二維磁流變包層聲學超材料?

許振龍 吳福根

(1 廣東科學技術職業學院機械與電子工程學院 珠海 519090)

(2 廣東工業大學材料與能源學院 廣州 510006)

0 引言

聲子晶體和聲學超材料具有聲波或彈性波禁帶，聲波或彈性波在禁帶中無法傳播[1?3]。聲子晶體產生禁帶的機理是布拉格散射，要求晶格尺寸與聲波波長在同一數量級。聲學超材料是亞波長尺寸的人工微結構，可以調控和操縱波長高于晶格尺寸兩個數量級的聲波的傳播。通過對聲學超材料微結構單元加工和設計，可以實現許多具有應用前景的特殊性能，如負折射與超透鏡[4]、雙負折射與反向多普勒效應[5]、零折射率與全反射[6]、亞波長檢測[7]、全方位聲學斗篷[8]等。

Liu 等[9]構建出局域共振型的聲學超材料，局域共振型聲學超材料禁帶對應的波長遠遠大于晶格的尺寸，單元尺寸可以很小，使得低頻噪聲和振動控制的元件化成為可能。研究人員在局域共振型超材料方向做了許多努力。Larabi 等[10]設計了多層交替排列的同軸圓柱形局域共振型超材料。Bonnet等[11]設計了硬核和包層組成的圓柱形和球形復合超材料結構，結果表明在理想模型下，通過組分和形狀的優化可以得到最低的共振頻率。Wang等[12]設計了金屬核芯通過彈性梁連接到彈性體基體的局域共振型超材料，在寬頻率范圍內實現帶隙的可調諧，還利用變形來打開或關閉帶隙。Yang 等[13]使用有效質量密度的拓撲優化方法來最大化局域共振型超材料的第一個帶隙。Chen 等[14]提出了一種由多層黏彈性連續介質組成的耗散局域共振型超材料，可以有效衰減瞬態沖擊波。Krushynska等[15]設計了二維和三維雙局域超材料結構。

含磁性材料的超材料研究正逐漸展開[16]。磁流變彈性體是由磁性顆粒分散在天然橡膠或硅橡膠基體材料中組成。外加磁場條件下，彈性體中磁性顆粒會形成鏈狀聚集結構[17?19]。磁流變彈性體克服了磁流變液易沉降、穩定性差的缺點，具備響應快、可逆性好等優點。Xu 等[20]設計了一維二組分和三組分的聲子晶體磁流變隔振支座，結果表明其存在著完全聲波帶隙，并且可以通過外磁場調節其帶隙寬度和位置。Alireza 等[21]設計了多孔磁流變彈性體局域共振型超材料，研究了不同變形、不同外磁場作用下的能帶結構，證明大變形和外磁場可以改變帶隙的位置和寬度。

根據研究現狀，設想以磁流變彈性體作為超材料局域共振單元硬核的包層，實現彈性系數的可調。文中計算采用有限元方法，研究結果表明：通過外磁場控制磁流變彈性體包層，或者調整磁流變彈性體包層的厚度，都可以調節局域共振型超材料聲波禁帶的寬度和位置，這些將為聲學超材料設計提供新的思路。

1 模型和方法

圖1(a)為磁流變彈性體包層局域共振型聲學超材料示意圖，各個共振單元如圖周期排列，磁流變彈性體包層可以通過外磁場調節控制其彈性模量。圖1(b)為圓形內核聲學超材料結構單元，周期晶格常數a= 0.025 m，鎢圓形內核半徑為r1，包裹磁流變彈性體后半徑為r2。

對于二維彈性各向同性介質，波動方程表示為

圖1 磁流變彈性體包層局域共振型聲學超材料和圓形內核聲學超材料結構單元Fig.1 Local resonance acoustic metamaterial with magnetorheological elastomer cladding and acoustic metamaterial unit with circular core

本文計算采用有限元方法，方法已廣泛應用于聲子晶體能帶結構計算，用于處理復雜材料結構時有明顯優勢。文中采用鎢的密度ρt=19.3×103kg/m3，其縱波波速為Ctl= 5.09×103m/s，橫波波速為Ctt= 2.80×103m/s。環氧樹脂密度ρe= 1.2×103kg/m3，其縱波波速為Cel=2.83×103m/s，橫波波速為Cet=1.16×103m/s。

磁流變彈性體計算采用磁偶極子模型，Fe顆粒密度ρFe= 7.89×103kg/m3，橡膠密度ρr= 1.2×103kg/m3。采用磁流變彈性體的拉伸性能與剪切性能近似，其泊松比取0.47[22]。剪切模量的改變量與外磁場關系為[23?24]

式(2)中，?是基體中的Fe 顆粒的體積比，R是Fe顆粒半徑，d是聚集狀態鏈中的兩個顆粒之間的距離，μ0是真空磁導率，H為外部磁場磁場強度，ζ ≈1.202，β ≈1，μf= 1 是相對磁導率。假設d/R= 2.5，?= 27%，并采用典型的彈性參數G0=0.4 MPa。

