船舶型線光順過程中的數學視角分析

王亞寧　徐剛強

摘 要：數字化船舶型線光順是船舶企業生產過程中的首要環節，直接影響船體放樣，以及后續船舶航海性能、建造進度周期。文章基于滬東HD-SHM2005船舶型線光順平臺，結合數字化軟件CAD，從數學理論的視角分析船舶型線光順的方法。

關鍵詞：型線光順；數學船舶；NURBS曲線；擬合

HD-SHM2005船舶型線光順系統是智能化船舶型線光順軟件，極大程度上縮減了企業放樣周期，但是在船舶企業的實際光順過程中，在將原始ACAD設計圖導入光順系統后局部撓度大的、型值點走勢不明顯的型線發生曲線錯亂交叉等的現象，影響設計人員的放樣效率及生產進度。船舶型線十分復雜，它既包含了直線、二次曲線，又包含了自由曲線。我們要想尋求光順錯亂型線的方法，不妨從設計型線的方法上入手，船舶型線的優化設計經常要面對大量的型值點，也就是數學上所說的離散點，19世紀后期開始就不斷有人摸索用函數來描述船體形狀，近年來，隨著電子計算機技術的出現和發展，數學船舶數字化智能造船系統也逐步發展起來，那么采用何種數學模型進行離散點處理問題，數值分析中講到若要找到一條曲線，使得它通過給定點（型值點）可以采用插值方法來解決，如果對準確度要求不用太高，只需找到一條近似地通過給定點的曲線則可以采用逼近的方法來解決，曲線擬合則是一個較好的處理上述兩類問題的一個數學方法。近些年，眾多科研工作者對此展開研究，也衍生出新的研究方向—數學船舶，主要是研究數學理論及算法在計算機的輔助下如何更好地應用到船舶設計與船舶性能的改善方面。

1 船舶型線光順的數學進展

型線光順的數學進展，準確地說是型線設計的數學進展，因為型線光順的理念我們可以仿照型線設計理念來類比。早在20世紀60年代Schoenberg提出關于B樣條曲線的理論基礎，因其可以描繪離散數據，B樣條曲線逐漸被用到多個學科領域的實驗研究中，比如醫學、理學，尤其在工學領域處理機械加工等方面受到重視。隨著理論研究逐步深入，20世紀70年代，由法國工程師貝齊爾（Bézier）研究了一種曲線生成的方法，利用已知離散點繪制出一條與原圖曲線相似度很高的曲線。這種曲線生成的基本思路是：通過平面上給定的幾個頂點坐標，可以構造出一個多邊形，再將這幾個頂點的坐標輸入計算機中就可自動生成一條光滑且與原圖很相似的曲線，這種方法被稱為貝齊爾方法。但是貝齊爾方法存在缺點是局部控制和修改曲線的能力不強。

隨后，在貝齊爾用多邊形控制曲線形狀的啟發下，B樣條函數也沿用了B樣條特征多邊形來控制曲線的形狀。為了克服貝齊爾方法的不足，在1972—1974年間人們拓寬了貝齊爾曲線，數學理論上面，先是用n次B樣條基函數替換了伯恩斯坦基函數，構造了等距節點的B樣條曲線[1]。1974年，美國的工程師Gordon與Riesesfeld又將B樣條曲線的理論基礎應用于描繪幾何體中，更加突顯了B樣條曲線在機械工程上的作用。隨著計算機技術的發展，1975年，弗斯普里爾博士在他的畢業論文中提到了在計算機輔助下將B樣條曲線應用到幾何體的設計中[2]。從此，數學理論與計算機技術的結合受到了眾多科研工作者廣泛的研究。

B樣條曲線擬合算法在保留貝齊爾方法優點的基礎上解決了貝齊爾方法的兩個典型不足，即形狀控制問題和樣條曲線的局部性，尤其是在處理自由曲線曲面時表現出了極大的靈活性。但是在表達初等曲線、曲面時不能精確地表示除拋物面以外的二次曲面，比如球形、圓形等封閉曲線、曲面等。

為了解決B樣條曲線的缺陷，Cheng等提出了一種基于非均勻有理B樣條（Non-Uniform Rational B-Splines，NURBS）曲線的數學理論表達。同時，NURBS理論也在計算機圖形學領域獲得越來越廣泛的應用，NURBS曲線在精確地表達自由型曲線、曲面的同時展示了標準的數學解析式，為曲線的表達與設計、修改完善提供了一個的數學形式。因此，一個統一的數據庫就能存儲這兩類形狀信息，通過調整控制頂點和權因子（控制幾何連續樣條曲線曲面中凹凸程度）兩個因素就可以設計出各種形狀的幾何體，增強了計算的穩定性和效率。同時，NURBS曲線還具備了幾何配套技術包括節點插入、細分、消去、升階、分裂等能用于設計、分析、處理等各個環節，并且在比例、旋轉、平移、剪切、平行和透視投影變換下保持穩定性。

