二元一次方程不定解的應用

◎李勝軍

我們知道，二元一次方程有無窮多個解。雖然二元一次方程的解是不定的，但每一個解是一對未知數的值，這一對數具有一定的相關性，在實際問題中尤為突出。下面以2018年中考試題為例來說明。

一、利用二元一次方程的非負整數解解決問題

例1 （2018·黑龍江）為獎勵消防演練活動中表現優異的同學，某校決定用1200元購買籃球和排球，其中籃球每個120元，排球每個90元。在購買資金恰好用盡的情況下，購買方案有（ ）。

A.4種 B.3種 C.2種 D.1種

【分析】設購買籃球x個，排球y個，根據“購買籃球的總費用+購買排球的總費用=1200”列出關于x、y的方程，由x、y均為非負整數即可得解。

解：設購買籃球x個，排球y個，根據題意得120x+90y=1200。

∵x、y均為非負整數，

∴購買資金恰好用盡的情況下，購買方案有4種。故選A。

例2 （2018·黃石）小光和小王玩“石頭、剪子、布”游戲，規定：一局比賽后，勝者得3分，負者得-1分，平局兩人都得0分。小光和小王都制訂了自己的游戲策略，并且兩人都不知道對方的策略。

小光的策略是：石頭、剪子、布、石頭、剪子、布……

小王的策略是：剪子、隨機、剪子、隨機……（說明：隨機指石頭、剪子、布中任意一個）

例如，某次游戲的前9局比賽中，兩人當時的策略和得分情況如下表：

2 1 3布剪子-1布 3 -石頭剪子3-1 4石頭石頭剪子剪子1 5 剪子3 6布剪子-1局數小光實際策略小王實際策略小光得分小王得分局數小光實際策略小王實際策略小光得分小王得分局數小光實際策略小王實際策略小光得分小王得分0 0 7 石頭0 0 8 剪子剪子3-1石頭-1 3 3 9布剪子-1 3

已知在另一次游戲中，50局比賽后，小光總得分為-6分，則小王總得分為_______分。

【分析】觀察二人的策略可知：每6局一循環，每個循環中第一局小光拿3分，第三局小光拿-1分，第五局小光拿0分，進而可得出50局中可預知小光勝9局、平8局、負8局。設其他25局中，小光勝了x局，負了y局，則平了（25-x-y）局，根據50局比賽后小光總得分為-6分，即可得出關于x、y的二元一次方程。由x、y、（25-x-y）均為非負整數，可得出x=0、y=25，再由勝一局得3分、負一局得-1分、平局不得分，可求出小王的總得分。

解：由二人的策略可知，每6局一循環，每個循環中第一局小光拿3分，第三局小光拿-1分，第五局小光拿0分。

∵50÷6=8（組）…2（局），

∴（3-1+0）×8+3=19（分）。

設其他25局中，小光勝了x局，負了y局，則平了（25-x-y）局，根據題意得

19+3x-y=-6，

∴y=3x+25。

∵x、y、（25-x-y）均為非負整數，

∴小王的總得分=（-1+3+0）×8-1+25×3=90（分）。

故答案為90。

二、利用二元一次方程解的整體相關性解決問題

例3 （2018·臺灣）某商店將巧克力包裝成方形、圓形禮盒出售，且每盒方形禮盒的價錢相同，每盒圓形禮盒的價錢相同。阿郁原先想購買3盒方形禮盒和7盒圓形禮盒，但他身上的錢會不足240元。如果改成購買7盒方形禮盒和3盒圓形禮盒，他身上的錢會剩下240元。若阿郁最后購買10盒方形禮盒，則他身上的錢會剩下多少元？（ ）。

A.360 B.480 C.600 D.720

【分析】設每盒方形禮盒x元，每盒圓形禮盒y元，根據阿郁身上的錢數不變得出方程3x+7y-240=7x+3y+240，化簡整理得y-x=120。那么阿郁最后購買10盒方形禮盒后身上的錢會剩下（7x+3y+240）-10x，化簡得3（y-x）+240，將y-x=120代入進行計算即可。

解：設每盒方形禮盒x元，每盒圓形禮盒y元，則阿郁身上的錢有（3x+7y-240）元或（7x+3y+240）元。根據題意得

3x+7y-240=7x+3y+240。

化簡整理，得y-x=120。

若阿郁最后購買10盒方形禮盒，則他身上的錢會剩下：（7x+3y+240）-10x=3（y-x）+240=3×120+240=600（元）。故選：C。