分數階基因調控網絡的拉格朗日穩定性

陳 沖，胡 蝶，丁芝俠

武漢工程大學電氣信息學院，湖北 武漢 430205

基因調控網絡描述了基因和蛋白質之間的某種復雜聯系，已經得到了深入的發展，并在化學、生物科學、醫學、工程科學、數學等領域存在著廣闊的應用前景［1-4］。生物體對外部信號的響應是通過基因網絡的高連通性和復雜性實現的，而基因網絡的特性又與基因預編碼相關聯；細胞內脫氧核糖核酸構成的染色體，其包含了生物體隨外界環境生長所需要的各種信息，更與有機體中的復雜機制、生理調節等功能密切相關，因此它在生物醫學方面扮演著重要的角色［2-5］。由此看來，對基因調控網絡穩定性的研究顯得尤為重要。

傳統的基因調控網絡是通過整數階微分系統描述的，但由于整數階算子具有局限的特征，而且缺乏對系統記憶性和遺傳性的精確描述，故引入分數階微積分算子，建立了新型的分數階基因調控網絡。目前，關于分數階基因調控網絡的研究已存在：Zhang等［3］利用Jensen不等式、Wirtinger不等式、分數階李亞普諾夫方法和積分中值定理，給出了時滯分數階基因調控網絡系統（fractional-order gene regulatory networks，FGRN）穩定性分析的新判據；Ren等［6］利用李亞普諾夫方法建立了這類網絡的Mittag-Leffler穩定性和廣義Mittag-Leffler穩定性的判據，證明了基因調控網絡的穩定性；Zhang等［7］提出了基于擴展分數卡爾曼濾波（extended fractional Kalman filter，EFKF）的分數階基因調控算法來估計模型的隱含狀態和未知的靜態參數，這些成果都為深入研究生物系統中基因之間的潛在調控關系提供了思路。

在實際的應用中，為了研究系統的多穩定性，拉格朗日穩定性的定義得到了廣泛的應用［8-12］。拉格朗日穩定性是基于考慮系統解的有界性和全局吸引集的存在性，考慮的是系統的整體穩定性，而并非平衡點的穩定性［13］。目前，對分數階基因調控網絡的拉格朗日穩定性的研究不多，但無論從理論角度還是應用角度來看，對基于分數階基因調控網絡的拉格朗日穩定性的研究是尤為重要的。本文考慮了微分階0＜α＜1為情況下的分數階基因調控網絡的穩定性。通過運用拉普拉斯變換、卷積公式及Mittag-Liffter函數的性質，導出了系統微分階0＜α＜1情況下的拉格朗日穩定性判據，同時，所得結論在整數階α=1的情況下仍然成立。分析系統拉格朗日穩定性，有助于在優化計算、聯想記憶、混沌控制等方面縮小搜尋范圍，為應用提供便利［13］。

1 概 述

分數階微積分是整數階常微積分的一種推廣，其主要優點在于對系統記憶性和遺傳性的精確描述，同時也能較好的揭示出系統的本質特征［13］。本文主要將Caputo分數階微積分應用于基因調控網絡。因此，在本節，將會給出Caputo分數階微積分的定義及引理。

定義1［14］Caputo分數階微分可以定義為：

設 α＞0， t＞t0，X(t)∈Cn+1[t0，+∞]，同時，n是正整數，滿足 n-1＜α＜n，則其中，Γ(·)表示的是 gamma函數，其定義如下：

特別的，0＜α＜1時，有：

定義2［14］Caputo分數階積分可以定義為：

設 α＞0，t＞t0，則

定義3［14］兩個參數的Mittag-Leffler函數定義：設 α＞0，β＞0，x∈C ，則

特別地，β=1時，有：

Mittag-Leffler函數的k階導數有：

其中k為正整數。

特別地，β=1時，有：

定義4［14］設函數 f(t)在 [0，+∞]上有定義，如果對于復參變量s=β+jw，積分在復平面的某一區域內收斂，則F(s)稱為函數f(t)的Laplace變換，記為 L[f(t)]=F(s)。

則有：

其中 n-1＜α＜n，n∈N+，*表示卷積符號。

引理1［15］（Ⅰ）對任意 0＜α＜1，存在不小于1的實常數 M1，M2，使得

（Ⅱ）當 β=1，2，…，α若 α≥1，則

其中 ||·||表示范數。

2 模型的描述

分數階基因調控網絡的模型為：

其中 i=1，2，3…，n，0＜α＜1，ri＞0和 wi＞0分別表示的是mRNA的降解速率和蛋白質的降解速率；mi(t)和 pi(t)分別表示第i個基因的mRNA的濃度和蛋白質的濃度；li表示第i個基因的蛋白質合成速率；hi[p1(t)，p2(t)…pn(t)]是一個非線性函數，常被稱為基因調控網絡的一個光滑函數。為研究方便，定義：

本文主要基于分數階微積分理論，將其記憶性和遺傳性的性質應用于基因調控網絡，使得分數階基因調控網絡的模型更符合實際研究的情況。

定義5 拉格朗日漸近穩定的定義［16］：

如果存在正常數ξ1和ξ2，使得式(3)的任意解f(t，t0，f0)和 g(t，t0，g0)滿足

即，存在一個常數 T(t，t0，g0)，在 t≥ t0+T(t，t0，f0，g0)時，有 ||f(t，t0，f0)||≤ ξ1和 ||g(t，t0，g0)||≤ ξ2成立，則稱系統是拉格朗日漸近穩定。