隨著理論的創新、科技的進步，NURBS技術自身有優點但也存在缺點[3]。優點：（1）可以為標準解析形狀也可以為自由型曲線、曲面構造出一個易于表達、設計、計算、后期完善的數學模型，較之前的貝齊爾樣條、B樣條計算穩定而且快速。（2）通過調整控制頂點以及權因子可以靈活調整曲線的形狀。（3）有靈活的幾何體處理方法（節點插入、細分、消去、升階、分裂。（4）在需要進行比例變換、旋轉變換、平移變換、和透視投影等變換下保持表達函數的穩定性。

當然，NURBS曲線技術也不是盡善盡美的，實際應用時可以揚長避短。缺點：（1）權因子的不恰當可能會導致很壞的參數化，甚至毀掉隨后的曲面、曲線結構。（2）曲面與曲面相結合的位置，不能準確地用此方法來表達曲面剛好接觸的情形。（3）某些反求曲面、曲線上點的參數值的時候，存在數值不穩定的問題。

盡管NURBS樣條曲線不盡完美，仍然得到了工業領域廣泛的青睞，國際標準化組織（International Standardization Organization，ISO）把NURBS作為定義工業產品幾何形狀的唯一數學方法。NURBS樣條曲線技術在船舶曲線、曲面的設計、光順方面也得到了深入的發展，在船體曲線、曲面初始化設計過程中運用幾何方法表達，根據型線等主要數據構造船型曲線，并對船舶型線進行光順。

2 船舶型線光順的順序與思路

在前人工作的基礎上，結合實際工作經驗，本文總結了船舶型線光順的順序與思路。

船舶型線由站線、水線、縱剖線、空間線和型值點組成。在通過ACAD曲線將型線導入HD-SHM2005時，需先導入中縱剖面線、底平線、邊平線、舷墻頂線和船體折角線，并對其部分型線的端點進行手工輸入，然后對站線、水線、縱剖線挨個導入。光順的初始數據是原始型值表、邊界數據以及一些輔助數據。通常情況下，導入后的型線與初始線型相近，無需調整。但對型值點走向不明顯的線型，導入后會出現首尾端點錯亂或走向錯亂的情況，例如雙尾鰭船尾鰭部位的站線，特別是該部位進行站線加密時，經常會出現錯亂現象。此時我們分數學理論方面和實際經驗方面介紹型線光順的方法。

船舶型線光順的方法，數學理論方面，（1）主流手段是采取累加弦長NURBS樣條，特別在遇到大撓度曲線時，目前生產實踐中的CAD軟件都嵌入了NURBS樣條SPLINE的擬合曲線功能，NURBS樣條曲線的擬合也是需要通過從眾多型值點中選擇位置和數量都合適的控制點，這一點很多研究文獻中都清楚地提到了[1-7]，控制點越多其帶來的影響因素就越多，不利于局部線性的控制。通過這些控制點作出滿足指定邊界條件的光順曲線并與原始CAD導入圖紙對比型線光順的效果，這樣就可以合理地描述船體型線。（2）采用Matlab擬合工具箱對局部錯亂的型線采用CTOOL做函數擬合。（3）數學船型的參數化近似[6]，比如利用帶有形狀因子的指數曲線來擬合流線（對于潛艇和魚雷），以及變化的型線（對于水面艦船）。（4）用增廣Lagrange乘子法進行型線光順設計，可得到一條光順曲線，光順曲線的形狀和傳統設計方法得到的結果完全相同[3]。

實際經驗方面，我們分成了站線模型、縱剖線模型、水線模型、空間線模型、控制點模型5個模型[8]。（1）站線模型，可適當增加水線和縱剖線。（2）縱剖線模型，采用加密縱剖線的方式來控制曲度較大的水線端部。（3）水線模型，增加縱剖線能更好地控制水線。（4）空間線模型，在有折角的位置均增加折角型空間線。尾鰭部位的站線最低點可視情況增加輪廓線。可將底平線和邊平線定義成且切點線。（5）控制點模型，將型線端點的預設坐標直接設置在HD-SHM2005光順系統型值表中的E7H/E7B位置上。

3 結語

數學船舶的研究仍將成為大家研究的熱點，數學與計算機的結合在船舶制造、生產、后期維修領域的應用仍將是我們努力的方向。

[參考文獻]

[1]王虎.基于B樣條的船舶型線設計繪制程序開發[D].武漢：武漢理工大學，2003.

[2]段愛玲.B樣條曲線生成逼近及其數控編程加工[D].蘭州：蘭州交通大學，2018.

[3]于亞如.基于NURBS的船體型線智能化設計[D].大連：大連理工大學，2005.

[4]陳紹平.NURBS曲線及其在船舶型線設計中的應用研究[D].武漢：武漢理工大學，2002.

[5]于德超.船舶型線設計可視化方法研究與應用[D].大連：大連海事大學，2012.

[6]唐曉，齊翔，齊歡.基于數學船型的全參數化船型設計[J].船舶工程，2018（S1）：16-20.

[7]陳紹平，陳賓康.基于NURBS曲線的雙艉船型線設計研究[J].中國造船，2001（2）：9-13.

[8]王亞寧，李蘭蘭.基于HD-SHM2005系統型線光順的方法研究[J].江蘇船舶，2018（4）：1-4，6.