加涅學習結果分類理論對函數符號教學的啟示

李偉東

摘 要 在教學中，每每與學生談起函數時，學生們都感覺函數太抽象，太難了，問題主要有：看不懂、記不住和做不來等，本文旨在借加涅學習結果分類之理論，解函數符號教學實踐之問題，以期改變學生對函數的看法，使其不再恐懼，更能獲得五種學習結果。

關鍵詞 函數符號 加涅學習結果 分類理論

中圖分類號：G720 文獻標識碼：A

函數符號具有形式的簡單性，內涵的精確性，應用上的可操作性以及使用上的統一性等特征，對學習者的抽象思維有較高的要求。而皮亞杰認為：人的形式運算（抽象思維）能力并不會突然獲得，而是在身體成熟和環境經驗的共同作用下慢慢獲得，一般會在15歲左右進入形式運算階段，并且一些證據表明，相當一部分人在很晚的年齡才學會形式運算能力，而有些人甚至一直都沒有獲得這種能力。因此重視對函數符號的解釋和辨別，創設環境，提升學生的抽象思維能力，是學生學好函數，重獲自信的關鍵。受加涅學習結果分類理論的啟示，圍繞5種學習結果進行教學設計，尋求破局。

1言語信息，取函數符號之意

言語信息是指通過言語傳達信息的能力，即“知識”，“知道是什么”的能力。教學中，對函數符號的釋義，宜做到簡單易懂、深刻好記、能操作。

案例1：函數的定義符號。

函數定義符號表示定義域內任一個數，在對應關系下，都有唯一一個數（）（）與之對應。具備言語信息的學生，不單能簡單對定義符號復述和記憶，更能從具體的環境中表述和運用出來， 如根據函數（）=，g（）=2獲得（ 1）= 1，g（g（0））=2等。另外，=（）還可延伸出函數的三要素，的取值范圍（定義域），是函數的對應關系，（）的取值范圍（值域）。其中（）由與而定，為判斷兩函數是否相同做了鋪墊。有了上面的認識基礎，學生對抽象函數中出現的符號（）理解為所對的，理解為、x所對的平均值，便能抓住了符號的本質。

案例2：函數奇偶性、對稱性及周期性符號。

在解釋符號：'' ，（）= （2a ）、（）= （2a ）前，宜同化中點公式，找到學生的最新發展區。即不管如何變化，與2a 是關于=a對稱的兩個數，如果它們所對的相等，即函數關于=a對稱，如果它們所對的相反，即函數關于（a，0）對稱。若a=0，即前者為偶函數，后者為奇函數。

若'' ，（）= （+T），（T為常數），則=（）的周期為T。括號內，不管如何變化，（+T） 始終為常數T，它們對應的相等，通俗地說，“任意經過T個單位后，回來”。變形符號有（）= （+T），（）=等，如果通過推導：由（）= （+T） （+T）= （+2T） （）=（+2T）得周期為2T，對部分學生來說，難于接受。換種說法，“任意經過了T個單位，它們所對的互為相反數或倒數，即只回到了半路”，所以該函數的周期為2T，更易于被接受。對稱性符號與周期性符號的區別信息是：括號內的數，和為常數與差為常數。

案例3：函數圖象的變換符號。

函數圖象的變換符號比較多，學生容易混淆或不會操作，通過下面的信息，便于辨別的同時還能兼備操作方法。如=（）與=（盿） ，=（）與=（）盿（a>0），對比前后兩個函數，對加減，即左加右減，對加減：即上加下減；=（）與=（a），=（）與=a（） （a>0），對乘a，看定伸縮，對乘a，看a定伸縮（a>0）。

2動作技能，得函數符號之形

動作技能是指將各動作組成連貫、精確的完整動作的能力，如繪制函數圖象，制作幾何模型等。

函數符號教學中動作技能的培養，主要體現在函數作圖，教學中要培養學生三種作圖技能：第一，在理解函數定義的基礎上，利用描點法（從多點到關鍵點）作出具體函數的圖象，同時能根據圖象逆向理解相關定義。如圖1，通過多個描點到提煉出三個關鍵點畫出函數（）=2圖象。如圖2，能根據函數（）=的圖象，理解函數的單調性定義，尤其是其中對任意性的描述，體驗函數在（ ，0）∪（0，+）上并不單調遞增。

