數種組合，因此，為求得驅動力矩唯一解，需運用優化方法對驅動力矩進行協調分配。

4 驅動力矩分配及數值仿真

4.1 驅動力矩分配

選取適當的驅動模式，可以使各驅動關節瞬時負載與輸出力矩更均衡。偽逆優化是冗余驅動的主要優化方法之一，當機構按預定軌跡運動時可以有效減少單個驅動關節上的驅動力矩，使驅動力矩的2范數最小。

封閉動力學公式等號右邊含有任意的變量S，對矩陣進行行變換以消去任意的變量S，從而得到系統封閉動力學方程：

就非齊次線性方程組而言，需要判斷系數矩陣與增廣矩陣的秩是否相等，若秩相等則方程組必有解，可以借助求解系數矩陣的逆或者矩陣的初等變換來得到最后的解。在系數矩陣為非方陣的情況下，存在偽逆矩陣，使方程組的解2范數最小。由于矩陣H1（q）為滿秩3×4非方矩陣，對矩陣可求得偽逆如下：

則優化后的驅動力矩

4.2 數值仿真

給定參數R＝170mm，a＝200mm，mt＝5kg，Ii＝0.026kg·m2。閉鏈弓形五連桿機構的結構是對稱的，同樣的加速度條件會使5根桿件相繼觸地時的關節角運動規律周期性變化［15］。因此，本文僅對桿件1觸地階段（f＝0°～72°）進行規劃，其余桿件觸地階段不再贅述。在桿件1觸地階段，翻滾角f、驅動關節A和B的角位移隨時間變化的運動規律如圖5所示。

圖5 主動關節角運動軌跡Fig.5 The trajectory of the driving joint

分別計算非冗余驅動情況下各關節驅動力矩和冗余驅動情況下采用偽逆優化對驅動力矩進行協調分配后的各驅動關節驅動力矩，結果分別如圖6、圖7所示。

對于給定的運動規律，由圖6和圖7中的驅動力矩曲線可以看出：在未采用冗余驅動的情況下，各驅動關節的最大瞬時驅動力矩為3.3N·m，且驅動力矩的變化范圍在0～3.3N·m之間；采用冗余驅動并使用偽逆優化后，各驅動關節最大瞬時驅動力矩減小約40%，且各驅動力矩的變化范圍減小約45%?？梢娙哂囹寗涌梢栽诮档蛦蝹€驅動電機的最大瞬時驅動力矩的同時，使驅動力矩的變化范圍更小。

圖6 非冗余驅動情況下主動關節驅動力矩變化曲線Fig.6 The varying curve of driving torque under the condition of non-redundant actuation

圖7 冗余驅動情況下主動關節驅動力矩變化曲線Fig.7 The varying curve of driving torque under the condition of redundant actuation

5 結論

采用牛頓-歐拉方程對閉鏈弓形五連桿機構的冗余驅動進行了動力學建模分析。為使機構最大瞬時驅力矩最小，運用偽逆優化對驅動力矩進行了協調分配。數值仿真結果表明：相比非冗余驅動方式，采用冗余驅動并運用偽逆優化對驅動力矩進行分配優化后，有效減小了單個驅動關節的最大瞬時驅動力矩，且驅動力矩更加均衡。為閉鏈弓形五連桿機構電機參數的選擇以及實現動力學精確控制提供了理論支撐。