3 系統的穩定性分析

通過運用拉格朗日漸近穩定性理論，主要討論分數階基因調控網絡的穩定性。

定理1：如果存在正常數 ?，使得 ||hi[p1(t)，p2(t)，…，pn(t)]||≤?，則稱系統是拉格朗日漸近穩定的。

證明：設mi(t0)和 pi(t0)是系統的初值，將式（3）進行拉普拉斯變化，有

其 中 ：Mi(s)=L[mi(t)]，Pi(s)=L[pi(t)]，Hi(s)=L{hi[p1(t)，p2(t)，…，pn(t)]}

對式（4）進行化簡有：

式（5）進行反拉普拉斯變換，則需要考慮ri≠wi和 ri=wi兩種情況。

情況1：ri=wi，式（5）進行反拉普拉斯變換有：

根據引理1，有：

其中 MEα

和 MEα，α均為不小于1的常數。則對于mi(t)：

對于 pi(t)：

即在情況1的條件下，系統是拉格朗日漸近穩定的。

情況2：ri≠wi，式(5)進行反拉普拉斯變換有：

則mi(t)與情況1一致，即存在正常數υ2，使得

對于 pi( t)有：

同理，存在正常數u2，使得，綜上兩種情況可知，在t→∞時，存在正常數υ=max{υ1，υ2} 和 u=max{u1，u2} 使 得 ||mi(t)||≤ υ和||pi(t)||≤u成立，則系統是拉格朗日漸近穩定。

4 數值仿真

通過一個仿真實例驗證了系統拉格朗日漸近穩定判據的有效性。以分數階基因調控網絡具有SUM邏輯為例，即有的表達式如下：

當基因i受到轉錄因子 j的激活時，式（14）是成立的；當基因i受到轉錄因子 j的抑制時，式(15)成立。其中rij表示的是轉錄因子 j到i的無量綱轉錄速率；λi正數被稱為Hill系數；σj是一個正常數［17］。即存在，使得 ||hi(t)||≤?。

式（16）中對應式（3）中的參數分別為：h1=；式（17）對應的參數為：。顯然，通過式(16)和式(17)可以觀察到是有界的。通過采用迭代法進行近似計算，使用MATLAB進行數值仿真，不妨取 α=0.2，初值條件為(m1(0)，m2(0)，p1(0)，p2(0))= (10，10，10，10) ，則 圖1（a）清晰的顯示mRNA狀態和圖1（b）顯示蛋白質的狀態。通過圖像分析，可以得出該系統是拉格朗日漸近穩定。為了更具有說服力，而加入的另外兩組數據進行數值仿真，如圖2、圖3和圖4所示（其中圖2的微分階為0.5，初值條件為(m1(0)，m2(0)，p1(0)，p2(0))=(15，25， 26，50) ；圖3 的微 分 階 為 0.8，初 值 條 件 為 (m1(0)，m2(0)，p1(0)，p2(0))=(10，20，30，40)；圖4 的微分階為1初值 條 件 為 m1(0)，m2(0)，p1(0)，p2(0)= (15，20，25，50)，圖1（a）、圖2（a）、圖3（a）和圖4（a）分別描述了系統微分階數為0.2、0.5、0.8、1的mRNA濃度的狀態軌跡，可觀測出系統mRNA濃度的變化趨近于某一常數，可得出系統mRNA的變化是拉格朗日穩定的；同理，圖1（b）、圖2（b）、圖3（b）和圖4（b）分別描述了系統微分階數為0.2、0.5、0.8、1的蛋白質濃度的狀態軌跡，可觀測出系統蛋白質濃度的變化趨近于某一常數，可得出系統蛋白質的變化是拉格朗日穩定的。

圖1 α=0.2的mRNA和蛋白質的濃度狀態軌跡：（a）mRNA，（b）蛋白質Fig.1 State trajectory of mass concentration of mRNA and protein（α =0.2）：（a）mRNA，（b）protein

圖2 α=0.5的mRNA和蛋白質的濃度狀態軌跡：（a）mRNA，（b）蛋白質Fig.2 State trajectory of mass concentration of mRNA and protein（α =0.5）：（a）mRNA，（b）protein

圖3 α=0.8的mRNA和蛋白質的濃度狀態軌跡：（a）mRNA，（b）蛋白質Fig.3 State trajectory of mass concentration of mRNA and protein（α =0.8）：（a）mRNA，（b）protein

圖4 α=1的mRNA和蛋白質的濃度狀態軌跡：（a）mRNA，（b）蛋白質Fig.4 State trajectory of mass concentration of mRNA and protein（α =1）：（a）mRNA，（b）protein

5 結 語

分數階基因調控網絡作為一類新型的網絡系統，真實地反映了系統的本質特性。本文針對分數階基因調控網絡，采用放縮原理、拉普拉斯變換和卷積公式，證明了0＜α＜1的Caputo分數階基因調控網絡的拉格朗日漸近穩定，并通過MATLAB進行數值仿真，驗證所得判據的有效性。此外，所得結論在整數階數α=1仍然成立。