2 計算結果和討論

如圖1(b)圓形內核局域共振型超材料單元，設計的圓形鎢內核半徑r1= 0.01 m，包裹磁流變彈性體后半徑r2= 0.0105 m，即磁流變彈性體厚度為d= 0.0005 m。圖2是圓形內核超材料系統聲波能帶結構圖及對應ΓX方向的透射系數圖。超材料單元中密度大的鎢塊充當質量塊，密度小的環氧樹脂作為基體，磁流變彈性包層起到彈簧的作用。系統中鎢質量塊和環氧樹脂基體的密度相差較大，聲波傳播時會產生運動失諧，在低頻處呈現負等效質量密度。由于鎢塊的質量較大，在特定頻率處，幾乎集中了聲波傳遞的全部能量，所以在1407 Hz 和11600 Hz 附近，可以看到一些平直的能帶。平直的能帶對應的模態的波速度為零，此時結構中無頻散。平直能帶頻率對應于局域模態，如果特定頻率聲波入射到超材料系統中，和局域模態發生作用，會出現局域現象。聲波無法用其他非局域態方式通過周期結構，因此能帶被分裂，從而產生局域帶隙。可以看到在1407～5799 Hz 之間出現一個較大的完全帶隙，圖右側是對應ΓX 方向的透射圖，在帶隙范圍內出現較大的衰減，在局域頻率處衰減最強，出現不對稱的透射尖峰，這是局域共振Fano 現象的典型特點。這些結果表明：采用磁流變彈性體為包層的二維圓形內核超材料單元，在低頻處存在聲波局域共振完全禁帶。

圖3(a)是圓形內核聲學超材料668 Hz 時Γ點的振動模態圖，圖3(b)是1407 Hz 時X點的振動模態圖，可以看到圓形內核鎢質量塊內核呈自旋態或傳播狀態，超材料單元的振動集中在鎢質量塊上，包層和基體的振速/振幅幾乎為0，所以帶隙的下邊沿的振動模式可以看作一個圓形內核質量塊的振動，相鄰晶格之間的振動相位的周期性保持了整個系統的動態平衡，系統進入禁帶狀態。此時系統可以簡化為質量彈簧系統如圖3(c)所示，其中模塊M表示鎢內核等效質量塊，彈簧k表示包層的等效剛度。帶隙的下邊緣的頻率可以估測為

圖2 圓形內核聲學超材料聲波能帶結構及ΓX 方向透射系數Fig.2 Acoustic wave band structures and corresponding ΓX-direction transmission curve of acoustic metamaterial with circular core

圖3 聲學超材料帶隙下邊沿的振動模態圖及對應的彈簧-質量塊模型Fig.3 Acoustic metamaterial vibration mode of the lower edge of the band gap and the corresponding spring-mass model

圖4(a)是圓形內核聲學超材料禁帶上邊沿5799 Hz時Γ點的振動1模態圖, 圖4(b)是5799 Hz時Γ點的振動2 模態圖，可以看到圓形內核鎢質量塊與包層、基體介質的一起振動，系統從此進入允許彈性波傳播的導帶狀態。此時系統可以簡化質量彈簧系統如圖4(c)所示，其中模塊M表示鎢質量塊，m表示基體的質量，彈簧k表示包層的等效剛度。帶隙的上邊沿的頻率可以估測為

圖4 聲學超材料帶隙上邊沿振動模態圖及對應的彈簧-質量塊模型Fig.4 Acoustic metamaterial vibration mode of the upper edge of the band gap and the corresponding spring-mass model

圖5為局域共振型聲學超材料系統(r1=0.01 m，r2= 0.0105 m)聲波帶隙與外磁場強度的關系。施加一個從0 kOe到10 kOe平行于磁流變彈性體的磁場(圖1(a))。當外磁場強度H= 0 kOe至H= 10 kOe，帶隙頻率范圍從1407～5799 Hz 變化為2210～8980 Hz。可以看到，隨著外加磁場增強，帶隙逐漸增大，而且帶隙的中心位置明顯向上移動。分析其原因是外加磁場改變了磁流變彈性體彈性模量，彈性模量決定著包層的彈性系數，外加磁場越強，彈性系數k就越大。根據上下邊沿頻率的估測方法，帶隙上下邊沿的頻率隨著彈性系數k增大，帶隙中心位置上移，上移過程中帶隙上邊沿的頻率增大得更快。隨著磁場增強，帶隙越來越大。可以總結出，局域共振型超材料的聲波帶隙受外磁場的影響，調節外部磁場強度可以調節帶隙的中心位置和帶隙寬度。

圖5 聲學超材料聲波帶隙與外磁場的關系Fig.5 External magnetic field as function of acoustic metamaterial acoustic bang gaps

圖6為當外磁場強度H= 0 kOe，局域共振型聲學超材料聲波帶隙與磁流變彈性體包層厚度的關系。保持晶格周期a=0.025 m和r1=0.01 m不變，調整磁流變彈性體包層厚度從d= 0.0002 m 到d= 0.002 m，帶隙頻率范圍從2204～9002 Hz 變化為712～2360 Hz。可以看到，隨著磁流變彈性體包層厚度的增加，其聲波帶隙中心位置下移，帶隙寬度逐漸減小。分析其原因是磁流變彈性體包層厚度增加，包層的等效剛度降低，包層彈性系數k減小，帶隙上邊沿比下邊沿減小得更快，導致系統帶隙寬度減小，中心位置下移。結果表明，聲波帶隙對包層厚度是敏感的，通過調節包層厚度，可以調節帶隙的中心位置和寬度。

圖6 聲學超材料聲波帶隙與磁流變彈性體包層厚度的關系(H =0 kOe)Fig.6 Magnetorheological elastomer cladding thickness as function of acoustic metamaterial acoustic bang gaps (H =0 kOe)

3 結論

本文用磁流變彈性體作為包層設計了二維局域共振型聲學超材料。超材料周期單元中，圓形鎢內核為質量塊，環氧樹脂為基體，磁流變彈性體相當于彈簧。用有限元方法進行計算，分析了系統能帶結構、聲波透射率、振動模態等，結果分析表明：外磁場可以調控磁流變彈性體包層的彈性系數k，調控帶隙上下邊沿的頻率，從而調節帶隙的中心位置和寬度；還可以調控磁流變彈性體包層的厚度來調節二維局域共振型超材料帶隙的中心位置和寬度。這些方法對聲學超材料的可調諧應用設計有一定的借鑒價值。