基于偏微分方程的高溫作業(yè)專用服裝設(shè)計(jì)模型

高振　房越　許乾宸

摘 要：長期在高溫環(huán)境下工作會對工作人員的生理及心理狀態(tài)產(chǎn)生影響，引發(fā)各種意外和危機(jī)，如何設(shè)計(jì)高溫作業(yè)專業(yè)服裝，已經(jīng)成為人們?nèi)找骊P(guān)注的焦點(diǎn)。文章建立衣服各層材料的一維無內(nèi)熱源熱傳導(dǎo)偏微分方程，結(jié)合各層交界處熱傳導(dǎo)平衡且溫度相同的條件，建立出溫度分布模型并進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：熱傳導(dǎo)偏微分方程；差分法；服裝設(shè)計(jì)

1 問題的提出及分析

根據(jù)2018高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（CUMCM）題目A題[1]，當(dāng)人們進(jìn)行救火、高溫?fù)屝薜纫幌盗懈邷刈鳂I(yè)時(shí)，需要穿上特制的服裝來預(yù)防灼傷。這種服裝由3層復(fù)合織物組成，與外界環(huán)境直接發(fā)生接觸的為I層，III層與人體皮膚間的空隙為IV層。現(xiàn)取一個假人，將其體溫控制在37 ℃左右，放置在高溫環(huán)境中，最后通過測量，得到所使用的假人的皮膚外側(cè)溫度。試建立數(shù)學(xué)模型分析假人的皮膚外側(cè)的溫度變化狀況，該服裝的織物材料參數(shù)值在文獻(xiàn)[1]附件1中已給出，當(dāng)II層厚6 mm、IV層厚5 mm、周圍環(huán)境的溫度是75 ℃、工作時(shí)長90 min時(shí)，實(shí)驗(yàn)測得該假人的皮膚外側(cè)溫度在附件2中給出。本文試建立模型，計(jì)算溫度分布情況。

由于專用服裝內(nèi)部的溫度分布是不均勻的，故一定會發(fā)生熱量從溫度相對高的地方向溫度相對低的地方轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象，即熱傳導(dǎo)。考慮到在熱傳導(dǎo)過程中，服裝內(nèi)無熱源，故建立一維無內(nèi)熱源熱傳導(dǎo)偏微分方程，并找出初始條件和邊界條件，建立溫度分布模型，利用差分法求解，得到溫度分布情況[2]。

2 模型的建立與求解

2.1 基于偏微分方程的溫度分布模型的建立

顯然，專用服裝內(nèi)部的溫度分布是不均勻的，考慮到在熱傳導(dǎo)過程中，專用服裝內(nèi)無熱源，故建立一維無內(nèi)熱源熱傳導(dǎo)偏微分方程，并找出初始條件和邊界條件，利用差分法進(jìn)行求解，得到溫度分布情況。

2.1.1 熱傳導(dǎo)偏微分方程的建立

我們只考慮垂直于服裝表面方向上的熱傳導(dǎo)，故建立如下一維無內(nèi)熱源熱傳導(dǎo)偏微分方程：

2.2 基于差分法的溫度分布模型的求解

為了得到該拋物型偏微分方程的數(shù)值解，我們采用差分法進(jìn)行求解。差分法的基本思想是用只含有有限個未知量的、離散的差分方程組去代替連續(xù)的偏微分方程，將差分方程組的解作為偏微分方程的近似解。原方程和邊界條件中的微分替換為差分，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程來求解。步驟如下。

2.2.1 區(qū)域離散

對距離-時(shí)間（x-t）平面進(jìn)行劃分，將平面劃分為有限個格點(diǎn)組成的網(wǎng)格，這些離散點(diǎn)即為網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)。我們將距離區(qū)間[0，L4]劃分為N1等份，步長即為，則節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為xi=ih（i=1，2，…，N1）。同樣地，將總時(shí)間區(qū)間[0，T]劃分為N2等份，步長即為，則節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為tk=kτ（k=1，2，…，N2）。

2.2.2 近似代替

記點(diǎn)（xi，tk）處的函數(shù)值為uki=（i=1，2，…，N1；k=1，2，…，N2），用差商代替微商，則一維無內(nèi)熱源熱傳導(dǎo)偏微分方程的差分形式為：

2.2.3 逼近求解

當(dāng)t=0時(shí)，計(jì)算得到u0i-1，u0i，u0i+1，將上一層求解的邊界條件作為下一層的初始條件，并通過迭代法可以求解出u1i-1，u1i，u1i+1，進(jìn)而求解出uki-1，uki，uki+1（i=1，2，…，N1；k=1，2，…，N2），運(yùn)用Matlab進(jìn)行求解，逐層計(jì)算。求出每層內(nèi)表面的溫度，令k=1，根據(jù)各層交界處的溫度關(guān)系，可求得下一層的溫度分布，最終得到一維無內(nèi)熱源熱傳導(dǎo)方程的數(shù)值解。

3 結(jié)語

通過以上的求解，我們利用Matlab繪制出了前100 s內(nèi)各層材料的內(nèi)表面溫度隨時(shí)間變化的曲線，并繪制出各層溫度關(guān)于時(shí)間和距離的三維分布圖（見圖2～3）。

由上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出如下結(jié)論。

（1）除I層在短時(shí)間內(nèi)升溫特別迅速以外，其余3層溫度都處于緩慢上升過程，且越向內(nèi)部溫度變化越慢。

（2）皮膚外側(cè)的溫度在開始的一段時(shí)間保持不變，合理解釋為最薄的一層熱導(dǎo)率也較高，離空氣越近，在較短時(shí)間內(nèi)迅速升溫并向內(nèi)傳導(dǎo)熱量，且傳導(dǎo)熱量需要一定時(shí)間，故最初一段時(shí)間內(nèi)IV層的溫度變化并不顯著。

（3）在時(shí)間一定時(shí)，溫度隨著層數(shù)的增加逐漸減少，在相同層數(shù)內(nèi)，溫度隨著時(shí)間的增加先增長迅速后趨于穩(wěn)定，最外層最終基本接近外界環(huán)境溫度。

[參考文獻(xiàn)]

[1]全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會.2018高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（CUMCM）題目A題[EB/OL].（2018-09-13）[2019-02-25].http：//www.mcm.edu.cn/.

[2]司守奎，孫璽菁.數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用[M].長沙：國防工業(yè)出版社，2011.