第二，能根據函數符號的信息，畫出草圖，并根據草圖逆向理解函數性質。如圖3，理解函數的奇偶性和對稱性，同時可以借用幾何畫板追蹤點的蹤跡，印證函數的對稱性，如圖4。

第三，能根據符號信息，對函數圖象進行各種變換，如圖5。

3智慧技能，索符號之果

智慧技能是指運用符號與環境相互作用的能力、運用概念和規則辦事的能力，即“知道如何去做”的能力。習得函數=（）概念及其三要素的學生， 能辨別出函數的正例和反例，能對函數同屬歸類，如：

例1：下列各圖中，可表示函數y=f（x）的圖象的只可能是（ ）

例2：下列各組函數中，表示同一函數的是（ ）

（A）.=1，= （B）. = ，=

（C）.=，= （D）. =|x|，=（）2

同時，具有作圖的意識，利用數形結合的思想解決問題。如：

例3：在=2，=log2，y=2，y=cos2這四個函數中，

當0<1<2<1時，使（）>恒成立的函數的個數是（ ）

（A）. 0 （B）. 1 （C）. 2 （ D）. 3

學生在理解符號（）和的基礎上，通過圖6，認識凹凸性，最終確定答案為B。

具備智慧技能的學生，不僅僅是對例題的模仿，更是抓住概念和規則的本質，靈活應用到不同的環境中去。如：

例4：函數（）=的定義域為 。

學生除了能順利解決此問題，對其各種變形也應應對自如，如變換條件：

變式1：已知=（），則函數=（）的定義域為 。

變式2：已知=（）且g（）=（2）+（+1），則=g（）的定義域為 。

如變換問題：

變式3：函數（）=的單調區間為 。

變式4：若函數（）=，則不等式（2m）<（m+1）的解集為 。

如變換條件、問題：

變式5：若函數（）對任意的都有（+4）= （ ），（+6）=（ ），且當[0，2]時，（）=，則（2019）= .

變式6：若函數（）為奇函數，（ 1）為偶函數，且當x[ 2，0]時，（）= ，則函數=（） lg的零點個數是 。

4認知策略，授之以漁

認知策略是指指導自己注意、學習、記憶和思維的能力，控制自身內部技能的能力。經過循序漸進，獲得以上三種技能后，學生們對函數符號的辨別和識記，對作圖步驟和技能，對問題的思考和方向都有了初步的認知，教師可以引導學生歸納總結出學習函數的方法，構建知識，形成程序：定義、符號的理解→圖象的作法→看圖分析函數性質→利用知識解決問題，并遷移到具體函數的學習上。Thorndike練習律告訴我們，已形成的聯結得到不斷應用，聯結便得以加強。當學生堅持用此種學法學完基本初等函數后，相信學生對函數的認知水平會不僅是上升一個階層，更是獲得一種學習函數的方法。

5態度，啟動學習內驅

態度是指影響個體行為選擇的心理狀態，表現在對數學學科、對數學興趣、對數學具體內容的態度。學生對函數符號不再陌生，自然就會消除了恐懼，不再覺得函數太抽象，知道符號表達的是什么，并嘗試利用圖象將其形象化，應用智慧技能試著解決問題。從陌生到熟悉，從抽象到形象，從無到有，過程中，學生收獲了知識，體驗了成功，對函數的看法有了改變，使刺激與反應間聯結形成的同時，伴與愉快的情緒體驗，學習效果便得以加強，使得“要我學”向“我要學”成為可能。

總之，加涅學習結果分類理論對函數符號教學設計具有很強的指導意義，圍繞5種結果進行教學操作，學生更易于理解、辨別、識記和應用符號，同時使得目標更加明確，評價教學或學生學習效果可操作性更強。

參考文獻

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