在“變”中找“不變”

朱月紅（特級教師）

平行四邊形“生長”出了一系列特殊四邊形，在“生長”的過程中，出現了一些較復雜的問題。同學們只要仔細觀察、善于發現，在“變”的現象中抓住“不變”的本質，便可以迅速抓住解題的突破口。下面舉幾例，請同學們一起來體會其中的奧妙。

例1如圖1，在矩形ABCD中，已知AD=8，AB=6，P是AD上任意一點，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE+PF的值。

【解析】連接OP，由矩形性質推出AC=BD，OA=OC，OB=OD，由勾股定理求出AC和BD的長，求出矩形ABCD的面積，進而得到△AOD的面積。根據三角形的面積公式即可求出PE+PF的值是

【點評】初看此題，點P的位置不確定，PE、PF的長度隨之不確定，似乎找不到突破口。但同學們只要結合已知條件細心觀察，就可以由“在‘點P位置變化的過程中’矩形ABCD的面積不變”推導出“△AOD的面積不變”，這是解此題的關鍵。本題主要考查了矩形的性質、勾股定理、三角形的面積等知識點。

圖1

圖2

例2如圖2，在?ABCD中，作∠ABC、∠BCD的平分線BE、CF分別交AD于點E、F，若AB=8，EF=1，求?ABCD的周長。

【解析】先根據題意補全圖形，再根據平行四邊形、等腰三角形的性質求出AD的長即可求出周長。答案：50、46。

【點評】本題考查同學們的基本功——平行四邊形具有易變性，體現了思維的靈活性。作圖時要從兩方面考慮：BE、CF的交點在平行四邊形ABCD內還是外（也可以思考點E在點F的左還是右）。此題與例1不一樣，貌似不變的圖形背后卻蘊含著變化（實質是分類討論）。

有了上面兩題的解題經驗，下面這道題同學們做起來就輕松了。

例3如圖3，在邊長為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點，且AE=3，點Q為對角線AC上的動點，求△BEQ周長的最小值。

圖3

【解析】根據正方形的性質，點B與點D關于直線AC對稱，DE的長即為BQ+QE的最小值，故答案為：6。

【點評】在運動背景下，點Q動→△QEB形狀的改變→干擾同學們的視線→無法下筆。△QEB形狀的變化中有沒有不變的量呢？同學們可以由“最小值”聯想到兩點之間線段最短、垂線段最短等知識?！癉E的長即為BQ+QE的最小值”是解這題的突破口。

在今后的解題中，同學們要善于從變化中尋找不變的量，這樣既可以快速找到解題突破口，又能發展思維的靈活性、敏捷性。